函數(shù)的單調(diào)性和極值課件

1、第二節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和極值一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法二、函數(shù)極值的判別法三、函數(shù)的最大值、最小值的求法一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法 羅爾定理 拉格郎日定理 函數(shù)單調(diào)性的判別方法定理定理1 羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點注意注意:1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo使2) 定理

2、條件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,. 0)(f定理定理2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(

3、a由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff證畢推論推論1:若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf推論推論2：如果函數(shù) 在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對于(a,b)中任意 有 則在(a,b)內(nèi) ， ， 其中c為常數(shù)。/( )( )fxgx( )( )f xg x和x( )( )f xg x與僅相差一個常數(shù)( )( )f xg xc即函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理定理 3. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證:

4、 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),例1 求函數(shù) f(x)=x3-3x 的單調(diào)區(qū)間 解 （1）該函數(shù)的定義區(qū)間為（-, ） ； （2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/(x)=0,得 x=-1,x=1 它們將定義區(qū)間分為三個子區(qū)間： (, 1),( 1,1),(1,) x (, 1) (-1,1) (1,+) f/(x) + - + f(x) 所以單調(diào)增加區(qū)間為(, 1)1 和（，） 單調(diào)減少區(qū)間為（-

5、1，1） 例例2. 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12yxo說明說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點除導(dǎo)數(shù)為零的點外, 也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：1、確

6、定函數(shù)的定義域；2、求出使函數(shù) 并以這些點為分界點，將定義域分成若干個子區(qū)間；3、確定 在各個子區(qū)間的符號，從而判斷出 的單調(diào)性。/( )0( )fxfx 和不存在的點，/( )fx( )f x例3 討論函數(shù)23( )(1)f xxx的單調(diào)性 解 （1）該函數(shù)的定義域為(,) （2） 12/3313/252( )(1)332( )0,( )520,522(,0),(0,),(,)55xfxxxxxfxxxf xxx令得顯然 =0為的不可導(dǎo)點,于是分定義區(qū)間為三個子區(qū)間 （3）列表確定 f(x)的單調(diào)性 x (,0) 2( 0 ,)5 2(,)5 f/(x) + - + f(x) 即 f(x)

7、2(,0)( ,),52(0, ).5在和上單調(diào)增加在上單調(diào)減少 例例4. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于1 的正實根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點,. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)例例5. 證明等式.

8、1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證Ix時,)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例6. 證明不等式證法證法1: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理條件,即因為故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(x

9、xx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有證法 2 證明不等式 ln(1)(0)1xxxx /22( )ln(1),1( )0,),0,11( )0,1(1)(1)( )0,),(0)0,0,( )(0),ln(1)1xf xxxf xxxxxfxxxxf xfxf xfxxx設(shè)函數(shù)因為在上連續(xù) 當時所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加 又因此 當時 恒有即 二、函數(shù)的極值函數(shù)的極值定義定義:,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域若存在0 x在其中當0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大點極大點 ,0 x)(xf稱 為函

10、數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小點極小點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點極值點 .注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點52,xx為極小點3x不是極值點2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如1x為極大點 , 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小點 , 12xoy12定理 4 如果函數(shù) f(x)在點 x 的一個鄰域內(nèi)有定義，f(x) 在 x 可導(dǎo)，那么 x 是 f(x

11、)的極值點的必要條件是 f/(x)=0 該定理的幾何意義是說，可微函數(shù)的圖形在極值點處的切線與 x 軸平行。 定義 使導(dǎo)數(shù) f/(x)為零的點 x,稱為函數(shù) f(x)駐點。 注意：函數(shù)的極值可能在其導(dǎo)數(shù)為零的點，或者在連續(xù)但不可導(dǎo)的點處取得。在可導(dǎo)情況下，極值點一定是駐點，但駐點不一定是極值點。 定理定理 5 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時由小到大通過當xx(1) )(xf “左左正正右右負負” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負負右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf例例7. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(x

12、xxf的極值 .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大點， 其極大值為0)0(f是極小點， 其極小值為52x33. 0)(52f定理定理6 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且處具有在點設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點 取極小值 .)(xf0 x求函數(shù)極值的一般步驟： 確定定義域，并

13、求出所給函數(shù)的全部駐點 考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點處的符號，確定極值點 求出極值點處的函數(shù)值，得到極值求函數(shù)極值的一般步驟：若函數(shù)定理6失效，應(yīng)運用定理5，其步驟為：1、確定定義域并找出所給函數(shù)的駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點；2、考察上述點兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號，確定極值點；3、求出極值點處函數(shù)值，得到極值。/0000()0()0()0()fxfxfxfx且或但不存在例例8. 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù),) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點令,0)( xf得駐點1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)

14、0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1定理定理7 (判別法的推廣判別法的推廣)階導(dǎo)點有直到在若函數(shù)nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn則:數(shù) , 且1) 當 為偶數(shù)時,n,0)(0)(時xfn0 x是極小點 ;,0)(0)(時xfn0 x是極大點 .2) 當 為奇數(shù)時,n0 x為極值點 , 且0 x不是極值點 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo例如例如 , 例2中1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xx

