函數(shù)的單調(diào)性及其極值課件

1、一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性及其極值第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性及其極值二、函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)函數(shù)y= =f(x)的圖象有時(shí)上升的圖象有時(shí)上升, , 有時(shí)下降有時(shí)下降. . 如何判斷函如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的, , 在什么范圍內(nèi)是下降在什么范圍內(nèi)是下降的呢？的呢？一、函數(shù)單調(diào)性判別法一、函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)減少觀察結(jié)果觀察結(jié)果 函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零, , 函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零小于零. . 觀察與思考觀察與思考 函數(shù)的單調(diào)性

2、與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系？ 定理定理 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連上連續(xù)，在續(xù)，在 ( (a, b) ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)( (1) )若當(dāng)若當(dāng) x ( (a, b) )時(shí)時(shí)，f (x) 0， 則則 f (x) 在在( (a, b) )內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增單調(diào)遞增； ( (2) )若當(dāng)若當(dāng) x ( (a, b) )時(shí)時(shí)， f (x) f (x)，則稱則稱 f (x0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的極大值的極大值，x0 稱為稱為 f (x) 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)；( (2) ) f (x0) 0 時(shí)時(shí)，則則 x0 為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)，f

3、 (x0)為為極小值極小值；( (2) )當(dāng)當(dāng) f (x0) 0，x ( ( 1, 1) )時(shí)，時(shí)，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的遞增區(qū)間，的遞增區(qū)間， (- (-1, , 1) )是是 f (x) 的遞減區(qū)間的遞減區(qū)間. .為簡(jiǎn)便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為簡(jiǎn)便直觀起見，我們通常將上述討論歸納為如下的表格：為如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)其中箭頭其中箭頭 ， 分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減遞減. .例2解.2024

4、3)(23的極值求出函數(shù)=xxxxf2463)(2=xxxf，令0)(= xf. 2, 421=xx得駐點(diǎn))2)(4(3=xx, 66)(= xxf= )4(f, 018)4(f故極大值,60= )2(f, 018 )2(f故極小值.48=Mm例例 3求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x - - 1)2 (x - - 2)3 的極值的極值.解解( (1) )定義域?yàn)槎x域?yàn)?(- - ,+,+ ).f (x) = (x - - 1) (x - - 2)2 (5x - - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三個(gè)駐點(diǎn)：的三個(gè)駐點(diǎn)：, 2,57, 1= = = =xxx該

5、函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)無不可導(dǎo)的點(diǎn)，該函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)無不可導(dǎo)的點(diǎn)， 上述駐點(diǎn)將定義上述駐點(diǎn)將定義區(qū)間分為四個(gè)子區(qū)間區(qū)間分為四個(gè)子區(qū)間)., 2( ,2,57 ,57, 1 ),1,( ( (2) ) 當(dāng)當(dāng) x (- - , 1)時(shí)，時(shí)， f (x) 0；, 57, 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,2,57時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xf (x) 0； 當(dāng)當(dāng) x (2, + + ) 時(shí)，時(shí)， f (x) 0. 因此，由定理因此，由定理 3 可知，可知， x = 1 為極為極大值點(diǎn)，大值點(diǎn)，,57為為極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)= =x x = 2 不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)( (因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?x = 2 的兩側(cè)的兩側(cè) f (x) 同為正號(hào)同為正號(hào))

6、).; 0)( xf( (3) )計(jì)算極值計(jì)算極值極大值極大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，.31251083257215757 = = = = f極極小小值值有時(shí)，可以將整個(gè)解題過程以表格形式表示：有時(shí)，可以將整個(gè)解題過程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)1 57, 157 2,572( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)極大值極大值03125108 極小值極小值無極值無極值例例 4求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x4 10 x2 + + 5 的極值的極值.因?yàn)橐驗(yàn)榻饨? (1) )定義域?yàn)槎x域?yàn)?(- - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得該函數(shù)的三個(gè)駐點(diǎn)可得該函數(shù)的三個(gè)駐點(diǎn).5, 0,5= = = = =xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 = = f; 020)0( = = f. 020)5(12)5(2 = = f由定理由定理 4 可知：可知：，為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn)和和 55= = = =xx.0為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn)= =x( (2) )因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) = 12x2 20，(