空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題

1、空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題-作者 xxxx-日期 xxxx【精品文檔】【精品文檔】空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題12016全國卷 體積為 8 的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A12B.323C8D4解析A因為正方體的體積為 8，所以正方體的體對角線長為 2 3，所以正方體的外接球的半徑為 3，所以球的表面積為 4( 3)212.22016全國卷 在封閉的直三棱柱 ABC - A1B1C1內(nèi)有一個體積為 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，則 V 的最大值是()A4B.92C6D.323解析B當球與三側(cè)面相切時，設球的半徑為 r1，

2、ABBC，AB6，BC8，8r16r110，解得 r12，不合題意；當球與直三棱柱的上、下底面相切時，設球的半徑為r2，則 2r23，即 r232.球的最大半徑為32，故 V的最大值為4332392.3.2016鄭州模擬 在平行四邊形 ABCD 中，CBA120，AD4，對角線 BD2 3，將其沿對角線 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，若四面體 ABCD 的頂點在同一球面上，則該球的體積為_答案：20 53；解析：因為CBA120，所以DAB60，在三角形 ABD 中，由余弦定理得(2 3)242AB224ABcos 60，解得 AB2，所以 ABBD.折起后平面ABD平面 BCD，即

3、有 AB平面 BCD，如圖所示，可知 A，B，C，D 可看作一個長方體中的四個頂點，長方體的體對角線 AC 就是四面體 ABCD 外接球的直徑，易知 AC22422 5，所以球的體積為20 53.4.2016山西右玉一中模擬 球 O 的球面上有四點 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四點共面，ABC 是邊長為 2 的正三角形，平面 SAB平面 ABC，則棱錐 S-ABC 的體積的最大值為()A.33B. 3C2 3D4選 A；解析 (1)由于平面 SAB平面 ABC，所以點 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上，根據(jù)球的對稱性可知，當 S 在“最高點”，即 H 為 AB 的中點

4、時，SH 最大，此時棱錐S-ABC 的體積最大因為ABC 是邊長為 2 的正三角形，所以球的半徑 rOC23CH233222 33.在 RtSHO 中，OH12OC33，【精品文檔】【精品文檔】所以 SH2 3323321，故所求體積的最大值為133422133.5.2016贛州模擬 如圖 7-38-19 所示，設 A，B，C，D 為球 O 上四點，AB，AC，AD 兩兩垂直，且 ABAC 3，若 ADR(R 為球 O 的半徑)，則球 O 的表面積為()圖 7-38-19AB2C4D8選 D；解析：因為 AB，AC，AD 兩兩垂直，所以以 AB，AC，AD 為棱構建一個長方體，如圖所示，則長方

5、體的各頂點均在球面上，ABAC 3，所以 AE 6，ADR，DE2R，則有 R26(2R)2，解得 R 2，所以球的表面積 S4R28.6.2016安徽皖南八校三聯(lián) 如圖所示，已知三棱錐 A-BCD 的四個頂點 A，B，C，D 都在球O 的表面上，AC平面 BCD，BCCD，且 AC 3，BC2，CD 5，則球 O 的表面積為()A12 B7 C9 D8解析A由 AC平面 BCD，BCCD 知三棱錐 A-BCD 可以補成以 AC，BC，CD 為三條棱的長方體，設球 O 的半徑為 R，則有(2R)2AC2BC2CD234512，所以 S球4R212.72016福建泉州質(zhì)檢 已知 A，B，C 在球

6、 O 的球面上，AB1，BC2，ABC60，且點 O到平面 ABC 的距離為 2，則球 O的表面積為_答案：20解析 在ABC 中用余弦定理求得 AC 3，據(jù)勾股定理得BAC 為直角，故 BC 的中點 O1即為ABC 所在小圓的圓心，則 OO1平面 ABC，在直角三角形OO1B中可求得球的半徑 r 5，則球 O 的表面積 S4r220.8. 2016河南中原名校一聯(lián) 如圖 K3816 所示，ABCD-A1B1C1D1是邊長為 1 的正方體，S-ABCD 是高為 1 的正四棱錐，若點 S，A1，B1，C1，D1在同一個球面上，則該球的表面積為()【精品文檔】【精品文檔】圖 K3816A.916

