圓與方程知識點總結(jié)典型例題

1、圓與方程1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點 C(a,b) 為圓心，r 為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2 2 (x a) (y b) r .特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為 r 的圓的方程是： x2 y2 r 2.c. 點在圓外d> r 圓外一點 B ，圓上一動點P ，討論PA 的最值PAminminANrACPAmaxAMrAC2. 點與圓的位置關(guān)系：(1) . 設(shè)點到圓心的距離為 d，圓半徑為 r ：a. 點在圓內(nèi)d<r ； b. 點在圓上 d=r ；(2). 給定點 M (x0,y0)及圓 C:(x a)2 (y b)2 r2 . M 在圓 C內(nèi) (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圓C

2、上(x0a)2(y0b)2r2 M 在圓C外 (x0a)2(y0b)2r23)涉及最值：P ，討論 PB 的最值PB min BN BC r minPB max BM BC rmax思考：過此 A點作最短的弦？(此弦垂直 AC )3. 圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 .(1) 當(dāng) D 2 E2 4F 0時，方程表示一個圓，其中圓心E2 ，半徑 rD 2 E 2 4F2(2) 當(dāng) D2 E2 4F 0時，方程表示一個點D , E .22(3) 當(dāng) D2 E2 4F 0時，方程不表示任何圖形 .注：方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圓的充要條件是： B 0且 A

3、C 0且 D 2 E 2 4AF 0 .4. 直線與圓的位置關(guān)系：直線 Ax By C 0與圓 (x a)2 (y b)2 r 2圓心到直線的距離 d Aa Bb C22A2 B21) d r 直線與圓相離 無交點 ；2) d r 直線與圓相切 只有一個交點 ；3) d r 直線與圓相交有兩個交點 ；弦長 |AB| =2 r 2 d2Ax By C 0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組 求解，通過解 22x2 y2 Dx Ey F 0的個數(shù)來判斷：( 1)當(dāng)0 時，直線與圓有 2 個交點，直線與圓相交；(2) 當(dāng)0時，直線與圓只有 1 個交點，直線與圓相切；(3) 當(dāng)0 時，直線與圓沒有交

4、點，直線與圓相離；5. 兩圓的位置關(guān)系(1)設(shè)兩圓 C1:(x a1)2 (y b1)2 r12與圓 C2:(x a2)2 (y b2)2 r22，圓心距 d(a1 a2)2 (b1 b2)2 d r1 r2 外離4 條公切線 ； dr1r2外切3條公切線 ；r1r2dr1 r2相交 2條公切線； d r1 r2 內(nèi)切 1條公切線 ；外離2）兩圓公共弦所在直線方程圓 C1 ： x2 y2 D1x E1y F1 0 ，圓 C2 ： x2 y2 D2x E2y F2 0 ，則 D1 D2 x E1 E2 y F1 F20 為兩相交圓公共弦方程補充說明： 若C1與 C2相切，則表示其中一條公切線方程

5、； 若C1與 C2相離，則表示連心線的中垂線方程（3）圓系問題過兩圓 C1： x2 y2 D1x E1y F1 0和C2： x2 y2 D2x E2y F2 0交點的圓系 方程為 x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20 （1）補充： 上述圓系不包括 C2 ； 2）當(dāng)1 時，表示過兩圓交點的直線方程（公共弦） 過直線 Ax By C0與圓 x2 y2 Dx Ey F 0 交點的圓系方程為 22x2 y2 Dx Ey F Ax By C 06. 過一點作圓的切線的方程：（1） 過圓外一點的切線 ：k 不存在，驗證是否成立k 存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，即y1 y0 k

6、(x1 x0 ) b y1 k(a x1)RR2 1求解 k，得到切線方程【一定兩解】例 1. 經(jīng)過點 P(1 ， 2)點作圓 ( x+1) 2+( y2) 2=4的切線，則切線方程為(2) 過圓上一點的切線則過此點的切線方程為2 2 2方程：圓 ( xa) 2+( yb) 2=r 2，圓上一點為 ( x0，y0) ，( x0a)( xa)+(y0b)( yb)= r特別地，過圓 x2 y2 r 2上一點 P(x0,y0)的切線方程為 x0x y0y r2 .22例 2.經(jīng)過點 P(4，8)點作圓 ( x+7) 2+( y+8) 2=9的切線， 則切線方程為7切點弦(1) 過 C：(x a)2

