第2章平面問題的基本理論20130421-1

1、周道祥周道祥平面問題的基本理論平面問題的基本理論第二章第二章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)授課班級(jí)：勘查授課班級(jí)：勘查11級(jí)級(jí)主講教師：袁海平主講教師：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方

2、程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999) 兩類平面問彈的概念兩類平面問彈的概念 建立平面問題的基本方程：平衡微分方程；建立平面問題的基本方程：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 相容方程相容方程第一章緒論第一章緒論重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)重點(diǎn)重點(diǎn) 兩類平面問題的異同點(diǎn)兩類平面問題的異同點(diǎn) 列出應(yīng)力邊界條件列出

3、應(yīng)力邊界條件難點(diǎn)難點(diǎn)彈性力學(xué)平面問題的基本理論41. 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題(1) 幾何特征幾何特征xyyztba 一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿 z 方向不變化。方向不變化。平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一彈性力學(xué)平面問題的基本理論5如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy 平面，垂

4、直于中面的任一直線為平面，垂直于中面的任一直線為 z 軸。軸。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy板薄，外力沿板薄，外力沿 z 軸方向不變軸方向不變整個(gè)薄板各點(diǎn)整個(gè)薄板各點(diǎn)由剪應(yīng)力互等定理，有由剪應(yīng)力互等定理，有0z0zx0zy0yzzy0 xzzx1. 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題(3) 應(yīng)力特征應(yīng)力特征平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一xyyztba彈性力學(xué)平面問題的基本理論6平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)力分量),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy應(yīng)變分量、位移分量?jī)H為應(yīng)變

5、分量、位移分量?jī)H為 x、y 的函數(shù)，與的函數(shù)，與 z 無關(guān)無關(guān)1. 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題結(jié)論：結(jié)論：平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一彈性力學(xué)平面問題的基本理論7(1) 幾何特征幾何特征水壩水壩滾柱滾柱厚壁圓筒厚壁圓筒 一個(gè)方向的尺寸比另一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化。尺寸不變化。 近似認(rèn)為無限長(zhǎng)近似認(rèn)為無限長(zhǎng)(2) 外力特征外力特征 外力（體力、面力）平行于橫截面作外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度用，且沿長(zhǎng)度 z 方向不變化。方向不變化。 約束約束 沿長(zhǎng)度沿長(zhǎng)度 z 方

6、向不變化。方向不變化。2. 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一彈性力學(xué)平面問題的基本理論8(3) 變形特征變形特征以任一橫截面為以任一橫截面為 xy 面，任一縱線為面，任一縱線為 z 軸。軸。設(shè)設(shè) z方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，則方向?yàn)闊o限長(zhǎng)，則, u, x, x沿沿 z 方向都不變化，方向都不變化，僅為僅為 x，y 的函數(shù)。的函數(shù)。2. 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一水壩水壩任一橫截面均可視為對(duì)稱面，則有任一橫截面均可視為對(duì)稱面，則有0w彈性力學(xué)平面問題的基本理論9所有各點(diǎn)的位移矢量都平行于所有各點(diǎn)的位移矢量都

7、平行于 x y 平面。平面。 平面位移問題平面位移問題0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題注：注：(1)平面應(yīng)變問題中平面應(yīng)變問題中0z但但0z)(yxz(2)平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：平面應(yīng)變問題中應(yīng)力分量：)0(,zyzxxyzyx 僅為僅為 x y 的函數(shù)。的函數(shù)。(3) 變形特征變形特征2. 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一滾柱滾柱彈性力學(xué)平面問題的基本理論10 教學(xué)互動(dòng)：教學(xué)互動(dòng)：如下三種情形，是否都屬平面問題？是平面如下三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)

8、變問題？應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題非平面問題非平面問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一彈性力學(xué)平面問題的基本理論11問題：?jiǎn)栴}： 已知：外力（體力、面力）、邊界條件，已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 僅為僅為 x y 的函數(shù)的函數(shù)需建立三個(gè)方面的關(guān)系：需建立三個(gè)方面的關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系幾何學(xué)關(guān)系：形變與位移間的關(guān)系物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系建立邊界條件：建立邊界條

9、件： 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件位移邊界條件位移邊界條件3. 平面問題的求解平面問題的求解平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一一一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體

