實(shí)例正方形金屬薄片受熱后面積的變量

1、實(shí)例實(shí)例: : 正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長長由由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、問題的提出一、問題的提出4 函數(shù)的微分函數(shù)的微分再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)(

2、)(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy (2),x 是是的的高高階階無無窮窮小小既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)(改變量的主要部分改變量的主要部分)是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?.)(220 xxx )1()2(22200,()yxyxxx 對對有有33300,()yxyxxx 對對有有.)()(3332020 xxxxx )1()2( 020022x xyxxxxx 中中關(guān)關(guān)于于的的線線性性主主部部中中，剛剛好好是是 02230033x

3、xyxxxxx 中中關(guān)關(guān)于于的的線線性性主主部部中中，剛剛好好是是000( )()()()yf xyf xxf xxfxx 可可以以證證明明，如如果果函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則函函數(shù)數(shù)增增量量中中關(guān)關(guān)于于的的線線性性主主部部為為定義定義000000000000( ),()()()()(),( ),()( ),(),().xxxxyf xxxxyf xxf xfxxoxoxxyf xxfxxyf xxxdydf xdyfxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)那那么么成成立立 其其中中是是的的高高階階無無窮窮小小此此時(shí)時(shí)稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微并并且且稱稱為為函函數(shù)

4、數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的微微分分記記作作或或即即.的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )二、微分的定義二、微分的定義( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函數(shù)數(shù)在在任任意意點(diǎn)點(diǎn) 的的微微分分稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的微微分分記記作作或或即即( )1,.yf xxydyyxxdxx 對對函函數(shù)數(shù)，由由于于，所所以以其其微微分分即即.)(dxxfdy ).(xfdxdy .dydx即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫 微微商商即自變量的

5、增量即為自變量的微分即自變量的增量即為自變量的微分例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 三、微分的求法三、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.解解 221(2)xxyxexe 2212xxxedydxxe 例例2 2 求下列函數(shù)的微分求下列函數(shù)的微分2ln()xyxe(2)(2)1 3cosxyex (3)(3)3(23 )yx(1)(1)2212xxxexe 23(23 ) (23 )yxx(1

6、)(1)29(23 )x 29(23 )dyxdx 1 3(3cossin ).xdyexx dx 1 3cosxyex (3)(3) 1 31 3coscosxxyexex 1 31 313cossinxxexxex 1 31 33cossinxxexex 1 33cossinxexx 4cos()( ),.xyeexyyy xdy( )( )設(shè)設(shè)方方程程確確定定了了隱隱函函數(shù)數(shù)求求解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x sin()xyeeyxyxy sin()sin()xyeyxyyxxye sin()xyeeyxyyxy sin()sin()yxxxyeyeyxy sin()sin()x

7、yeyxydyy dxdxxxye 練練 習(xí)習(xí) 題題二、求下列函數(shù)的微分：二、求下列函數(shù)的微分： 21.1xyx 22.ln(1)yx 33.cos3xyex 一、填空題一、填空題 ： 4.sindxdx 51.d xdx 7.ln3dxdx 13.2ddxx 212.ddxx 6.cos2dxdx 5.2 ln2xddx 328.3xdx e dx 45x1x xcos x 2x1sin22x1x3xe綜綜 合合 練練 習(xí)習(xí) 題題一、填空題一、填空題 ： 21.(),(3).fxxff 設(shè)設(shè)則則 22.(),().fxxxfx 設(shè)設(shè)則則 3.2,.xyy 設(shè)設(shè)則則 3214.()1,( 1)

8、.2fxxxf 設(shè)設(shè)則則 5.(),(0).xfxxef 設(shè)設(shè)則則 06.()0,lim().xfxxfx 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù)在在處處 可可 導(dǎo)導(dǎo) 則則 7.2,2.yxx 設(shè)設(shè)曲曲線線方方程程為為則則在在處處的的切切線線方方程程為為 18.(),().fxfxx 設(shè)設(shè)則則363252x12ln22xx(0)f21x 132 12(2)4yx二、求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：二、求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 11.21yxx 2.ln1xyx 1003.12yx 4.sin 5cos(31)yxx 35.3 cos3xxye 36.1cosyx sin8.2cosxyx 27.1yxx 9.ln()yxyyy xy 設(shè)設(shè)確確 定定 了了 函函 數(shù)數(shù)， 求求三、求下列各函數(shù)的微分：三、求