初中數(shù)學(xué)幾何證明經(jīng)典試題(含答案)

1、初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖， 。是半圓的圓心， C、E是圓上的兩點(diǎn)， CDXAB , EFXAB , EGXCO. 求證：CD = GF.（初二）.如下圖做 GHLAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG, 即 GHFs OGE,可得型=00 = 90,又 CO=EO,所以 CD=GF 得證。GF GH CD第3頁共18頁求證： PBC是正三角形.（初二）2、已知：如圖， P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，/ PAD=/PDA = 15°.如下圖做 GHLAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG, 即 GHFsOGE,可得

2、 E0=-GO = C°X CO=EO,所以 cD=gf 得進(jìn)。GF GH CD.如下圖做 GHAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG,即 GHFsOGE,可得 EO = GO = CO X CO=EO,所以 CD=GF 得證。 GF GH CD3、如圖，已知四邊形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AAi、BB1、CCi、DD1的中點(diǎn).求證：四邊形 A2B2c2D2是正方形.（初二）4、已知:如圖，在四邊形 ABCD中，AD = BC, M、N分別是 AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC求證:的延長(zhǎng)線交/ DEN = /MN 于

3、 E、F.F.經(jīng)典題（二）1、已知: ABC 中,H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)）M,O為外心，且OM LBC于M .2、(1)求證：AH=2OM;(2)若/ BAC =600,求證:設(shè)MN是圓O外一直線，過AH = AO .(初二)。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線,及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.求證：AP = AQ.（初二）交圓于B、C3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE , 于 P、Q.求證：AP = AQ.（初二）4、如圖，分別以 ABC的AC和BC為一邊，在 ABC的外側(cè)作正方形 ACDE和正方形

4、CBFG,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.（初二）經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC, AE = AC , AE與CD相交于F. 求證：CE=CF.（初二）2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE II AC ,且CE=CA,直線EC交DA延長(zhǎng)線于F.求證：AE=AF.（初二）ADB3、設(shè)P是正方形ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn), 求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于C, AC為圓的直徑,CB、D.求證:AB = DC ,經(jīng)典題（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)， PA = 3, PB=4, PC=5. 求：/ A

5、PB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA = Z PDA.求證：/ PAB = /PCB.（初二）第13頁共18頁3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB - CD + AD - BC= AC - BD .（初三）AE與CF相交于P,且4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn), AE = CF.求證：/ DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L = PA + PB+PC求證:< Lv2.2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求 PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形 ABCD

6、內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA= a, PB=2a, PC=3a,求正方形的邊長(zhǎng).4、如圖， ABC 中，/ ABC =/ACB = 800, D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn)，/ DCA = 300, / EBA = 200,求/ BED 的度數(shù).A1.如下圖做 GHXAB,連接EO。即 GHFA OGE,可得 EOGF經(jīng)典題（一）由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/GO CO,=，又CO=EO,所以GFH = / OEG,GHCDCD=GF得證。2.如下圖做 GHLAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG,即 GHFsOGE,可得 EO=GO = CO,又 CO=EO,所以 C

7、D=GF 得證。GF GH CD3 .如下圖連接BC和AB分別找其中點(diǎn)F,E.連接GF與AE并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn), 連接EB并延長(zhǎng)交GQ于H點(diǎn)，連接FB并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由 A£=；AB=；BiG= FB2 , EB=gAB= gBC=FC ,又 / GFQ+/ Q=900 和/ GEB2+/Q=900所以/ GEB2=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2A A2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,從而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A 2B 2C

8、2D2是正方形。4 .如下圖連接AC并取其中點(diǎn) Q 連接QNffi QM所以可得ZQMF= ZF, / QNM= /DEN 和/ QMN= /QNM ,從而得出/ DEN = / F。經(jīng)典題(二)1.(1)延長(zhǎng) AC® F 連 BF,彳故 OG. AF,又/ F= Z ACB= / BHD ,可得BH=BF,從而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB OC既得/BOC=120°,從而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得證。3 .作 OF! CD OGL BE,連接 OP, OA,

9、 OF, AF, OG, AG, OQ。,AD AC CD 2FDFD由于=,AB AEBE 2BG BG由此可得 ADFABG ,從而可得/ AFC= / AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,從而可得 AP=AQ 。4 .過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG CI, FH可得PQ=EG+ FH由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。AI + BI AB從而可得 PQ= , 從而得證。經(jīng)典題（三）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE ,到 ABG ,連接CG.由于

10、/ ABG= / ADE=90 0+450=1350從而可得B, G, D在一條直線上，可得 AGB ACGB o推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。 /AGB=30°,既得/ EAC=300,從而可得/ A EC=750。又/ EFC=Z DFA=450+300=750.可證：CE=CF o2 .連接BDf乍CHLDE,可得四邊形CGDH是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=30 0,所以/ CAE= ZCEA= ZAED=150,又/ FAE=9Oo+45°+15°=15O0,從而可知道/ F=150,從而得出AE=

11、AF。3 .作FGLCD FEi±BE,可以得出GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。X Ztan/BAP=tan / EPF= =,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 ABPA PEF ,得到PA= PF ,得證。經(jīng) 典 難 題（四）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)MBP 600 ,連接PQ ,則 PBQ是正三角形。可得 PQC 是直角三角形。所以/ APB=150 0。2 .作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn) E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ ABP=/ADP= / A

12、EP,可得：AEBP 共圓（一邊所對(duì)兩角相等） ?？傻? BAP= Z BEP= Z BCP ,得證。第17頁共18頁3 .在 BD 取一點(diǎn) E,使/BCE=/ACD,既得 BEC ADC ,可得:BE _ ADBC - AC即 AD ?BC=BE ?AC,又/ ACB= / DCE,可得 ABC DEC ,既得AB DE=,即 AB?CD=DE ?AC,AC DC由 + 可得：AB ?CD+AD ?BC=AC（BE+DE尸 AC - BD4 .過 D作 AQLAE , AG±CF ,由 Svade = SYJABC= Svdfc，可得:2出旦絲絲由ae=fc。22可得DQ=DG ,

13、可得/ DPA=/ DPC （角平分線逆定理）。經(jīng) 典 題(五)1. (1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ， PE， EF 在一條直線上，即如下圖：可得最小 L=(2)過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,A*點(diǎn)D, Fo 由于/ APD> Z ATP= Z ADP,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FOPC又DF=AF由可得：最大 L<2 ;由（1）和（2）既得:2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上, 即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF。第21頁共18頁既得AF=1+號(hào)+1）22+，3= 4+23（3+ 1）23 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)4ABP 900 ,可得如下圖:既得正方形邊長(zhǎng)L =(2ga =卜+172 甲。4 .在 AB上找一點(diǎn) F,使/BCF=60。, 連接EF, DG,既