10、力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論13xyxyxyPBACxyO取微元體取微元體PABC（P點(diǎn)附近點(diǎn)附近），），dxPA dyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取單位長(zhǎng)度。方向取單位長(zhǎng)度。設(shè)設(shè)P點(diǎn)應(yīng)力已知：點(diǎn)應(yīng)力已知：yxxyyx,體力：體力：X ，YAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdxxxx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxyxy平衡微分方程平衡微分方程二二BC

11、面：面：dyyyxyxdyyyy 注：這里用了小變形假定，以變注：這里用了小變形假定，以變形前的尺寸代替變形后尺寸。形前的尺寸代替變形后尺寸。彈性力學(xué)平面問題的基本理論14以通過中心并平行于以通過中心并平行于z軸軸的直線為矩軸，由微的直線為矩軸，由微元體元體PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyxdyydxxyxyxxyxy2121平衡微分方程平衡微分方程二二yxxy當(dāng)當(dāng)0, 0dydx時(shí)，有時(shí)，有 剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy彈

12、性力學(xué)平面問題的基本理論150 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx兩邊同除以兩邊同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy兩邊同除以兩邊同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Yxyxyy平衡微分方程平衡微分方程二二彈性力學(xué)平面問題的基本理論16平面問題的平衡微分方程：平面問題的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx說明：說明：平衡微分方程平衡微分方程二二（1）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：）兩個(gè)平衡微分方程，三個(gè)未知量：yxxyyx, 超靜定問題，

13、需找補(bǔ)充方程才能求解。超靜定問題，需找補(bǔ)充方程才能求解。（2）對(duì)于平面應(yīng)變問題，）對(duì)于平面應(yīng)變問題，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程與材料性質(zhì)無關(guān)方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對(duì)整個(gè)彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。）平衡方程對(duì)整個(gè)彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方

14、程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論181. 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力（1）斜面上應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量）斜面上應(yīng)

15、力在坐標(biāo)方向的分量Xn，YnxyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxy設(shè)設(shè)P點(diǎn)的應(yīng)力分量已知：點(diǎn)的應(yīng)力分量已知：yxxyyx,斜面斜面AB上的應(yīng)力矢量上的應(yīng)力矢量: s 斜面外法線斜面外法線 n 的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦：的關(guān)于坐標(biāo)軸的方向余弦： 由微元體平衡：由微元體平衡： 0111dsXdxdynyxx整理得：整理得： yxxnmlX外法線外法線 平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三0111dsYdydxnxyyxyynlmY整理得：整理得： myn),cos(lxn),cos(ldsdymdsdx0 xF0yF彈性力學(xué)平面問題的基本理論19（2）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力

16、）斜面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力nnnmXlY nnnmYlX 說明：說明：將將 n 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)90而到達(dá)而到達(dá) 的方向是順時(shí)針，則為正；反之為負(fù)。的方向是順時(shí)針，則為正；反之為負(fù)。nxyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxynn1. 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三xyyxnlmml222xyxynmllm)()(22任意斜截任意斜截面上應(yīng)力面上應(yīng)力運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理：運(yùn)用了剪應(yīng)力互等定理： 的正負(fù)號(hào)規(guī)定：的正負(fù)號(hào)規(guī)定：yxxynXn，Yn已求出已求出彈性力學(xué)平面問題的基本理論20nnnmXlY nnnmYlX 若某一斜面上若某一斜面上 ，則該斜面上

17、的正應(yīng)，則該斜面上的正應(yīng)力力 稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力 。0nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0nsnmYlXnnxyynlmYyxxnmlXmlmxyylmlyxx求解得：求解得：0)()(22xyyxyx222122xyyxyx 平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力的計(jì)算公式計(jì)算公式2. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向主應(yīng)力主應(yīng)力平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三yyxlmyxxlm和和yx21xyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxynn彈性力學(xué)平面問題的基本理論21主應(yīng)力主應(yīng)力 所在的平面所在的平面 稱為主平面稱為主平面主應(yīng)力主應(yīng)力 所在平面的法

18、線方向所在平面的法線方向 稱為應(yīng)力主向稱為應(yīng)力主向yyxlmyxxlm 設(shè)設(shè)1 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為1， 1與坐標(biāo)軸正向的與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為方向余弦為 l1、m1，則則2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 設(shè)設(shè)2 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為2， 2與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為與坐標(biāo)軸正向的方向余弦為 l2、m2，則則1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或2. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向主應(yīng)力方向主應(yīng)力方向平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三彈性力學(xué)平面問題的基本理

