大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué) 第4章 概率基礎(chǔ)

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論xxx xxx 主講主講4-2第四章第四章 概率基礎(chǔ)概率基礎(chǔ)n第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件 n第二節(jié)第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算概率的性質(zhì)及其計(jì)算 n第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 n第四節(jié)第四節(jié) 幾種常用的概率分布幾種常用的概率分布4-3第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件n一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 n二、隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件 4-4一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 n確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象n在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結(jié)果的在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結(jié)果的現(xiàn)象現(xiàn)象

2、。n隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象n在給定的條件下不能確切預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象在給定的條件下不能確切預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象 。4-5二、隨機(jī)事件二、隨機(jī)事件 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)又稱作隨機(jī)試驗(yàn)。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)又稱作隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件，一般種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件，一般用大寫(xiě)字母用大寫(xiě)字母a,b,c,（必要時(shí)加下標(biāo)）來(lái)（必要時(shí)加下標(biāo)）來(lái)表示。有時(shí)，也可用大括號(hào)表示。有時(shí)，也可用大括號(hào)表示事表示事件，括號(hào)中寫(xiě)明事件的內(nèi)容。件，括號(hào)中寫(xiě)明事件的內(nèi)容。4-6（一）事件的種類(lèi)（一）事件的種類(lèi) 一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩

3、個(gè)以上一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，稱作基本事件?；臼录窃囼?yàn)的最基本結(jié)事件，稱作基本事件?；臼录窃囼?yàn)的最基本結(jié)果：每次試驗(yàn)必出現(xiàn)一個(gè)基本事件，任何兩個(gè)基本果：每次試驗(yàn)必出現(xiàn)一個(gè)基本事件，任何兩個(gè)基本事件都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。事件都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。 由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件所組成的事件稱作由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件所組成的事件稱作復(fù)合事件。復(fù)合事件。 一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的集合，稱作該一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的集合，稱作該隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間。必然事件是每次試驗(yàn)都隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間。必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件，記作一定出現(xiàn)的事件，記作。任何一次試驗(yàn)都不可能。任

4、何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作。4-7（二）事件的關(guān)系和運(yùn)算（二）事件的關(guān)系和運(yùn)算 事件的關(guān)系有：包含和相等；事件的運(yùn)算有：事件的關(guān)系有：包含和相等；事件的運(yùn)算有：和（并），差，交（積），逆。和（并），差，交（積），逆。n（1）包含：關(guān)系式）包含：關(guān)系式 表示表示“若若a出出現(xiàn)，則現(xiàn)，則b也出現(xiàn)（反之則未必）也出現(xiàn)（反之則未必）”，稱作，稱作“b包含包含a”，或，或“a導(dǎo)致導(dǎo)致b”。 ba 4-8n（2）相等：關(guān)系式）相等：關(guān)系式a=b表示二事件表示二事件a和和b要么都出要么都出現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作“事件事件a等于事件等于

5、事件b”或或“事件事件a和和b等價(jià)等價(jià)”。 n（3）和（并）：運(yùn)算式）和（并）：運(yùn)算式a+b或或ab讀作讀作“a加加b”，稱作稱作“a與與b的和（并）的和（并）”，表示，表示“a和和b至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)”。對(duì)于多個(gè)事件。對(duì)于多個(gè)事件 , 或或 表示表示“諸事件中至少出現(xiàn)一個(gè)諸事件中至少出現(xiàn)一個(gè)”。 ）， 21( iiaiiaiia4-9n（4）差：運(yùn)算式）差：運(yùn)算式 ab或或ab讀作讀作“a減減b”，稱作，稱作“a與與b的差的差”，表示，表示“事件事件a出現(xiàn)但出現(xiàn)但b不出現(xiàn)。不出現(xiàn)。”n（5）交（積）：運(yùn)算式）交（積）：運(yùn)算式ab或或ab，稱作，稱作“a與與b的交（或的交（或積）積）”，

6、表示，表示“事件事件a和和b同時(shí)出現(xiàn)同時(shí)出現(xiàn)”。對(duì)于多個(gè)事件。對(duì)于多個(gè)事件 表示表示“諸事件諸事件 同時(shí)出現(xiàn)同時(shí)出現(xiàn)”。 n（6）逆事件：）逆事件： =a不出現(xiàn)不出現(xiàn)，稱作，稱作a的對(duì)立事件或逆事件。的對(duì)立事件或逆事件。顯然顯然a和和 互為對(duì)立事件，它們之間有下列關(guān)系：，互為對(duì)立事件，它們之間有下列關(guān)系：，a =。n（7）不相容：若）不相容：若ab=，即，即a與與b不可能同時(shí)出現(xiàn)，則稱不可能同時(shí)出現(xiàn)，則稱a和和b不相容。不相容。），21( iia aa），21( iiaiaaaa4-10第二節(jié)第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算概率的性質(zhì)及其計(jì)算n一、概率的概念一、概率的概念n二、隨機(jī)事件的頻率與概率的