7、 (y b)2 r 2 外一點 P( x0 , y0 ) 作 C的兩條切線， 切點分別為 A、B ， 則切點弦 AB 所在直線方程為： (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r 28. 切線長：若 圓 的 方 程 為 (x a)2(y b)2=r2， 則 過 圓 外 一 點 P(x0,y0) 的 切 線 長 為d= (x0 a) + (y0 b) r 9. 圓心的三個重要幾何性質(zhì)： 圓心在過切點且與切線垂直的直線上； 圓心在某一條弦的中垂線上； 兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。10. 兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓 C1：x2 +y2 2x =0

8、 和圓C2：x2 +y2 +4 y =0，試判斷圓和位置關(guān)系， 若相交，則設(shè)其交點為 A、 B，試求出它們的公共弦 AB的方程及公共弦長。一、求圓的方程例 1 (06 重慶卷文 ) 以點 (2, 1) 為圓心且與直線 3x 4y 5 0 相切的圓的方程為 (2 2 2 2(A) (x 2)2(y 1)23 (B) (x2)2(y 1)232 2 2 2(C)(x 2)2 (y 1)2 9 (D) (x 2)2 (y 1)2 9a 的取值范二、位置關(guān)系問題例 2 (06 安徽卷文 ) 直線 x y 1與圓 x2 y2 2ay 0(a 0) 沒有公共點，則圍是 ( )(A) (0, 2 1)(B)

9、 ( 2 1, 2 1)(C) ( 2 1, 2 1)(D) (0, 2 1)三、切線問題2 2 5例 3 (06 重慶卷理 ) 過坐標(biāo)原點且與圓 x2 y2 4x 2y 0 相切的直線方程為21(A) y 3x 或 y x31(C) y 3x 或 y x31(B) y 3x 或 y x31(D) y 3x 或 y x3四、弦長問題例 4 (06 天津卷理 ) 設(shè)直線 ax22y 3 0與圓(x 1)2 (y 2)2 4相交于 A、B 兩點，且弦 AB 的長為 2 3 ，則 a五、夾角問題例5 (06 全國卷一文) 從圓 x222x y2 2y 1 0外一點 P(3,2) 向這個圓作兩條切線，

10、則兩切線夾角的余弦值為 (13(A) (B)253(C)2(D) 0六、圓心角問題例 6 (06 全國卷二過點(1, 2)的直線 l將圓 (x 2)2 y2 4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線 l 的斜率七、最值問題22例 7 （06 湖南卷文 ） 圓 x2 y2 4x 4y 10 0上的點到直線 x y 14 0 的最大距離與 最小距離的差是 （ ）（A） 30 （B） 18 （C） 6 2 （D） 5 2八、綜合問題例 8 （06 湖南卷理 ） 若圓 x2 y2 4x 4y 10 0 上至少有三個不同的點到直線l :ax by 0 的距離為 2 2 ，則直線 l 的斜率 k 取值

11、范圍 圓的方程1.方程 x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則 t 的取值范圍是1A. 1<t<711B.1<t< C. <t<1 D .1<t<2272. 一圓與 y軸相切，圓心在直線 x3y=0上，且直線 y=x截圓所得弦長為 2 7 ，求此圓的方程3. 方程 x2 y2DxEyF0（D2E24F>0）表示的曲線關(guān)于 x+y=0 成軸對稱圖形，則（ ） A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=04. （20XX 年全國， 8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點 A（1，2）距離為

12、 1，且與點 B（3，1）距離為 2 的直線 共有（ ）A.1 條 B.2 條 C.3 條 D.4 條5. （20XX 年黃岡市調(diào)研題）圓 x2+y2+x6y+3=0 上兩點 P、 Q 關(guān)于直線 kx y+4=0 對稱，則k=.6. （ 20XX 年全國卷， 16）設(shè) P為圓 x2+y2=1 上的動點，則點 P到直線 3x4y10=0的 距離的最小 值為 .7. 已知實數(shù) x、 y滿足方程 x2+y24x+1=0.求（1） y 的最大值和最小值； （ 2）y x的最小值；x3 ） x2+y2 的最大值和最小值經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系2 2 22例1求經(jīng)過兩已知圓： x2y24x 6 0和 x2y24y 6 0 的交點且圓心的橫坐標(biāo)為 3的圓的方程。例 2 設(shè)圓方程為：( 4)x2 (4)y2 (2 4)x (12 40)y 48 164 0 其中 4求證： 不論 為何值，所給圓必經(jīng)過兩個定點。直線與圓的位置關(guān)系22 例1：求由下列條件所決定圓 x2 y2 4 的圓的切線方程；(1) 經(jīng)過點 P( 3,1) ， (2) 經(jīng)過點 Q(3,0) ， (3) 斜率為 1直線和圓1自 點（3， 3）發(fā) 出的光線 L 射到 x 軸上，被 x 軸反射 ，其反射線 所在直線與 圓 22x y 4x 4y