雙曲線及其性質(zhì)知識點及題型歸納總結(jié)(共15頁)

1、雙曲線及其性質(zhì)知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講一、雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為.注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.（2）當時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當時，點的軌跡是線段的垂直平分線.（3）時，點的軌跡不存在.在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：條件“”是否成立；要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應用.二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)如表10-2所示.表10-2標準方程圖形yxB1B2F2A2A1F1B1F1xyA1

2、F2B2A2焦點坐標，對稱性關于，軸成軸對稱，關于原點成中心對稱頂點坐標，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關系共焦點的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點為切點切線方程對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得.切點弦所在直線方程為雙曲線外一點為雙曲線外一點點為雙曲線與兩漸近線之間的點弦長公式設直線與雙曲線兩交點為，.則弦長，其中“”是消“”后關于“”的一元二次方程的“”系數(shù).通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為焦點三角形雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形，設，

3、則，r1r2F1yxF2P(x0,y0)O，焦點三角形中一般要用到的關系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設為.題型歸納及思路提示題型1 雙曲線的定義與標準方程思路提示求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)，即利用待定系數(shù)法求方程.（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程.例10.11 設橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26，若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（ ）A

4、. B. C. D. 解析 設的方程為，則，得.橢圓的焦點為，因為，且由雙曲線的定義知曲線是以為焦點，實軸長為8的雙曲線，故的標準方程為，故選A.變式 1 設命題甲：平面內(nèi)有兩個定點和一動點，使得為定值，命題乙：點的軌跡為雙曲線，則命題甲是命題乙的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式 2 已知和是平面上的兩個點，動點滿足，求點的軌跡方程.變式 3已知，動點滿足，記動點的軌跡為，求的方程.例10.12 求滿足下列條件的雙曲線的標準方程： （1）經(jīng)過點，焦點為； （2）實半軸長為且與雙曲線有公共焦點； （3）經(jīng)過點，.分析 利用待定系數(shù)法求方程.設雙曲

5、線方程為“”，或“”，求雙曲線方程，即求參數(shù)，為此需要找出并解關于，的兩個方程.解析 （1）解法一：因為焦點坐標為，焦點在軸上，故可設雙曲線方程為，又雙曲線過點，所以，又因為，所以，解得，故所求雙曲線方程為.解法二：由雙曲線的定義， .得，故，雙曲線方程為.（2）解法一：由雙曲線方程，得其焦點坐標為，由題意，可設所求雙曲線方程為，由已知，得，故所求雙曲線方程為.解法二：依題意，設雙曲線的方程為， 由.得，故所求曲線的方程為.（3）因為所求雙曲線方程為標準方程，但不知焦點在哪個軸上，故可設雙曲線方程為，因為所求雙曲線經(jīng)過點，所以，解得，故所求雙曲線方程為.評注 求雙曲線的標準方程一般用待定系數(shù)法

6、，若焦點坐標確定，一般僅有一解；若焦點坐標不能確定是在軸上還是在軸上，可能有兩個解，而分類求解較為繁雜，此時可設雙曲線的統(tǒng)一方程，求出即可，這樣可以簡化運算.變式 1 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程： （1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點； （2）與雙曲線有公共焦點；且過點.變式 2 若動圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，求動圓的圓心的軌跡方程.例10.13 已知雙曲線的離心率為2，焦點分別為，則雙曲線方程為（ ）A. B. C. D. 解析 由焦點為，可知焦點在軸上，故設方程為，且，故.所以，故所求雙曲線的方程為.故選A.變式 1 已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方

7、程為（ ）A. B. C. D. 變式 2 已知雙曲線的焦距為10，點在的漸近線上，則的方程為（ ）A. B. C. D. 變式 3 已知點是雙曲線漸近線上的一點，是左、右兩個焦點，若，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 題型2 雙曲線的漸近線思路提示掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由漸近線方程可得出，的關系式，為求雙曲線方程提供了一個條件.另外，焦點到漸近線的距離為虛半軸長.例10.14 雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 分析 對不標準的圓錐曲線方程應首先化為標準方程，再去研究其圖形或性質(zhì)，不然極易出現(xiàn)錯誤.解析 雙曲線的標

8、準方程為，焦點在軸上，且，故漸近線方程為，故所求漸近線方程為，即.故選A.評注 應熟記，若雙曲線的標準方程為，則焦點落在軸上，漸近線方程為；若雙曲線的標準方程為，則焦點落在軸上，漸近線方程為.本題也可以直接寫出漸近線方程為，化簡得.變式 1已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則_變式 2 設雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）A.4B.3C.2D.1變式 3 已知雙曲線的左、右焦點分別為，其中一條漸近線方程為，點在該雙曲線上，則等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離是_.解析 由題設可知其中一條漸近線方程為，則焦點到該漸近線的距離.評注 雙曲線的一個

9、焦點到其漸近線的距離（焦?jié)u距）為.變式 1雙曲線的漸近線與圓相切，則（ ）A. B. 2C.3D.6變式 2 已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 例10.16 過雙曲線的右頂點作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為，若，作為雙曲線的漸近線方程為_.解析 解法一：對于，則直線方程為，將該直線分別與兩漸近線聯(lián)立，解得，則有，因為，則，得，故，得雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線方程為.CDxyOABH解法二：如圖10-5所示，過點作交軸于點，作軸于，圖10-5則由，得，故.又，所以，則為中點，即.又在直角三角