7、關(guān)系二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系n三、概率的性質(zhì)三、概率的性質(zhì)n四、概率的估計(jì)和計(jì)算四、概率的估計(jì)和計(jì)算4-11一、概率的概念一、概率的概念n 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它在一次試驗(yàn)中對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，就有可能性大小問(wèn)題。事件就有可能性大小問(wèn)題。事件a在隨機(jī)試驗(yàn)中出在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件a的概率以的概率以p（a）表示。）表示。4-12二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系n在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行同一隨機(jī)試驗(yàn)，在相同

8、條件下，重復(fù)進(jìn)行同一隨機(jī)試驗(yàn)，a是是這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果（事件）。設(shè)試驗(yàn)的次這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果（事件）。設(shè)試驗(yàn)的次數(shù)為數(shù)為n，在，在n次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中a出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為na，則事件則事件a的頻率為的頻率為n通過(guò)大量觀測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)試驗(yàn)的頻率通過(guò)大量觀測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)試驗(yàn)的頻率具有隨試驗(yàn)次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質(zhì)，而具有隨試驗(yàn)次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質(zhì)，而頻率的穩(wěn)定值可以用來(lái)反映事件發(fā)生的可能頻率的穩(wěn)定值可以用來(lái)反映事件發(fā)生的可能性大小。因此，可以說(shuō)頻率的穩(wěn)定值性大小。因此，可以說(shuō)頻率的穩(wěn)定值p是事件是事件a發(fā)生的概率。即發(fā)生的概率。即p(a)=pnnapan)(4-13三、概率

9、的性質(zhì)三、概率的性質(zhì)n設(shè)事件設(shè)事件a的概率記作的概率記作p（a），則它應(yīng)該具有），則它應(yīng)該具有如下性質(zhì)：如下性質(zhì)：n性質(zhì)性質(zhì)1：非負(fù)性，即：非負(fù)性，即0p(a)1n性質(zhì)性質(zhì)2：規(guī)范性，即，對(duì)于必然事件：規(guī)范性，即，對(duì)于必然事件，有，有 p()=1n性質(zhì)性質(zhì)3：對(duì)于隨機(jī)事件：對(duì)于隨機(jī)事件ai(i=1，2，)，只要它，只要它 們兩兩互不相容，則有們兩兩互不相容，則有1)(1)(iapiapii4-14四、概率的估計(jì)和計(jì)算四、概率的估計(jì)和計(jì)算n（一）概率的直接計(jì)算（一）概率的直接計(jì)算 1.古典型概率古典型概率 如果一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件總數(shù)有限，如果一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件總數(shù)有限，并且各基本

10、事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件并且各基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件a由若干基本事件所組成，則由若干基本事件所組成，則a的概率可用下式的概率可用下式計(jì)算計(jì)算基本事件總數(shù)所含基本事件的個(gè)數(shù)aap)(4-15n【例【例4-1】 袋中盛有除顏色外其他完全相同的袋中盛有除顏色外其他完全相同的50個(gè)不同顏色的小球，其中有個(gè)不同顏色的小球，其中有10個(gè)白球。充個(gè)白球。充分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概率。率。 解：記解：記a = 抽到白球抽到白球。該試驗(yàn)總共有。該試驗(yàn)總共有50個(gè)等個(gè)等可能的基本事件，可能的基本事件，a包含其中的包含其中的10個(gè)。因此個(gè)。因此 2

11、.05010)(ap4-16n2.幾何型概率幾何型概率 如果隨機(jī)試驗(yàn)可模擬區(qū)域上隨機(jī)投點(diǎn)。如果隨機(jī)試驗(yàn)可模擬區(qū)域上隨機(jī)投點(diǎn)。并且（并且（1）這個(gè)區(qū)域有明確界限，可以作長(zhǎng)度、）這個(gè)區(qū)域有明確界限，可以作長(zhǎng)度、面積、體積的幾何度量。（面積、體積的幾何度量。（2）隨機(jī)點(diǎn)落在這）隨機(jī)點(diǎn)落在這個(gè)區(qū)域任何一點(diǎn)上的可能性都相同，也就是個(gè)區(qū)域任何一點(diǎn)上的可能性都相同，也就是說(shuō)，對(duì)于中的某一區(qū)域說(shuō)，對(duì)于中的某一區(qū)域g，隨機(jī)點(diǎn)落在，隨機(jī)點(diǎn)落在g內(nèi)的內(nèi)的概率與概率與g的幾何度量成正比，同它的形狀以及的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無(wú)關(guān)。在中的位置無(wú)關(guān)。4-17n對(duì)于這種隨機(jī)試驗(yàn)，如果以對(duì)于這種隨機(jī)試驗(yàn)，如

