明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計(jì)算

1、明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計(jì)算張寬地，呂宏興，趙延風(fēng)（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，楊凌 712100）摘 要：無(wú)壓流圓形斷面水力計(jì)算中的正常水深、臨界水深求解無(wú)解析表達(dá)式，傳統(tǒng)的試算法或查圖法不僅計(jì)算過(guò)程繁瑣復(fù)雜，而且計(jì)算精度不高。該文通過(guò)對(duì)圓形斷面均勻流方程與臨界流方程的數(shù)學(xué)變換，分別得到其正常水深與臨界水 深的牛頓迭代公式，同時(shí)，通過(guò)對(duì)正常水深與臨界水深對(duì)應(yīng)的中心角與引入?yún)?shù)之間關(guān)系的分析及數(shù)值計(jì)算，利用最優(yōu) 一致逼近原理分別得到了正常水深與臨界水深對(duì)應(yīng)中心角的近似計(jì)算式，并以此近似計(jì)算式為初值，用迭代方程進(jìn)行一 次迭代得到了圓形斷面均勻流水深與臨界流水深的直接計(jì)算

2、公式。實(shí)例計(jì)算及誤差分析表明：在工程實(shí)用范圍內(nèi)該法正 常水深與臨界水深最大相對(duì)誤差分別為 0.32%和 0.0049%，如用該近似結(jié)果再迭代一次，精度高出 103 倍和 105 倍。 關(guān)鍵詞：渠道，水力模型，圓形過(guò)水?dāng)嗝?，水力?jì)算，牛頓迭代法中圖分類號(hào)：tv131.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a文章編號(hào)：1002-6819(2009)-3-0001-05張寬地，呂宏興，趙延風(fēng).明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計(jì)算j. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2009，25(3)：15.zhang kuandi, lü hongxing, zhao yanfeng. direct calculation for n

3、ormal depth and critical depth of circular section tunnel under free flowj. transactions of the csae, 2009,25(3)：15.(in chinese with english abstract)上方法在工程界都得到了不同程度的運(yùn)用，但上述方法中直接計(jì)算公式均存在精度不高或適用范圍受到限制的0引 言圓形斷面是輸水隧洞、城市供水管道等工程中較常 采用的斷面形式之一，過(guò)水?dāng)嗝娲嬖谧杂伤?，水流現(xiàn) 象為明渠水流。水力計(jì)算中的正常水深與臨界水深的計(jì) 算是工程設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)，應(yīng)用十分頻繁且有較高的

4、精度要求，對(duì)于幾何形狀較為簡(jiǎn)單的渠道如矩形、梯形 斷面，其水力計(jì)算問(wèn)題國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了大量的研 究工作，也提出了不少簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法1-8，但圓形隧洞 正常水深與臨界水深的計(jì)算需求解高次隱函數(shù)方程，且 未知量包含在三角函數(shù)中，求解困難。傳統(tǒng)的試算法或 近似算法，不僅計(jì)算過(guò)程繁瑣復(fù)雜，而且計(jì)算精度不高。 鑒于此，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究工作，企圖找 到一種公式簡(jiǎn)單、計(jì)算快捷、精度較高的計(jì)算公式，以 期獲得經(jīng)濟(jì)與精度的雙重效益。對(duì)于圓形隧洞正常水深 的計(jì)算方法主要有：韓會(huì)玲、王正中，文輝等分別提出 的直接計(jì)算式9-11。呂宏興在 2003 年提出了一種適合計(jì) 算機(jī)求解的迭代算法12。目前圓形

5、斷面臨界水深計(jì)算主 要有：王正中、孫建等分別在 1996 與 2004 年提出了臨 界水深的直接計(jì)算式及呂宏興提出的迭代算法12-14。以問(wèn)題，文獻(xiàn)12中提出的迭代式為振蕩收斂，收斂速度慢，不便于工程界直接采用。為此，本文應(yīng)用行之有效的牛頓迭代算法，提出了一種圓形斷面水力計(jì)算的直接算法，該算法所構(gòu)造的計(jì)算公式不僅具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明、精度較高，適用范圍廣等特點(diǎn)，其另一個(gè)顯著特點(diǎn)也可以作為迭代公式提供高精度的算法程序。1基本公式以曼寧公式表示的明渠均勻流方程為45i . a3q =（1）2np 3臨界流方程為：a3aq2c=（2）gbc式中q 流量，m3/s；i 底坡；n糙率；a 過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2；p