19、論22應(yīng)力主向計(jì)算式：應(yīng)力主向計(jì)算式：yxyxyx2211tantanyx21)(12xyxxy12tan1tantan211 與與 2 互相垂直。互相垂直。xyOsnn2dxdydsPABn12. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向 的主應(yīng)力表示的主應(yīng)力表示平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三n結(jié)結(jié)論論由由22122212)(lmln)(12 lmnxyyxnlmml222xyxyNmllm)()(220 xy任一點(diǎn)任一點(diǎn)P，一定存在兩，一定存在兩 互相垂直的主應(yīng)力互相垂直的主應(yīng)力 分別為最大和最小應(yīng)力分別為最大和最小應(yīng)力21、21、彈性力學(xué)平面問題的基本理論23由

20、由)(1122lln221minmax2. 一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向最大、最小剪應(yīng)力最大、最小剪應(yīng)力平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三三)(12 lmn)1 (2lm122ml)(2141)(12221242llln顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為最大、最小值：為最大、最小值：21ln 、 的方向與的方向與1 （ 2 ）成成45。maxminxyOsnn2dxdydsPABn1一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體

21、位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論25建立：平面問題中應(yīng)變與位移的關(guān)系建立：平面問題中應(yīng)變與位移的關(guān)系 幾何方程幾何方程一點(diǎn)的變形一點(diǎn)的變形線段的伸長(zhǎng)或縮短線段的伸長(zhǎng)或縮短線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)xyOP考察考察P

22、點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA變形前變形前變形后變形后PPuv四四dxxuuAAdxxvvBBdyyuudyyvv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。注：這里略去了二階以上高階無窮小量。幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移幾何方程幾何方程彈性力學(xué)平面問題的基本理論26PA的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dyvdyyvvyvyPB的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：dxudxxuuxuxP點(diǎn)的剪應(yīng)變：點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化點(diǎn)兩直角線段夾角的變化xyyuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvv幾何方程幾何

23、方程 剛體位移剛體位移幾何方程幾何方程四四xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv彈性力學(xué)平面問題的基本理論27整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx幾何方程幾何方程說明：說明：（1）反映任一點(diǎn)位移與應(yīng)變關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。反映任一點(diǎn)位移與應(yīng)變關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）當(dāng)當(dāng) u、v 已知，則已知，則 可完全確定；反之，已知可完全確定；反之，已知 ，不能確定不能確定u、v。xyyx,xyyx,（積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）xy 以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)。以兩線段夾角減小為正，增

24、大為負(fù)。幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移幾何方程幾何方程四四xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv彈性力學(xué)平面問題的基本理論28物體無變形，只有剛體位移。物體無變形，只有剛體位移。 即：即： ,0, 0, 0時(shí)當(dāng)xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?dxxdfdyydf)()(21上式中，左邊僅為上式中，左邊僅為 y 的函數(shù)，的函數(shù)，右邊僅右邊僅 x 的函數(shù)，的函數(shù)，兩邊只能等兩邊只能等于同一常數(shù)，即于同一常數(shù)，即 dyydf)(1(e)積分積分(e) ，

25、得：，得： dxxdf)(2(f)其中，其中，u0、v0為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。 （x、y方向的剛體位移），代入（方向的剛體位移），代入（d）得）得:)()(21xfvyfu(d) 剛體位移表達(dá)式剛體位移表達(dá)式將將(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydfxvvyuu00幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移剛體位移剛體位移四四彈性力學(xué)平面問題的基本理論29討論：討論： xvvyuu00 剛體位移表達(dá)式剛體位移表達(dá)式（1）2222yxvu,0, 00時(shí)當(dāng)vu僅有僅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu則,0, 000時(shí)當(dāng)uv僅有僅有y方向平移。方向平移。, 0,0

26、uvv則（3）,0, 000時(shí)當(dāng)uvxvyu則xyOPyxrrxyxyxytantan說明：說明：OPr P點(diǎn)沿切向繞點(diǎn)沿切向繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 繞繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移剛體位移剛體位移四四彈性力學(xué)平面問題的基本理論30內(nèi)容回顧：內(nèi)容回顧：兩類平面問題：兩類平面問題：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應(yīng)力特征。應(yīng)力特征。幾何特征幾何特征;受力特征受力特征;應(yīng)變特征。應(yīng)變特征。yxxyyx,xyyztba水水壩壩滾滾柱柱幾何方程幾何方程 剛體位移剛體位移四四yxxyyx,一、平面應(yīng)力問