7、B.2516 C.4916 D.8116選 D；解析 如圖所示作輔助線，易知球心 O 在 SG1上，設 OG1x，則 OB1SO2x，同時由正方體的性質(zhì)知 B1G122，則在 RtOB1G1中，由勾股定理得 OB21G1B21OG21，即(2x)2x2222，解得 x78，所以球的半徑 R27898，所以球的表面積 S4R28116.92013課標全國如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為 6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為()A.5003cm3B.8663cm3C.1 3723cm3D.2 04

8、83cm3【精品文檔】【精品文檔】解析：設球半徑為 R，由題可知 R，R2，正方體棱長一半可構成直角三角形，即OBA 為直角三角形，如圖BC2，BA4，OBR2，OAR，由 R2(R2)242，得 R5，所以球的體積為43535003(cm3)，故選 A 項答案：A10已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為 3 2，則這個四棱錐的外接球的表面積為()A12B36C72D108選 B；解析：依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為 3226，高為3 2212623，因此底面中心到各頂點的距離均等于 3，所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為 3，所以其外接球的表面積等于 4323

9、6.112014石家莊質(zhì)檢一已知球 O，過其球面上 A、B、C 三點作截面，若 O 點到該截面的距離是球半徑的一半，且 ABBC2，B120，則球 O 的表面積為()A.643B.83C4 D.169【精品文檔】【精品文檔】解析：如圖，球心 O 在截面 ABC 的射影為ABC 的外接圓的圓心 O.由題意知 OO1R2，OAR，其中 R 為球 O 的半徑在ABC 中，AC AB2BC22ABBCcos120222222212 2 3.設ABC 的外接圓半徑為 r，則 2rACsin1202 3324，得 r2，即 OAOO1A 中，OO21O1A2OA2，即R244R2，解得 R2163，故球

10、O 的表面積 S4R2643，故選 A.答案：A122014鄭州模擬在三棱錐 A-BCD 中，ABCD6，ACBDADBC5，則該三棱錐的外接球的表面積為_解析：依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補形成一個長方體，設該長方體的長、寬、高分別為 a、b、c，且其外接球的半徑為 R，則a2b262，b2c252，c2a252，得 a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知 R 即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為 4R243.答案：43132014全國卷 正四棱錐的頂點都在同一球面上若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為()A.81

11、4B16 C9 D.274答案：A；解析 如圖所示，E 為 AC 與 BD 的交點因為正四棱錐的底面邊長為 2，所以 AE12AC 2.設球心為 O，球的半徑為 R，則 OE4R，OAR.又因為AOE 為直角三角形，所以 OA2OE2AE2，即 R2(4R)22，解得 R94，所以該球的表面積 S4【精品文檔】【精品文檔】R24942814.142016湖南八校聯(lián)考 如圖是一個幾何體的三視圖， 則這個幾何體外接球的表面積為()A8 B16 C32 D64答案：C；解析 該幾何體為一個四棱錐，其外接球的球心為底面正方形的中心，所以半徑為 2 2，表面積為 4(2 2)232.15已知四棱錐 S -ABCD 的所有頂點在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面內(nèi)，當四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于 1616 3，則球 O的體積等于()A.4 23B.16 23C.32 23D.64 23答案：D；解析 由題意，當此四棱錐的體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐設球O 的 半 徑 為 R ， 則 AC 2R ， SO R ， AB 2 R ， 則 有 (2 R)2 4122R22R2R21616 3，解得 R2 2，球 O 的體積是43R364 23.162016武漢調(diào)研 已知直三棱柱 ABC-A1B1