不等式概念及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)詳解與練習(xí)_3957

1、名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)不等式的概念及性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)詳解及練習(xí)一、不等式的概念及列不等式概念不等號(hào)“ ”、“”、“”、“”、“”設(shè)未知數(shù)不等式列不等式步驟列出代數(shù)式表示出不等關(guān)系1、不等式的概念及其分類(lèi)（ 1）定義：用“” 、“”、“”、“”及“”等不等號(hào)把代數(shù)式連接起來(lái)，表示不等關(guān)系的式子。a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。（2）分類(lèi)：矛盾不等式：不等式只是表示了某種不等關(guān)系，它表示的關(guān)系可能在任何條件下都不成立，這樣的不等式叫矛盾不等式；如 2 3， x2 0 絕對(duì)不等式：它表示的關(guān)系可能在任何條件下都成立，這樣的不等式叫絕對(duì)不等式；條件不等式：在一

2、定條件下才能成立的不等式叫條件不等式。（3）不等號(hào)的類(lèi)型：“”讀作“不等于”，它說(shuō)明兩個(gè)量之間關(guān)系是不等的，但不能明確兩個(gè)量誰(shuí)大誰(shuí)小；“”讀作“大于” ，它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大；“”讀作“小于” ， 它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)??；“”讀作“大于或等于” ， 它表示左邊的數(shù)不小于右邊的數(shù)；“”讀作“小于或等于” ， 它表示左邊的數(shù)不大于右邊的數(shù)；注意：要正確理解“非負(fù)數(shù)”、“非正數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的含義。（4）常見(jiàn)不等式基本語(yǔ)言的含義：若 x 0，則 x 是正數(shù)；若 x 0，則 x 是負(fù)數(shù)；若 x 0，則 x 是非負(fù)數(shù)；若 x 0，則 x 是非正數(shù)；若 x-y 0，則 x

3、大于 y；若 x-y 0，則 x 小于 y；若 x-y 0，則 x 不小于y；若x-y 0，則x 不大于y；若xy 0（或x 0），則x， y同號(hào)；若xy 0y（或x 0），則x， y 異號(hào)；y（5）等式與不等式的關(guān)系：等式與不等式都用來(lái)表示現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系， 等式表示相等關(guān)系， 不等式表示不等關(guān)系， 但不論是等式還是不等式，都是同類(lèi)量比較所得的關(guān)系，不是同類(lèi)量不能比較。2、列不等式：（ 1）根據(jù)已知條件列不等式，實(shí)際上就是用不等式表示代數(shù)式間的不等關(guān)系，重點(diǎn)是抓住關(guān)鍵詞，弄清不等關(guān)系。（ 2）步驟：正確列出代數(shù)式；正確使用不等號(hào)知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)注意問(wèn)題不等式的概念表示不相等關(guān)系的式子1、“不大于

4、”應(yīng)為“”列不等式兩步驟： 正確列出代數(shù)式； 正確使用不等號(hào)2、“不小于”應(yīng)為“”解題方法總結(jié)列不等式和列代數(shù)式以及列方程有相似之處，一般是先設(shè)出未知數(shù)，再用代數(shù)式表示出相關(guān)的量，通過(guò)尋找不等關(guān)系列出不等式，審題時(shí)要抓住關(guān)名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)鍵詞。如“不超過(guò)” 、“不大于” 、“不小于”等。例 1：列不等式：x 的 2 倍與 y 的差是非正數(shù)；x 與 3 的差不小于5x2 y4m 1例 2：已知關(guān)于 x、 y 的方程組2 y，試列出使 x y 成立的關(guān)于 m 的不等式x9二、不等式的解和解集1、相關(guān)概念：不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解；不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值

5、范圍叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)解集；解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：不等式的解是一些具體數(shù)值，有無(wú)數(shù)個(gè)，用符號(hào)表示；不等式的解集是一個(gè)范圍，用不等號(hào)表示。聯(lián)系：不等式的每一個(gè)解都在它的解集的范圍內(nèi)。3、用數(shù)軸表示不等式的解集： x -2表示為： x-2表示為： x 2 表示為：x 2 表示為：特別提示： 用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn)：定界點(diǎn)： 一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可， 定邊界點(diǎn)時(shí)要注意點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于集合為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集為空心點(diǎn)；定方向： “小于向左，大于向右”。例 1、表示不等式組的解集如圖所示，則不等式組的

6、解集是_例 2、 x 的解集在數(shù)軸上表示為如圖所示的不等式組，求x 的解集三、不等式的性質(zhì)1 、不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。（ 1）不等式基本性質(zhì)有：一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)，則另一個(gè)數(shù)一定小于這個(gè)數(shù)；若a>b b<a ( 對(duì)稱(chēng)性 )一個(gè)數(shù)大于另一個(gè)數(shù)，另一個(gè)數(shù)大于其它數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定大于其它數(shù)；若 a>b, b>c a>c ( 傳遞性 ) 不等式兩邊都加上 (或減去 )同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變； a>b a+c>b+c (c R) 不等式兩邊都乘以 (或除以 )同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變； c>0 時(shí)， a

7、>b ac>bc 不等式兩邊都乘以 (或除以 )同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；c<0 時(shí)， a>b名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)ac<bc。特別提示：、在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（或式）時(shí)，必須先確定這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，然后再確定是否改變不等號(hào)的方向；、如果不等式乘以0，那么不等號(hào)改為等號(hào)，所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不能為0，否則不等式不成立 ;（2 ）、運(yùn)算性質(zhì)有： a>b, c>da+c>b+d 。 a>b>0, c>d>0ac>bd 。 a&