27、題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論32建立：平面問

28、題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系建立：平面問題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。1. 各向同性彈性體的物理方程各向同性彈性體的物理方程 在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學(xué)中的廣義虎克（力學(xué)中的廣義虎克（Hooke）定律。）定律。)(1yxzzE)(1zyxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1其中：其中：E為拉壓彈性模量；為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；為剪切彈性模量；為側(cè)向收縮系數(shù)，為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱泊松比。又稱泊松比。)1 (2EG物理方程物理方程

29、五五彈性力學(xué)平面問題的基本理論33)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面應(yīng)力問題中由于平面應(yīng)力問題中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 注：注：(1) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxE0zxyzz物理方程物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程五五0z)(yxzE(2) xyxyE)1 (2彈性力學(xué)平面問題的基本理論34由于平面應(yīng)變問題由于平面應(yīng)變問題中中 注：注：)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12xyyE)(yxz0zxyzz平面應(yīng)變問題中平面應(yīng)變問題中0z但但0

30、z)(yxz物理方程物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程五五)(1yxzzE)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況

31、下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論36（1）平衡方程）平衡方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2(2-12)或(2-13)邊界條件邊界條件彈性力學(xué)平面問題的基本方程彈性力學(xué)平面問題的基本方程六六（2-8）未知量數(shù)：未知量數(shù)：vuxyyxxyyx,8個(gè)個(gè)方程數(shù)：方程數(shù)：8個(gè)個(gè)結(jié)論：結(jié)論：在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述8個(gè)方程可解。個(gè)方程可解。（2）幾何方程）幾何方程

32、yuxvyvxuxyyx彈性力學(xué)平面問題的基本理論37邊界條件邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力間的關(guān)系表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力間的關(guān)系式，是力學(xué)計(jì)算建模的重要環(huán)節(jié)。式，是力學(xué)計(jì)算建模的重要環(huán)節(jié)。 xyOqPuSSuSSS邊界分類邊界分類（1）位移邊界）位移邊界SuS（2）應(yīng)力邊界）應(yīng)力邊界（3）混合邊界）混合邊界 三類邊界三類邊界（1）位移邊界條件）位移邊界條件位移分量已知的邊界位移分量已知的邊界 位移邊界位移邊界 用用us 、 vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上的位移分量， 表示邊界上位移分量的已表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：知函數(shù)，則位移邊

33、界條件可表達(dá)為：vu,vvuuss 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類六六說明：說明：稱為固定位移邊界。稱為固定位移邊界。,0時(shí)當(dāng) vu彈性力學(xué)平面問題的基本理論38xyOqPuSSuSSS（2）應(yīng)力邊界條件）應(yīng)力邊界條件給定面力分量給定面力分量 邊界邊界 應(yīng)力邊界應(yīng)力邊界YX,xyOdxdydsPABXnYnnyxxyxy由前面斜面的應(yīng)力分析，得由前面斜面的應(yīng)力分析，得xyynlmYyxxnmlX式中?。菏街腥。篩YXXnn,sxyxysyysxx,得得平面問題的應(yīng)力邊界條件平面問題的應(yīng)力邊界條件YlmXmlsxysysxysx)()()()(六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其

34、分類邊界條件及其分類垂直垂直 x 軸的邊界：軸的邊界：. 1, 0ml垂直垂直 y 軸的邊界：軸的邊界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,彈性力學(xué)平面問題的基本理論39例例1 如圖所示，試寫出其邊界條件。如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)0, 000, 0 xvyuvuxss(2)0, 00, 1,YXmlaxYlmXmlsxysysxysx)()()()(00sxysx(3)qYXmlhy, 01, 0,qsxysysxysx0) 1(0) 1(00sxysyq說明：說明：x = 0 的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果

35、：0, 0vu六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論40(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入邊界條件公式，有代入邊界條件公式，有00yxy)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm例例2 如圖所示，試寫出其邊界條件。

36、如圖所示，試寫出其邊界條件。六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論41左側(cè)面：左側(cè)面：sin,cosmlsinyY cosyX 由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(cos)sin()cos(yyxyyxyx右側(cè)面：右側(cè)面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossin0sincosxyyxxyx例例3 圖示水壩，試寫出其邊界條件。圖示水壩，試寫出其邊界條件。六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論42例例4 圖示薄板，

