不等式概念及性質知識點詳解與練習_3957

1、名師總結精品知識點不等式的概念及性質知識點詳解及練習一、不等式的概念及列不等式概念不等號“ ”、“”、“”、“”、“”設未知數(shù)不等式列不等式步驟列出代數(shù)式表示出不等關系1、不等式的概念及其分類（ 1）定義：用“” 、“”、“”、“”及“”等不等號把代數(shù)式連接起來，表示不等關系的式子。a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。（2）分類：矛盾不等式：不等式只是表示了某種不等關系，它表示的關系可能在任何條件下都不成立，這樣的不等式叫矛盾不等式；如 2 3， x2 0 絕對不等式：它表示的關系可能在任何條件下都成立，這樣的不等式叫絕對不等式；條件不等式：在一

2、定條件下才能成立的不等式叫條件不等式。（3）不等號的類型：“”讀作“不等于”，它說明兩個量之間關系是不等的，但不能明確兩個量誰大誰?。弧啊弊x作“大于” ，它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大；“”讀作“小于” ， 它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)?。弧啊弊x作“大于或等于” ， 它表示左邊的數(shù)不小于右邊的數(shù)；“”讀作“小于或等于” ， 它表示左邊的數(shù)不大于右邊的數(shù)；注意：要正確理解“非負數(shù)”、“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學術語的含義。（4）常見不等式基本語言的含義：若 x 0，則 x 是正數(shù)；若 x 0，則 x 是負數(shù)；若 x 0，則 x 是非負數(shù)；若 x 0，則 x 是非正數(shù)；若 x-y 0，則 x

3、大于 y；若 x-y 0，則 x 小于 y；若 x-y 0，則 x 不小于y；若x-y 0，則x 不大于y；若xy 0（或x 0），則x， y同號；若xy 0y（或x 0），則x， y 異號；y（5）等式與不等式的關系：等式與不等式都用來表示現(xiàn)實中的數(shù)量關系， 等式表示相等關系， 不等式表示不等關系， 但不論是等式還是不等式，都是同類量比較所得的關系，不是同類量不能比較。2、列不等式：（ 1）根據(jù)已知條件列不等式，實際上就是用不等式表示代數(shù)式間的不等關系，重點是抓住關鍵詞，弄清不等關系。（ 2）步驟：正確列出代數(shù)式；正確使用不等號知識要點總結注意問題不等式的概念表示不相等關系的式子1、“不大于

4、”應為“”列不等式兩步驟： 正確列出代數(shù)式； 正確使用不等號2、“不小于”應為“”解題方法總結列不等式和列代數(shù)式以及列方程有相似之處，一般是先設出未知數(shù)，再用代數(shù)式表示出相關的量，通過尋找不等關系列出不等式，審題時要抓住關名師總結精品知識點鍵詞。如“不超過” 、“不大于” 、“不小于”等。例 1：列不等式：x 的 2 倍與 y 的差是非正數(shù)；x 與 3 的差不小于5x2 y4m 1例 2：已知關于 x、 y 的方程組2 y，試列出使 x y 成立的關于 m 的不等式x9二、不等式的解和解集1、相關概念：不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解；不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值

5、范圍叫做不等式的解的集合，簡稱解集；解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：不等式的解是一些具體數(shù)值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示。聯(lián)系：不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)。3、用數(shù)軸表示不等式的解集： x -2表示為： x-2表示為： x 2 表示為：x 2 表示為：特別提示： 用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點：定界點： 一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可， 定邊界點時要注意點是實心還是空心，若邊界點含于集合為實心點，不含于解集為空心點；定方向： “小于向左，大于向右”。例 1、表示不等式組的解集如圖所示，則不等式組的

6、解集是_例 2、 x 的解集在數(shù)軸上表示為如圖所示的不等式組，求x 的解集三、不等式的性質1 、不等式的性質可分為不等式基本性質和不等式運算性質兩部分。（ 1）不等式基本性質有：一個數(shù)大于另一個數(shù)，則另一個數(shù)一定小于這個數(shù)；若a>b b<a ( 對稱性 )一個數(shù)大于另一個數(shù)，另一個數(shù)大于其它數(shù)，則這個數(shù)一定大于其它數(shù)；若 a>b, b>c a>c ( 傳遞性 ) 不等式兩邊都加上 (或減去 )同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變； a>b a+c>b+c (c R) 不等式兩邊都乘以 (或除以 )同一個正數(shù)，不等號的方向不變； c>0 時， a

7、>b ac>bc 不等式兩邊都乘以 (或除以 )同一個負數(shù)，不等號的方向改變；c<0 時， a>b名師總結精品知識點ac<bc。特別提示：、在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)（或式）時，必須先確定這個數(shù)的性質符號，然后再確定是否改變不等號的方向；、如果不等式乘以0，那么不等號改為等號，所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不能為0，否則不等式不成立 ;（2 ）、運算性質有： a>b, c>da+c>b+d 。 a>b>0, c>d>0ac>bd 。 a&