12、果以a表示表示隨機(jī)點(diǎn)落隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域在區(qū)域g中中這一事件，則其概率可用下式計(jì)這一事件，則其概率可用下式計(jì)算算的幾何度量的幾何度量gap)(4-18n【例【例4-2】 某農(nóng)場(chǎng)有耕地某農(nóng)場(chǎng)有耕地500畝，其中畝，其中1號(hào)地塊號(hào)地塊面積為面積為8畝。向畝。向500畝耕地隨機(jī)投點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)畝耕地隨機(jī)投點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)落在落在500畝耕地每一位置的可能性相等。求畝耕地每一位置的可能性相等。求1號(hào)地塊被抽中的概率。號(hào)地塊被抽中的概率。 4-19 解：隨機(jī)點(diǎn)落在解：隨機(jī)點(diǎn)落在1號(hào)地塊內(nèi)的概率與地塊的號(hào)地塊內(nèi)的概率與地塊的面積成正比。面積成正比。1號(hào)地塊的幾何度量為號(hào)地塊的幾何度量為8畝，整畝，整個(gè)區(qū)域幾何度量為個(gè)區(qū)

13、域幾何度量為500畝。記畝。記a=隨機(jī)點(diǎn)落在隨機(jī)點(diǎn)落在1號(hào)地塊號(hào)地塊=1號(hào)地塊被抽中號(hào)地塊被抽中，則，則016. 05008)(ap4-20n（二）用頻率估計(jì)概率（二）用頻率估計(jì)概率 在最一般情況下，用事件在大量重復(fù)試在最一般情況下，用事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率估計(jì)其概率的值。這樣做的驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率估計(jì)其概率的值。這樣做的依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點(diǎn)前面已經(jīng)有依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點(diǎn)前面已經(jīng)有所敘述。所敘述。4-21n（三）主觀概率（三）主觀概率 根據(jù)決策者綜合各種信息，并依靠其經(jīng)根據(jù)決策者綜合各種信息，并依靠其經(jīng)驗(yàn)和判斷力對(duì)事件的概率做出估計(jì)，這種概驗(yàn)和判斷力對(duì)事件的概率做出估計(jì)，這

14、種概率的估計(jì)值被稱為主觀概率。主觀概率不假率的估計(jì)值被稱為主觀概率。主觀概率不假定現(xiàn)象的可重復(fù)性，甚至可以根據(jù)一次性試定現(xiàn)象的可重復(fù)性，甚至可以根據(jù)一次性試驗(yàn)做出判斷。例如，請(qǐng)資深體育評(píng)論員對(duì)即驗(yàn)做出判斷。例如，請(qǐng)資深體育評(píng)論員對(duì)即將參賽的兩支足球隊(duì)的勝、負(fù)可能性進(jìn)行估將參賽的兩支足球隊(duì)的勝、負(fù)可能性進(jìn)行估計(jì)。在對(duì)事件出現(xiàn)的真實(shí)可能性缺乏有效估計(jì)。在對(duì)事件出現(xiàn)的真實(shí)可能性缺乏有效估計(jì)時(shí)，主觀概率法也可作為解決問(wèn)題的一種計(jì)時(shí)，主觀概率法也可作為解決問(wèn)題的一種方法。不過(guò)，目前對(duì)主觀概率法的應(yīng)用理論方法。不過(guò)，目前對(duì)主觀概率法的應(yīng)用理論界尚存在爭(zhēng)議。界尚存在爭(zhēng)議。4-22n（四）概率的計(jì)算（四）概率

15、的計(jì)算 1.概率的加法法則概率的加法法則 （1）任意事件的加法規(guī)則）任意事件的加法規(guī)則 任意兩個(gè)事件和（并）的概率，等于兩事件任意兩個(gè)事件和（并）的概率，等于兩事件概率的和再減去兩事件同時(shí)發(fā)生的概率。即概率的和再減去兩事件同時(shí)發(fā)生的概率。即 )()()()(abpbpapbap4-23（2）不相容事件的加法規(guī)則）不相容事件的加法規(guī)則 兩個(gè)不相容事件與的和兩個(gè)不相容事件與的和(并并)的概率，等于兩事件概率的概率，等于兩事件概率的和。即的和。即 對(duì)多個(gè)事件，這個(gè)規(guī)則也就是前面說(shuō)過(guò)的概率的性對(duì)多個(gè)事件，這個(gè)規(guī)則也就是前面說(shuō)過(guò)的概率的性質(zhì)質(zhì)3。 )()()(bpapbap4-24n2.條件概率和乘法公