37、在圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無應(yīng)力存在。處無應(yīng)力存在。解：解： 平面應(yīng)力問題，在平面應(yīng)力問題，在 AC、AB 邊界上無面力作用。邊界上無面力作用。即即0YXAB 邊界：邊界：111sin,cosml由應(yīng)力邊界條件公式，有由應(yīng)力邊界條件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 邊界：邊界：12122sincoscosml代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 點(diǎn)同處于點(diǎn)同處于

38、 AB 和和 AC 的邊界，的邊界，滿足式（滿足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 點(diǎn)處無應(yīng)力作用點(diǎn)處無應(yīng)力作用六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論43例例5 圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示楔形體，試寫出其邊界條件。YlmXmlsxysysxysx)()()()(上側(cè)：上側(cè)：0YXsin)90cos(lcos)180cos(m0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下側(cè)：下側(cè)：10ml，qYX ，0qsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(qsysxy)(0)(六六 邊界條件邊界條件邊界

39、條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論44例例6 圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。上側(cè)：上側(cè)：0,YqX10ml，0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxq0)()(sysxyqYlmXmlsxysysxysx)()()()(下側(cè)：下側(cè)：NpYX ，0cossin)90cos(ml，psysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類彈性力學(xué)平面問題的基本理論45（3）混合邊界條件）混合邊界條件(1) 物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。物體上的

40、一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2) 物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：一為應(yīng)力邊界條件。如：圖圖(a)：0Ysxy 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件圖圖(b)：0sx0 uus0 vvs 位移邊界條件位移邊界條件 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件六六 邊界條件邊界條件邊界條件及其分類邊界條件及其分類一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、

41、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論47問題的提出：?jiǎn)栴}的提出：PPP 求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足變分量、位移分量完全滿足8個(gè)基本方程相個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界

42、條件完全滿足，往往很對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。困難。 如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。法列寫。1. 靜力等效的概念靜力等效的概念兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。)(iOOFmMiFR 這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體而言完全正確，但對(duì)變形這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。體而言一般是不等效的。七七 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用彈性力學(xué)平面問題的基本理論482.圣維南原理圣維南原

43、理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP七七 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用彈性力學(xué)平面問題的基本理論493.圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用(1) 對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2) 有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。有

44、些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界七七 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用彈性力學(xué)平面問題的基本理論50左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入應(yīng)力邊界條件公式代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1ml0hxxyhxxy代入應(yīng)力邊界條件公式，有代入應(yīng)力邊界條件公式，有上端面：上端面：為次要邊界，可由圣維

45、南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：0YX0,YyX00hxxyhxxyyxsin)(0Pdxyhhy對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPxyy,按正向假設(shè)！按正向假設(shè)！注意：注意：例例 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。七七 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用彈性力學(xué)平面問題的基本理論51Pxy上端面：上端面：（方法（方法2）取圖示微元體，取圖示微元

46、體，0yF0sin0Pdxyhhysin0Pdxhhyy 0OM0sin20hPxdxyhhyxdxyhhy0)(sin2hP由微元體的平衡求得，由微元體的平衡求得，yyx 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！可見，與前面結(jié)果相同?？梢姡c前面結(jié)果相同。七七 圣維南原理及其應(yīng)用圣維南原理及其應(yīng)用一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件

47、六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論53（1）按位移求解（位移法、剛度法）按位移求解（位移法、剛度法）以以u(píng)、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)

48、力，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量量表示，并求出應(yīng)力分量 ，再由幾何方程、物理方程求出，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。形變分量與位移。（3）混合求解）混合求解以部分位移分量和部分應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，先以部分位移分量和部分應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，先求這些未知量，再求出其余未知量。求這些未知量，再求出其余未知量。八八 按位移求解平面問題按位移求解平面問題求解方法求解方法彈性力學(xué)平面問題的基

49、本理論54（1）平衡方程）平衡方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（2）幾何方程）幾何方程（2-8）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12/13）（4）邊界條件）邊界條件yuxvyvxuxyyx（2-14）（2-15）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,八八 按位移求解平面問題按位移求解平面問題位移法思路位移法思路彈性力學(xué)平面問題的基本理論55（1）將平衡方程用位移表示）將平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由應(yīng)變表示的物理方程由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有將幾何方程代入，有x

50、uyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）將式將式(a)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有代入平衡方程，化簡(jiǎn)有八八 按位移求解平面問題按位移求解平面問題基本方程基本方程021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE彈性力學(xué)平面問題的基本理論56（2）將邊界條件用位移表示）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）將式（將式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEss

51、ss21121122八八 按位移求解平面問題按位移求解平面問題基本方程基本方程說明：說明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問題，只需將式中的）對(duì)平面應(yīng)變問題，只需將式中的E、作相替換即可。作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。彈性力學(xué)平面問題的基本理論57（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-18）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,（2-14）應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEsss

52、s21121122（2-19）八八 按位移求解平面問題按位移求解平面問題式（式（2-18）、（）、（2-14）、（）、（2-19）構(gòu)成按位移求解問題的基本方程）構(gòu)成按位移求解問題的基本方程一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十

53、、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論591.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2個(gè)方程方程，個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問題。個(gè)未知量，為超靜定問題。需尋求補(bǔ)充方程，需尋求補(bǔ)充方程， 從形變、形從形變、形變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。將幾何方

54、程：將幾何方程：xvyuyvxuxyyx,（2-8）作如下運(yùn)算：作如下運(yùn)算：2322yxuyx2322xyvxy九九 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程2323xyvyxuxvyuxyyxxy22彈性力學(xué)平面問題的基本理論60顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。顯然有：顯然有：yxxyxyyx22222（2-20） 形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：即： 必須滿足上式才能保證位移分量必須滿足上式才能保證位移分量 u、v 的存在與協(xié)的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。調(diào)，才能求得

55、這些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C為常數(shù)。為常數(shù)。由幾何方程得：由幾何方程得：0, 0yvxu積分得：積分得：)x(fv)y(fu21由幾何方程的第三式得：由幾何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21九九 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程彈性力學(xué)平面問題的基本理論61將將 物理方程物理方程 代入代入形變協(xié)調(diào)方程形變協(xié)調(diào)方程，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222將將 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程（2）平面應(yīng)變

56、情形）平面應(yīng)變情形將將 上式中的泊松比上式中的泊松比代為：代為： ， 得得1（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）（平面應(yīng)變情形）yYxXyxyx11)(2222當(dāng)體力當(dāng)體力 X、Y 為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即0)(2222yxyx九九 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程彈性力學(xué)平面問題的基本理論62（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyxy0Xyxyxx（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（2-22）說明：說明：（

57、1）對(duì)位移邊界問題，不易按應(yīng)）對(duì)位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。是唯一正確解。（3）對(duì)多連通問題，滿足上述方）對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。件，才是唯一正確解。（3）邊界條件：）邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-15）（平面應(yīng)力情形）（平面應(yīng)力情形）九九 按應(yīng)力求解平面問題按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題二、平衡微分方

58、程二、平衡微分方程三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)四、幾何方程四、幾何方程 剛體位移剛體位移五、物理方程五、物理方程六、邊界條件六、邊界條件七、圣維南原理及其應(yīng)用七、圣維南原理及其應(yīng)用八、按位移求解平面問題八、按位移求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題九、按應(yīng)力求解平面問題 相容方程相容方程十、常體力情況下的簡(jiǎn)化十、常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第二章平面問題的基本理論第二章平面問題的基本理論內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學(xué)平面問題的基本理論641.常體力下平面問題的相容方程常體力下平面問題的相容方程令：令：2222

59、2yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子則相容方程可表示為：則相容方程可表示為：yYxXyx11)(2yYxXyx)1 ()(2 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形 平面應(yīng)變情形平面應(yīng)變情形當(dāng)體力當(dāng)體力 分量分量X、Y 為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即0)(2yx0)(2222yxyx或或十十 常體力情況下的簡(jiǎn)化常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 彈性力學(xué)平面問題的基本理論65（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件）邊界條件YlmXmlsxysysx

60、ysx)()()()(（2-18）0)(2yx（1）0)(2yx Laplace方程，方程， 或稱調(diào)和方程?；蚍Q調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含常體力下，方程中不含E、（a）兩種平面問題，計(jì)算結(jié)果兩種平面問題，計(jì)算結(jié)果x 相同相同xyy,yxzvuxy,）不同。）不同。（但（但（b）不同材料，具有相同外力不同材料，具有相同外力和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同。果相同。 光彈性實(shí)驗(yàn)原理。光彈性實(shí)驗(yàn)原理。滿足：滿足： 的函數(shù)的函數(shù)0),(2yxf),(yxf稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。（4）位移單值條件）位移單值條件 對(duì)多連通問題而言。對(duì)多連通問題而言