8、gt;b>0an >bn (n N, n>1)。a>b>0>(n N, n>1)。應注意，上述性質中，條件與結論的邏輯關系有兩種：“”和“”即推出關系和等價關系。 一般地， 證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。 解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應用不等式性質。2、不等式與等式性質的關系相同不管是等式還是不等式，都可以在它們的兩邊同加（減）一個數(shù)（整式），所得結果仍成立。不同在等式兩邊同乘（除以）一個正（負）數(shù)（整式），等式仍然成立；在不等式兩邊同乘（除以）一個正數(shù)（整式），不等號方向不變，在不等式兩邊同乘（除以）一個負數(shù)（

9、整式），不等號方向一定改變。3、不等式性質的應用：主要有以下三類問題：(1) 根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立。(2) 利用不等式的性質及實數(shù)的性質，函數(shù)性質，判斷實數(shù)值的大小。(3) 利用不等式的性質，判斷不等式變換中條件與結論間的充分或必要關系。2例 1、試判斷4m+4m+5和 2(2m+1) 的大小例 2、若關于x 的不等式（ 1-a ） x 2 可化為 x2, 試確定 a 的取值范圍1- a不等式的概念及性質練習題一、判斷題（正確的打“” ，錯誤的打“×” ）1、不等式兩邊同時乘以一個整數(shù)，不等號方向不變。（）2、如果 ab，那么 3 2a 3 2b

10、。（）3、如果 a 是有理數(shù)，那么8a 5a。（）4、如果 ab，那么 a2 b2。（）5、如果 a 為有理數(shù)，則a a。（）6、如果 ab，那么 ac2 bc2 。（）7、如果 x，那么 x 8。（）8、若 a b，則 a c b c。（ ）9、 x 0, y0, 則 x0（ ）y10、若 xy1x)0（）0, 則 ( y211、若 ab,c 0, 則 ac2bc20（）12、若 xz2yz2 ,則 xy（）名師總結精品知識點13、若 ab a, 則 b0（）14、若 abc, 則 ac（）b12,則12a（）15、若a二、填空題1、若 ab ，則1 a1 b ， 2a 12b 12020a

11、b2時，b時，0、當 a3、若 x0, 則xyy224、若 ac 2bc 2 ，則3a3b5、實數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，用“”或“”填空：ab_0，2211， a_ ba b_0， ab_0， a _b ，a_1 （b a） _0b6、若 a b0，則27、用不等式表示“a 的 5 倍與 b 的和不大于8”為 _.8、a 是個非負數(shù)可表示為_.9、若 ba0,則11-ba10、若3a2a,則 a0三、選擇題1、在數(shù)學表達式 -3<0; 4x+5>0; x=3; x2+x; x -4; x+2>x+1是不等式的有( )A.2 個B.3 個C.4 個D.5個2、若 m

12、，則下列各式中正確的是（）A m3 3 B 。3m3n C。 3m 3nD。 m 3 1n 3 13、若 a 0，則下列不等關系錯誤的是（）A a 5 a7B 。5a 7aC。 5 a7 a D 。 a 5 a 74、下列各題中，結論正確的是（）A 若 a 0，b 0，則 b a 0B 若 a b，則 a b 0C若 a 0， b 0，則 ab 0D若 a b， a 0，則 ba 05、下列變形不正確的是（）A 若 a b，則 b aB a b，得 b aC由 2x a，得 x a 2D由 x 2 y，得 x 2y6、有理數(shù) b 滿足 b 3，并且有理數(shù)a 使得 ab 恒成立，則 a 得取值范

13、圍是（）A 小于或等于 3 的有理數(shù)B 小于 3 的有理數(shù)C小于或等于 3 的有理數(shù)D 小于 3 的有理數(shù)7、若 a b0，則下列各式中一定成立的是（）A a bB ab 0Ca b 0D a b8 、 若 ab ， 且 c 0， 那 么在下面 不 等 式 ac b c ac bcabac 2bc2 中成立的個數(shù)是（cc）A 1B 2C 3D 4名師總結精品知識點9、已知 a、b、 c 都是實數(shù)，并且a>b>c，那么下列式子中正確的是（）A ab bcB a b b cC a b b cabD cc10、下列由題意列出的不等關系中, 錯誤的是 ()A. a 不是是負數(shù)可表示為a&g

14、t;0B. x 不大于 3 可表示為 x <3C. m 與 4 的差是非負數(shù) , 可表示為 x-4 0 D. 代數(shù)式2，可表示為2x +3 必大于 3x-7x +3>3x-7四、解答題1、用不等式表示下列數(shù)量關系。（1） a 與 b 的和大于 a 的 2 倍。 （ 2） a 的 1 與 b 的 1 的差是負數(shù)。23（3） x 與 y 之和的絕對值不大于x 的一半的相反數(shù)（ 4）a 與 b 兩數(shù)和的平方不能大于3。（5） 3x 的絕對值不小于 5。（ 6） a 的 6 倍與 3 的差不大于 1。2ab,試比較ac2 與bc2 的大小， ac 與bc的大小。、若3aba且 a 是負數(shù)，求b的取值范圍。、若五、應用題1、某校規(guī)定期中考試成績的40%和期末考試成績的60%的和