16、式條件概率和乘法公式 在實(shí)際問(wèn)題中，除了要知道事件發(fā)生概在實(shí)際問(wèn)題中，除了要知道事件發(fā)生概率外，有時(shí)還需要知道在率外，有時(shí)還需要知道在“事件事件b已發(fā)生已發(fā)生”的的條件下，事件條件下，事件a發(fā)生的概率，這種概率稱為條發(fā)生的概率，這種概率稱為條件概率，記作件概率，記作 。)|(bap4-25n條件概率的下列一般定義：設(shè)，條件概率的下列一般定義：設(shè)，a,b是任意兩是任意兩個(gè)事件，且個(gè)事件，且p(b)0，則稱，則稱 為為“在事件在事件b發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的條發(fā)生的條件概率件概率”，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱“a關(guān)于關(guān)于b的條件概率的條件概率”。n由這個(gè)定義，可得到概率的乘法公式：設(shè)由這個(gè)定義

17、，可得到概率的乘法公式：設(shè)a與與是是b任意兩個(gè)事件，且任意兩個(gè)事件，且p(a)0，p(b)0，則，則 )()()|(bpabpbap)|()(bapbpabp)|()()(abpapabp4-26n【例【例4-4】 設(shè)一批產(chǎn)品共設(shè)一批產(chǎn)品共n件，其中有件，其中有m件次品，件次品，不放回地抽取兩件，求事件不放回地抽取兩件，求事件第一件抽到的是正品，第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品而第二件抽到的是次品的概率。的概率。 解：記解：記a=第一件是正品第一件是正品，b=第二件是次品第二件是次品，所求事件為所求事件為ab。根據(jù)乘法公式，有。根據(jù)乘法公式，有 1)|()()(nmnmnabpapab

18、p4-27n3.全概率公式全概率公式 全概率公式可表述如下：全概率公式可表述如下： 設(shè)設(shè) 為個(gè)互不相容事件，且為個(gè)互不相容事件，且 ,則任一事件的概則任一事件的概 率為率為0)(ibpnbbb,21niib1),2,1(niniiibapbpap1)()()(4-284-294-30n4.貝葉斯公式貝葉斯公式4-314-32n5.事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 對(duì)于兩個(gè)事件對(duì)于兩個(gè)事件a和和b，假若事件，假若事件b的發(fā)生會(huì)對(duì)的發(fā)生會(huì)對(duì)事件事件a發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即 ，稱，稱事件事件a與與b之間統(tǒng)計(jì)相依。假若事件之間統(tǒng)計(jì)相依。假若事件b的發(fā)生并不的發(fā)生并不影響事件影響事件a發(fā)生

19、的概率，稱事件發(fā)生的概率，稱事件a與與b之間統(tǒng)計(jì)之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。在獨(dú)立。在a與與b獨(dú)立時(shí)顯然有獨(dú)立時(shí)顯然有 ，這時(shí)，這時(shí)，乘法公式式（乘法公式式（4.9）成為）成為)()()|()()(bpapbapbpabp)()|(apbap)()|(apbap4-33 通常把這個(gè)關(guān)系式作為事件獨(dú)立性的定義。即通常把這個(gè)關(guān)系式作為事件獨(dú)立性的定義。即設(shè)設(shè)a與與b是任意兩個(gè)事件，如果滿足是任意兩個(gè)事件，如果滿足 則稱事件則稱事件a與與b獨(dú)立，否則稱獨(dú)立，否則稱a與與b相依。相依。 在實(shí)際應(yīng)用中，如果兩個(gè)事件相互間沒(méi)有影響，在實(shí)際應(yīng)用中，如果兩個(gè)事件相互間沒(méi)有影響，則可以認(rèn)為這兩個(gè)事件相互獨(dú)立。則可以認(rèn)為這兩個(gè)

20、事件相互獨(dú)立。 )()()(bpapabp4-344-35n 應(yīng)該指出，兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互不相應(yīng)該指出，兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互不相容是兩個(gè)不同的概念。獨(dú)立性是指兩個(gè)事件容是兩個(gè)不同的概念。獨(dú)立性是指兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個(gè)事件不的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。兩個(gè)不相容事件一定是統(tǒng)計(jì)相能同時(shí)發(fā)生。兩個(gè)不相容事件一定是統(tǒng)計(jì)相依的，兩個(gè)獨(dú)立事件一定是相容的（除非其依的，兩個(gè)獨(dú)立事件一定是相容的（除非其中有一個(gè)事件的概率為中有一個(gè)事件的概率為0）。）。 4-364-37n【例【例4-8】 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行3次射擊，第一、二、三次射擊次射擊，第一、二、三次

21、射擊的命中概率分別是的命中概率分別是0.3、0.4、0.6，試求在這三次射擊中恰有，試求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。一次命中的概率。n解：記解：記 ， （i=1，2，3），于是可以寫(xiě)出：），于是可以寫(xiě)出：中三次射擊中恰有一次命a次射擊命中第iai4-38中三次射擊中恰有一次命a 321321321aaapaaapaaapap顯然，這三個(gè)事件是兩兩不相容的。而 是這三個(gè)事件的和。根據(jù)不相容事件的加法法則，有由于三次射擊是彼此獨(dú)立的，即相互獨(dú)立，故有 4-394-40第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布n一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念n二、隨機(jī)變量的概率分布二、隨機(jī)變量的概率