10、形中，故，即.故，即，故雙曲線的漸近線方程為.評注 在解法一種，若注意到，則可利用巧妙求解；解法二更能幫助我們挖掘出圖形的本質(zhì)特征.變式 1 過雙曲線的右頂點的直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，且，則直線的斜率為_.題型3 離心率的值及取值范圍思路提示求離心率的本質(zhì)就是探求，間的數(shù)量關系，知道，中任意兩者的等式關系或不等關系便可求解出或其范圍，具體方法為標準方程法和定義法.例10.17 已知雙曲線，則此雙曲線的離心率為（ ）A. B.2 C. D. 解析 由題意可知，故，所以離心率.故選D.評注 本題若借用公式，則更為簡潔，因為此種方法在求解過程中避開了基本量的求解，從而使得求解過程變得更為

11、簡捷.但是同學們應對公式：橢圓中；雙曲線中，加以熟練識記.變式 1 下列雙曲線中離心率為的是（ ）A. B. C. D. 變式 2 已知點在雙曲線上，的焦距為4，則它的離心率為_.變式 3 已知雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 例10.18 已知雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_分析 因為不確定焦點在軸上還是在軸上，所以需分情況求解，由漸近線中的，關系，結(jié)合得出離心率.解析 依題意，雙曲線的漸近線方程是.若雙曲線的焦點在軸上，則因為雙曲線的漸近線方程為，故有，所以離心率；若雙曲線的焦點在軸上，則因為雙曲線的漸近線方程為，故有，即，所以離心率；故離心率等于或

12、.評注 若雙曲線方程為時（焦點在軸上），其漸近線方程為；若雙曲線方程為時（焦點在軸上），其漸近線方程為；若雙曲線的漸近線方程為；則其離心率（焦點在軸上）或（焦點在軸上）；若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（焦點在軸上）或（焦點在軸上）.變式 1 中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則它的離心率為（ ）A. B. C. D. 變式 2 若雙曲線的離心率，則其漸近線方程為_.例10.19 已知雙曲線.（1）若實軸長，虛軸長，焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率_；（2）若實軸長，虛軸長，焦距成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率_.解析 （1）由題設可知，且，故，得，即，所以.（2）由題設可

13、知，且，即，由可得，得或（舍去），所以.變式 1 設雙曲線的一個焦點為，虛軸的一個端點為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 圖10-6DCBAB1A2F1xyOA1F2B2變式 2 如圖10-6所示，雙曲線的兩個頂點為，虛軸兩個端點為，兩個焦點為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為.則（1）雙曲線的離心率_.（2）菱形的面積與矩形的面積的比值_.F2F1M300xyO圖10-7例10.20 雙曲線的左、右焦點分別為，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 解析 依題意，如圖10-7所示

14、，不妨設，則，則，故選B.變式1 已知是雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上的點，若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 變式2 已知是雙曲線的兩個焦點，是上一點，若，且的最小內(nèi)角為，則的離心率為_.例10.21 雙曲線的兩個焦點為，若為其上一點，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 解析 解法一：由雙曲線的定義知，故，又，故，即，又，故，故選B.解法二：利用的單調(diào)性，隨的增加，減小，也就是說，當點右移時，值減小，故要在雙曲線上找到一點，使得，而當點在雙曲線的右頂點時，得，則，故選B.評注 若在雙曲線上存在一點，使得，則，注意與橢圓中類似結(jié)論的區(qū)分和對比識記.變式1

15、 已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在點使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_.題型4 焦點三角形思路提示對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即，在焦點三角形面積問題中若已知角，則用，及余弦定理等知識；若未知角，則用.例10.22 過雙曲線左焦點的直線交雙曲線的左支于兩點，為其右焦點，則的值為_.分析 利用雙曲線的定義求解NxyOMF1F2圖10-8解析 如圖10-8所示，由定義知，所以，所以.變式 1 設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A. B.12C. D.24變式 2 雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，的面積為，則等于（ ）A.2B.

16、C.-2D. 變式 3 已知分別為雙曲線左、右焦點，點，點的坐標為，為的平分線，則_. 有效訓練題1. 已知雙曲線，直線過其左焦點，交雙曲線左支于兩點，且，為雙曲線的右焦點，的周長為20，則的值為（ ）A. 8B. 9C. 16D. 202. 若點和點分別為雙曲線的中心和左焦點，點為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 3. 已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，則（ ）A. B. C. D. 4. 若橢圓的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 5. 雙曲線的左、右焦點分別為，且恰好為拋物線的焦點，設雙曲線與該拋物線的一個交點為，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. l圖10-9EMFxyO6. 如圖10-9所示，過雙曲線的一個焦點引它的漸近線的垂線，垂足為，延長交軸于，若，則該雙曲線的離心率為（ ）A.3B.2C. D. 7. 已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且的右焦點為，則_， _.8. 已知雙曲線，點為其兩個焦點，點為雙曲線上一個點，若，則的值為_.9. 若雙曲線的兩個焦點為，為雙曲線上一點，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是_.10