15、xf0) 1( f所以1x不是極值點 .極值的判別法( 定理5 定理7 ) 都是充分的. 說明說明:當這些充分條件不滿足時, 不等于極值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f為極大值 , 但不滿足定理1 定理3 的條件.xy11例 9 求函數(shù) 23( )(67)f xxx的單調(diào)區(qū)間和極值 解 f(x)的一階導(dǎo)數(shù)為 /2333/1224107( )(67)67677( )0,.1077( )66xxfxxxxfxxxf xx 令得駐點又時，不可導(dǎo)，即是不可導(dǎo)點。 x 76 （， -） 76 77610（，） 710 710（，） f/(x) + 不可導(dǎo)

16、- 0 + f(x) 極大值 極小值 從表中可知： 13277()066777()9801010507761077610 xfxf 是極大值點，極大值是極小值點，極小值單調(diào)增加區(qū)間（- ，），（，）單調(diào)減少區(qū)間（，）。 三、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點極值點或端點端點處達到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(a

17、f)(bf特別特別: 當 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,)(xf,ba 當 在 上單調(diào)單調(diào)時,)(xf,ba最值必在端點處達到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小) 例 10 321( )(1) 12f xxx求在， 上的最大值和最小值 312312352( ),( )32(0(5234( )( )0.32575525()(0)011)0.315024(0)0,xxf xxxxf xff xff /解 因為f所以的可能極值點為駐點）和不可導(dǎo)點），相應(yīng)的函數(shù)值1區(qū)間端點的函數(shù)值f(-1)=-2,f

18、(21比較這四個數(shù)的大小得知f(x)在-1， 上2最大值為最小值為f(-1)=-2 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例11. 求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間,2541上的最大值和最小值 .解解: 顯然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx內(nèi)有極值可疑點在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5.,

19、 )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251 241例12 函數(shù) f(x)=2x3-6x2-18x-7 在區(qū)間1， 4上的最小值 解 f/(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1) 令 f/(x)=0 得駐點1223,11xxx 。不在給定區(qū)間1，4內(nèi)，故不必討論21x 的極值情況。 f(3)=2*33-6*32-18*3-7=-61 f(1)=-29 f(4)=2*43-6*42-18*4-7=128-96-72-7=- 47 比較這三個數(shù)的大小得知， f(x)在1， 4上的最小值為 f(3)=-61 ( k 為某一常數(shù) )例例13. 鐵路上 AB 段的距離為100 km ,

20、工廠C 距 A 處20AC AB , 要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運價之比為 3:5 , 為使貨D 點應(yīng)如何選取? 20AB100C解解: 設(shè),(km)xAD x則,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 為唯一的15x極小點 ,故 AD =15 km 時運費最省 .總運費物從B 運到工廠C 的運費最省,從而為最小點 ,問DKm ,公路, 例例14. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能

21、使梁的抗彎截面模量最大? 解解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31從而有1:2:3:bhd22bdhd32即由實際意義可知 , 所求最值存在 , 駐點只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇 .例15 某產(chǎn)品的次品率 y 與日產(chǎn)量 x 之間的關(guān)系為 1,01001011,100 xyxx 若每件產(chǎn)品的贏利為 A 元， 每件次品造成的損失為A/3 元，試求贏利最多的日產(chǎn)量。 解 按題意，x 應(yīng)為正整數(shù)，設(shè) x0,100,日產(chǎn)量為x 時贏利為 T(x),這時次品數(shù)為 xy,正品為 x-xy,因此 ( )()3(),(

22、0100)1013 101( )AT xA xxyxyxAxA xxxxT x于是問題就歸結(jié)為求的最大值。 /2( )1 () ()1013 101410113 (101)xAxTxAxxAx 令 T/(x)=0 可得 T(x)的唯一駐點 x=89.4。 因此 x=89.4 是使 T(x)取得最大值的點，因為 x 實際 上 是 正 整 數(shù) ， 所 以 將T(89)=79.11A與T(90)=79.09A 相比較，即知每天生產(chǎn) 89 件產(chǎn)品贏利最多。 用開始移動,F例例16. 設(shè)有質(zhì)量為 5 kg 的物體置于水平面上 , 受力 作P解解: 克服摩擦的水平分力cosFFx正壓力sin5FFPygc

23、osF)sin5(Fg即,sincos5gF, 02令sincos)(則問題轉(zhuǎn)化為求)(的最大值問題 .F 為多少時才可使力F,25. 0設(shè)摩擦系數(shù)F問力與水平面夾角的大小最小?cossin)(sincos)( 令,0)(解得arctan25. 0arctan214,0)( 而,)(214取最大值時因而 F 取最小值 .解解:FP即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題 .,sincos5gF, 02sincos)()(清楚(視角 最大) ? 觀察者的眼睛1.8 m ,例例17. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上 , 它的底邊高于x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為 x m , 則x8

24、. 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得駐點),0(4 . 2x根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在 ,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠處看圖才最內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點 : 使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負負)(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負負變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf(4) 判別法的推廣最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)(L. P500 題4)2. 連續(xù)函數(shù)的最值1. 設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點