22、分布n三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征4-41n一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念（一）什么是隨機(jī)變量（一）什么是隨機(jī)變量 隨機(jī)變量就是其取值帶有隨機(jī)性的變隨機(jī)變量就是其取值帶有隨機(jī)性的變量。在給定的條件下，這種變量取何值事量。在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)定，先不能確定，只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)定，并且隨試驗(yàn)的結(jié)果而變。并且隨試驗(yàn)的結(jié)果而變。4-42n（二）隨機(jī)變量的種類(lèi)（二）隨機(jī)變量的種類(lèi) 如果隨機(jī)變量的全體可能取值能夠一一列如果隨機(jī)變量的全體可能取值能夠一一列舉出來(lái)，這樣的隨機(jī)變量稱作離散型隨機(jī)變舉出來(lái)，這樣的隨機(jī)變量稱作離散型隨機(jī)變量（如

23、擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）；的投擲次數(shù)）； 如果隨機(jī)變量的全體可能取值不能一一如果隨機(jī)變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量（如可能出現(xiàn)的該變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量（如可能出現(xiàn)的測(cè)量誤差）測(cè)量誤差）。4-43二、隨機(jī)變量的概率分布二、隨機(jī)變量的概率分布n（一）概率分布的概念（一）概率分布的概念 隨機(jī)變量的一切可能值的集合（值域），隨機(jī)變量的一切可能值的集合（值域），及其相應(yīng)的概率叫做隨機(jī)變量的概率分布。及其相應(yīng)的概率叫做隨機(jī)變量的概率分布。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)

24、性質(zhì)可由它的概率分布來(lái)表隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可由它的概率分布來(lái)表征。征。4-44n 1.離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布【例【例4-9】 歷史上曾有不少人作過(guò)反復(fù)投擲均勻硬幣的試驗(yàn)?，F(xiàn)歷史上曾有不少人作過(guò)反復(fù)投擲均勻硬幣的試驗(yàn)。現(xiàn)在定義這樣一個(gè)隨機(jī)變量：在定義這樣一個(gè)隨機(jī)變量： 如果反面朝上如果正面朝上, 0, 1x表表4-1 投擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布投擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布試驗(yàn)結(jié)果x試驗(yàn)者：蒲 豐試驗(yàn)者：皮爾遜試驗(yàn)者：皮爾遜頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1（正面）0（反面）204819920.50690.4931601959810.50160.498412012119980.50050.

25、4995合 計(jì)40401.0000120001.0000240001.00004-45 綜上所述，離散型隨機(jī)變量綜上所述，離散型隨機(jī)變量x的每一個(gè)可的每一個(gè)可能的取值能的取值xi和隨機(jī)變量取該值的概率和隨機(jī)變量取該值的概率p（xi）之間所確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱作這個(gè)離散型隨機(jī)之間所確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱作這個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布。變量的分布。p（xi）（）（i=1，2，3，）稱作）稱作隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下面的關(guān)系：面的關(guān)系：p（xi）0和和 。11)(iixp4-46 【例【例4-10】 袋中共有袋中共有50個(gè)球，其中記上個(gè)球，其中記上0號(hào)的號(hào)的5

26、個(gè)，個(gè)，記上記上k號(hào)的分別有號(hào)的分別有k個(gè)（個(gè)（ k = 1，2，9）?，F(xiàn)從袋）。現(xiàn)從袋中任取一球。試做出所得號(hào)數(shù)的分布列。中任取一球。試做出所得號(hào)數(shù)的分布列。 解：記所取之球的號(hào)數(shù)為隨機(jī)變量解：記所取之球的號(hào)數(shù)為隨機(jī)變量x，由古典概率的，由古典概率的計(jì)算方法可知：計(jì)算方法可知：p(x=0)=5 / 50，p(x = k) = k / 50 ( k = 1，2，9)。于是，可做出分布列（見(jiàn)表。于是，可做出分布列（見(jiàn)表4-3）。）。 表表4-3 離散型隨機(jī)變量分布數(shù)列離散型隨機(jī)變量分布數(shù)列x = xi0123456789p(xi)0.10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.1