8、gt;b>0an >bn (n N, n>1)。a>b>0>(n N, n>1)。應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：“”和“”即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。 一般地， 證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。 解不等式就是施行一系列的等價(jià)變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。2、不等式與等式性質(zhì)的關(guān)系相同不管是等式還是不等式，都可以在它們的兩邊同加（減）一個(gè)數(shù)（整式），所得結(jié)果仍成立。不同在等式兩邊同乘（除以）一個(gè)正（負(fù)）數(shù)（整式），等式仍然成立；在不等式兩邊同乘（除以）一個(gè)正數(shù)（整式），不等號(hào)方向不變，在不等式兩邊同乘（除以）一個(gè)負(fù)數(shù)（

9、整式），不等號(hào)方向一定改變。3、不等式性質(zhì)的應(yīng)用：主要有以下三類(lèi)問(wèn)題：(1) 根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。(2) 利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實(shí)數(shù)值的大小。(3) 利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。2例 1、試判斷4m+4m+5和 2(2m+1) 的大小例 2、若關(guān)于x 的不等式（ 1-a ） x 2 可化為 x2, 試確定 a 的取值范圍1- a不等式的概念及性質(zhì)練習(xí)題一、判斷題（正確的打“” ，錯(cuò)誤的打“×” ）1、不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)整數(shù)，不等號(hào)方向不變。（）2、如果 ab，那么 3 2a 3 2b

10、。（）3、如果 a 是有理數(shù)，那么8a 5a。（）4、如果 ab，那么 a2 b2。（）5、如果 a 為有理數(shù)，則a a。（）6、如果 ab，那么 ac2 bc2 。（）7、如果 x，那么 x 8。（）8、若 a b，則 a c b c。（ ）9、 x 0, y0, 則 x0（ ）y10、若 xy1x)0（）0, 則 ( y211、若 ab,c 0, 則 ac2bc20（）12、若 xz2yz2 ,則 xy（）名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)13、若 ab a, 則 b0（）14、若 abc, 則 ac（）b12,則12a（）15、若a二、填空題1、若 ab ，則1 a1 b ， 2a 12b 12020a

11、b2時(shí)，b時(shí)，0、當(dāng) a3、若 x0, 則xyy224、若 ac 2bc 2 ，則3a3b5、實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，用“”或“”填空：ab_0，2211， a_ ba b_0， ab_0， a _b ，a_1 （b a） _0b6、若 a b0，則27、用不等式表示“a 的 5 倍與 b 的和不大于8”為 _.8、a 是個(gè)非負(fù)數(shù)可表示為_(kāi).9、若 ba0,則11-ba10、若3a2a,則 a0三、選擇題1、在數(shù)學(xué)表達(dá)式 -3<0; 4x+5>0; x=3; x2+x; x -4; x+2>x+1是不等式的有( )A.2 個(gè)B.3 個(gè)C.4 個(gè)D.5個(gè)2、若 m

12、，則下列各式中正確的是（）A m3 3 B 。3m3n C。 3m 3nD。 m 3 1n 3 13、若 a 0，則下列不等關(guān)系錯(cuò)誤的是（）A a 5 a7B 。5a 7aC。 5 a7 a D 。 a 5 a 74、下列各題中，結(jié)論正確的是（）A 若 a 0，b 0，則 b a 0B 若 a b，則 a b 0C若 a 0， b 0，則 ab 0D若 a b， a 0，則 ba 05、下列變形不正確的是（）A 若 a b，則 b aB a b，得 b aC由 2x a，得 x a 2D由 x 2 y，得 x 2y6、有理數(shù) b 滿(mǎn)足 b 3，并且有理數(shù)a 使得 ab 恒成立，則 a 得取值范

13、圍是（）A 小于或等于 3 的有理數(shù)B 小于 3 的有理數(shù)C小于或等于 3 的有理數(shù)D 小于 3 的有理數(shù)7、若 a b0，則下列各式中一定成立的是（）A a bB ab 0Ca b 0D a b8 、 若 ab ， 且 c 0， 那 么在下面 不 等 式 ac b c ac bcabac 2bc2 中成立的個(gè)數(shù)是（cc）A 1B 2C 3D 4名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)9、已知 a、b、 c 都是實(shí)數(shù)，并且a>b>c，那么下列式子中正確的是（）A ab bcB a b b cC a b b cabD cc10、下列由題意列出的不等關(guān)系中, 錯(cuò)誤的是 ()A. a 不是是負(fù)數(shù)可表示為a&g

14、t;0B. x 不大于 3 可表示為 x <3C. m 與 4 的差是非負(fù)數(shù) , 可表示為 x-4 0 D. 代數(shù)式2，可表示為2x +3 必大于 3x-7x +3>3x-7四、解答題1、用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系。（1） a 與 b 的和大于 a 的 2 倍。 （ 2） a 的 1 與 b 的 1 的差是負(fù)數(shù)。23（3） x 與 y 之和的絕對(duì)值不大于x 的一半的相反數(shù)（ 4）a 與 b 兩數(shù)和的平方不能大于3。（5） 3x 的絕對(duì)值不小于 5。（ 6） a 的 6 倍與 3 的差不大于 1。2ab,試比較ac2 與bc2 的大小， ac 與bc的大小。、若3aba且 a 是負(fù)數(shù)，求b的取值范圍。、若五、應(yīng)用題1、某校規(guī)定期中考試成績(jī)的40%和期末考試成績(jī)的60%的和