27、2 0.14 0.16 0.184-47n2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 【例【例4-11】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的246件件汽車(chē)活塞，測(cè)得所切削之活塞孔對(duì)中心線的汽車(chē)活塞，測(cè)得所切削之活塞孔對(duì)中心線的偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對(duì)偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對(duì)這類(lèi)變量觀測(cè)數(shù)據(jù)的整理應(yīng)當(dāng)采用組距式分這類(lèi)變量觀測(cè)數(shù)據(jù)的整理應(yīng)當(dāng)采用組距式分組。把整理結(jié)果做成頻率分布表（見(jiàn)表組。把整理結(jié)果做成頻率分布表（見(jiàn)表4-4）和次數(shù)分布直方圖（見(jiàn)圖和次數(shù)分布直方圖（見(jiàn)圖4-1）。）。 4-48n表表4-4汽車(chē)活塞削孔對(duì)中心線偏差的頻率分布汽車(chē)活塞削孔對(duì)

28、中心線偏差的頻率分布偏差尺寸分組（毫米）x = x頻數(shù)（件）頻率頻率密度453535252515155 55 515 1525 2535 3545 218355450442712 40.00810.07320.14230.21950.20320.17890.10970.04880.01630.000810.007320.014230.021950.020320.017890.010970.004880.001634-49偏差尺寸（毫米）圖圖4-1 活塞削孔對(duì)中心線的偏差的頻率分布活塞削孔對(duì)中心線的偏差的頻率分布4-50n 綜上所述，連續(xù)型隨機(jī)變量綜上所述，連續(xù)型隨機(jī)變量x的一系列的一系列取值區(qū)

29、間（例如，可以是由取值區(qū)間（例如，可以是由與實(shí)數(shù)軸上的與實(shí)數(shù)軸上的任意點(diǎn)所構(gòu)成的一系列區(qū)間）和隨機(jī)變量在任意點(diǎn)所構(gòu)成的一系列區(qū)間）和隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱該區(qū)間取值的概率之間確立的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱作這個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。作這個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。n 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可以用密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可以用密度函數(shù)來(lái)描述，隨機(jī)變量的密度函數(shù)記作來(lái)描述，隨機(jī)變量的密度函數(shù)記作 。 )(xp4-51n 次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來(lái)畫(huà)圖的。當(dāng)分組數(shù)無(wú)窮多，而組距（即直條的高來(lái)畫(huà)圖的。當(dāng)分組數(shù)無(wú)窮多，而組距（即直條的

30、底邊長(zhǎng)）趨近于底邊長(zhǎng)）趨近于0時(shí)，直方圖演變成平滑的曲線時(shí)，直方圖演變成平滑的曲線(如如圖圖4-1)，這時(shí)，直條的高就成，這時(shí)，直條的高就成 為為 。n 連續(xù)型隨機(jī)變量在某一數(shù)值區(qū)間內(nèi)取值的概率連續(xù)型隨機(jī)變量在某一數(shù)值區(qū)間內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫(xiě)作梯形的面積。寫(xiě)作)(xpbadxxpbxap)()(4-52n密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)基本性質(zhì)：密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會(huì)是負(fù)數(shù)，從圖形看，密度）密度函數(shù)的函數(shù)值不會(huì)是負(fù)數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線；曲線在橫軸上方，

31、以橫軸為漸近線；（2）在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于）在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于1，從圖，從圖形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于1。這兩個(gè)性質(zhì)。這兩個(gè)性質(zhì)用密度函數(shù)式寫(xiě)作用密度函數(shù)式寫(xiě)作0)(xp 1)(dxxp4-53三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征n（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是x的一切可能值的一切可能值以相應(yīng)的概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。今以相應(yīng)的概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。今后我們把后我們把x的數(shù)學(xué)期望記作的數(shù)學(xué)期望記作e(x)。4-54n若若x是離散型隨機(jī)變量，是離散型

32、隨機(jī)變量， e(x)=n若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p(x)，則則x的數(shù)學(xué)期望定義為的數(shù)學(xué)期望定義為 vixxpxvipxiiii11dxxxpxe)()(式中的定積分應(yīng)絕對(duì)收斂。式中的定積分應(yīng)絕對(duì)收斂。4-55 數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì)：數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì)：n性質(zhì)性質(zhì) 1 e（c）=c n性質(zhì)性質(zhì) 2 e（x+c）=e（x）+c n性質(zhì)性質(zhì) 3 e（cx）= ce（x） 4-56 n性質(zhì)性質(zhì) 4 e（xy）=e（x）e（y） 推廣推廣n性質(zhì)性質(zhì)5 若若x與與y獨(dú)立，獨(dú)立，e(xy)=e（x）e（y） 推廣推廣 若若x1,，xn獨(dú)立，有獨(dú)立，有 e（x1x

33、2xn）=e（x1）（x2）e（xn）niiniixexe114-57n（二）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)（二）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù) 1.方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差和標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的方差，記作的方差，記作v(x)，是，是x與其與其數(shù)學(xué)期望的離差平方的數(shù)學(xué)期望。即數(shù)學(xué)期望的離差平方的數(shù)學(xué)期望。即v(x)=ex e( x )2 稱稱 為為x的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。 方差還可以有下列表達(dá)式方差還可以有下列表達(dá)式 v(x)=e(x2)e( x )2 )(xv4-58n若若x是離散型隨機(jī)變量，其分布如表是離散型隨機(jī)變量，其分布如表4-5所示，所示，則則x的方差用下式計(jì)算。的方差用下式計(jì)算。

34、 v( x ) =n若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，則的方差用下式計(jì)算。則的方差用下式計(jì)算。vipxexii1)(2dxxpexxxv)()(2)(4-59n方差有下列性質(zhì)：方差有下列性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì) 1 v（c）= 0 性質(zhì)性質(zhì) 2 v（x+c）= v（x） 性質(zhì)性質(zhì) 3 v（cx）= c2v（x） 性質(zhì)性質(zhì) 4 若若x與與y獨(dú)立，有獨(dú)立，有 若若x1，xn獨(dú)立，有獨(dú)立，有 性質(zhì)性質(zhì) 5 若若x與與y獨(dú)立，有獨(dú)立，有 )()()(yvxvyxvniiniixvxv11)()()()()(yvxvyxv4-60n2.變異系數(shù)變異系數(shù)n隨機(jī)變量的變異系

35、數(shù)是隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量的變異系數(shù)是隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比率。隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的比率。隨機(jī)變量x的變異系數(shù)寫(xiě)作的變異系數(shù)寫(xiě)作 (x)= )()(xexv4-61第四節(jié)第四節(jié) 幾種常用的概率分布幾種常用的概率分布n一、兩點(diǎn)分布一、兩點(diǎn)分布n二、二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布n三、超幾何分布三、超幾何分布n四、正態(tài)分布四、正態(tài)分布n五、五、 分布分布n六、六、f分布分布n七、七、t分布分布24-62一、兩點(diǎn)分布一、兩點(diǎn)分布n如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量x只取只取1和和0兩個(gè)值，取兩個(gè)值，取1的概率是的概率是，取取0的概率是的概率是1-，我們稱，我們稱x服從兩點(diǎn)分布或服從兩點(diǎn)分布或0-1分布，分布，

36、是是x的參數(shù)。的參數(shù)。n兩點(diǎn)分布的數(shù)字特征如下：兩點(diǎn)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：e(x)= ； 方差：方差：v(x) = ( 1)4-63n【例【例4-12】 已知在已知在20件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是二等件是二等品?，F(xiàn)在從中任意抽取品。現(xiàn)在從中任意抽取1件（每件產(chǎn)品都有件（每件產(chǎn)品都有相等的可能性被抽到），寫(xiě)出抽取結(jié)果（是相等的可能性被抽到），寫(xiě)出抽取結(jié)果（是二等品、不是二等品）的分布列。二等品、不是二等品）的分布列。 解：用隨機(jī)變量解：用隨機(jī)變量x表示抽取結(jié)果。若結(jié)果是表示抽取結(jié)果。若結(jié)果是二等品，記二等品，記x = 1；若結(jié)果不是二等品，記；若結(jié)果不是二等品，記x = 0。

37、分布列如表。分布列如表4-6。表表4-6兩點(diǎn)分布的分布列兩點(diǎn)分布的分布列x = x10p(x = x)0.250.754-64二、二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布n如果把一個(gè)貝努里試驗(yàn)在完全相同的條件下如果把一個(gè)貝努里試驗(yàn)在完全相同的條件下獨(dú)立地重復(fù)獨(dú)立地重復(fù)n次，稱作次，稱作n重貝努里試驗(yàn)。重貝努里試驗(yàn)。n重貝重貝努里試驗(yàn)應(yīng)符合下列三個(gè)條件：努里試驗(yàn)應(yīng)符合下列三個(gè)條件： （1）每次試驗(yàn)只有）每次試驗(yàn)只有“成功成功”和和 “失敗失敗”兩兩種對(duì)立的結(jié)局；種對(duì)立的結(jié)局； （2）各次試驗(yàn)）各次試驗(yàn)“成功成功”的概率相同（都為）；的概率相同（都為）； （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。4-65n以隨機(jī)變

38、量以隨機(jī)變量x表示表示n重貝努里試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中“成功成功”的次數(shù)，的次數(shù)，它服從參數(shù)為（它服從參數(shù)為（n，）的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布的概）的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為率函數(shù)為 （k=0，1，n） 其中，其中，k是是n重貝努里試驗(yàn)中重貝努里試驗(yàn)中“成功成功”的次數(shù)。的次數(shù)。n二項(xiàng)分布的數(shù)字特征如下：二項(xiàng)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：e(x)= n ； 方差：方差： v（x）= n( 1)knkknckxp14-66n【例【例4-13】 例例4-12中，如果以還原方式抽取中，如果以還原方式抽取4次次（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫(xiě)出（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫(xiě)

39、出抽到二等品件數(shù)的分布列。抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機(jī)變量解：用隨機(jī)變量x表示經(jīng)過(guò)表示經(jīng)過(guò)4次抽取，抽到二等品次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列。分布列如表如表4-7。 表表4-7二項(xiàng)分布的分布列二項(xiàng)分布的分布列 表中，表中，x取取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式各數(shù)值的概率是用式（4.35）算出的，其中，）算出的，其中，n = 4， = 5 / 20 = 0.25， k= 0，1，2，3，4。 x = k01234p(x = k)0.31640.42190.21090.04690.0394-67三、超幾何分布三、超幾何分布n超

40、幾何分布的試驗(yàn)背景是：對(duì)有限總體進(jìn)行不還原超幾何分布的試驗(yàn)背景是：對(duì)有限總體進(jìn)行不還原方式（每次抽取后，所抽單位不再放回，稱之為不方式（每次抽取后，所抽單位不再放回，稱之為不還原方式）的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，觀察樣本中具有某種還原方式）的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，觀察樣本中具有某種特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為n，其，其中具有某種特征的單位數(shù)目為中具有某種特征的單位數(shù)目為m，對(duì)這個(gè)總體進(jìn)行，對(duì)這個(gè)總體進(jìn)行n次不還原簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，用隨機(jī)變量次不還原簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，用隨機(jī)變量x表示樣本中表示樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目，則具有某種特征的單位的數(shù)目，則x服從參數(shù)為（服從參數(shù)

41、為（n，m，n）的超幾何分布。超幾何分布的概率函數(shù)是）的超幾何分布。超幾何分布的概率函數(shù)是 （k=0，1，min n，m ）其中，）其中，k是樣本中具有是樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目。某種特征的單位的數(shù)目。nnknmnkmccckxp)(4-68n超幾何分布的數(shù)字特征如下：超幾何分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：e(x)= n （這里，（這里， =m/n） 方差：方差： = n( 1) 1nnn)(xv4-69n【例【例4-14】例】例4-13中，如果改為不還原地抽取中，如果改為不還原地抽取4次，寫(xiě)出抽次，寫(xiě)出抽到二等品件數(shù)的分布列。到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機(jī)變量解：用隨機(jī)變

42、量x表示經(jīng)過(guò)表示經(jīng)過(guò)4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表。分布列如表4-8。 表表4-8超幾何分布的分布列超幾何分布的分布列 表中取表中取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式（各數(shù)值的概率是用式（4.36）算出的。）算出的。式中，式中，n =20，m =5，n = 4。x = x01234p(x = x)0.28170.46960.21670.03100.00104-70四、正態(tài)分布四、正態(tài)分布n 令隨機(jī)變量令隨機(jī)變量x是在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中被測(cè)量是在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中被測(cè)量的結(jié)果，并且，決定這項(xiàng)試驗(yàn)結(jié)果的是大量的結(jié)果，并且，

43、決定這項(xiàng)試驗(yàn)結(jié)果的是大量偶然因素作用的總和，每個(gè)因素的單獨(dú)作用偶然因素作用的總和，每個(gè)因素的單獨(dú)作用相對(duì)均勻地小，那么，相對(duì)均勻地小，那么，x的分布就近似于正態(tài)的分布就近似于正態(tài)分布。分布。4-71n正態(tài)分布的密度函數(shù)是正態(tài)分布的密度函數(shù)是n正態(tài)分布的數(shù)字特征如下：正態(tài)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：e(x)= 方方 差：差：v(x) =2 xxpx222e214-72圖圖4-2 正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)分布概率密度曲線4-73n正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)：正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)：和和2。從密度函。從密度函數(shù)的圖形來(lái)說(shuō)，數(shù)的圖形來(lái)說(shuō)，決定著曲線在橫軸上的位置，決定著曲線在橫軸

44、上的位置， 越越大，圖形位置越靠右；大，圖形位置越靠右；2決定著曲線的形狀，決定著曲線的形狀，2越越大，圖形越大，圖形越“矮胖矮胖”（見(jiàn)圖（見(jiàn)圖4-3）。）。 圖圖4-3 正態(tài)分布概率密度曲線中正態(tài)分布概率密度曲線中 的參數(shù)作用的參數(shù)作用4-74 把隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望相減之差把隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望相減之差除以該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方除以該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根），稱作隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化能根），稱作隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化能簡(jiǎn)化正態(tài)分布概率的計(jì)算簡(jiǎn)化正態(tài)分布概率的計(jì)算. 4-754-76n應(yīng)用應(yīng)用excel工具中的下列函數(shù)可以直接進(jìn)行正工具中的下列函數(shù)可以直接進(jìn)行正態(tài)分布下的變量值與概率的相互計(jì)算：態(tài)分布下的變量值與概率的相互計(jì)算