6、 濕周，m；ac 臨界流對(duì)應(yīng)的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，m2；b 臨界流對(duì)應(yīng)的過(guò)水?dāng)嗝嫠甤面寬度，m；g 重力加速度，通常取9.81 m/s2；a 流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0。如圖 1 所示，圓形斷面的水力要素為：收稿日期：2008-04-25修訂日期：2009-01-18基金項(xiàng)目：國(guó)家 973 計(jì)劃課題（2007cb407201）；國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(40335050)；西北農(nóng)林科技大學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃（01140202）；黃土高 原土壤侵蝕與旱地農(nóng)業(yè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目（10501182）作者簡(jiǎn)介：張寬地（1978），男，寧夏隆德人，博士生，主要從事水工水力學(xué)及坡面水流的研究。楊凌 西北

7、農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，712100。email：zhangkuandi428通訊作者：呂宏興（1955），男，陜西隴縣人，教授，博士生導(dǎo)師，主 要從事水力學(xué)與河流動(dòng)力學(xué)的教學(xué)與研究工作。楊凌 西北農(nóng)林科技大學(xué)水 利與建筑工程學(xué)院，712100。email：lvhongxing過(guò)水?dāng)嗝婷娣ea = 1 d 2 (q - sin q )（3）8p = 1 q d2h = 1 d (1 - cos q )濕周（4）水深（5）22水面寬度bc = d sin(q / 2)（6）ì q = 2.1812m 0.4020 £ m £ 1.9871.978 £

8、 m £ 2.954（11）íîq = 1.5201m 0.99式中q 過(guò)水?dāng)嗝鏉裰軐?duì)應(yīng)的圓心角，rad，其余符號(hào)同上。 式（3）（6）分別代入式（1）、（2）得圓形斷面均勻流方程與臨界流方程為：將式（11）作為初值函數(shù)，帶入式（10）進(jìn)行一次迭代計(jì)算便得到正常水深對(duì)應(yīng)圓心角 q 的高精度直接計(jì) 算式。0.4f (q ) = 22.6 ( nq )0.6 q + sin q - q = 0-0.6mq 0.4 + q cosq - sinq（7）（12）q=d 1.6正常0.4mq -0.6 + cosq - 1iq21q當(dāng) 0 £ m £ 1

9、.987 ，q = 2.1812m 0.402 ；當(dāng)1.978 £ m £2.954 ，q = 1.5201m 0.99 。3圓形斷面臨界水深的直接計(jì)算法f (q ) = q - 8(sin ) 3 - sin q = 0（8）gd 5 2由此可知，式（7）、（8）是正常水深與臨界水深的高次隱函數(shù)方程，且未知量包含在三角函數(shù)中，兩方程 的求解實(shí)質(zhì)為非線性方程式（7）、（8）的求根問(wèn)題，工程中此類方程的求解一直沿用查圖表、試算等低效、低精度的方法。3.1圓形斷面臨界水深的牛頓迭代公式從圓形斷面臨界流方程可知，臨界水深的計(jì)算也可 歸結(jié)為非線性方程的求根問(wèn)題，為構(gòu)造牛頓迭代式，引

10、 入無(wú)量綱參數(shù) n。n = q2 / gd 5（13）將式（13）代入式（8）并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換導(dǎo)出圓形斷面臨界水深的牛頓迭代公式：q1q - 8( n sin j ) 3 - sin qjj2（14）q= q -j +1 j1q- 2q41 - n 3 (sin j ) 3 cos j - cos qj322圖 1 圓形過(guò)水?dāng)嗝鎓ig.1 circular water transfer cross section由式（14）計(jì)算出臨界水深相應(yīng)過(guò)水?dāng)嗝鎸?duì)應(yīng)中心角q 后，可再由式（5）計(jì)算臨界水深。3.2合理迭代初值及直接計(jì)算公式根據(jù)文獻(xiàn)4要求，同理可得無(wú)量綱參數(shù)n的取值范圍0n0.5044，本文作

11、者對(duì)該范圍內(nèi)n與 q 的500多組數(shù) 據(jù)運(yùn)用最優(yōu)一致逼近法得到近似公式為以下關(guān)系式：2圓形斷面正常水深的直接計(jì)算法2.1圓形斷面正常水深的牛頓迭代公式由以上可知，圓形斷面正常水深的求解就是非線性 方程的求根問(wèn)題，在非線性方程 f (q ) = 0 的有效解法中， 牛頓迭代法具有迭代形式簡(jiǎn)單，收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，是 數(shù)值求根的首選方法15。為構(gòu)造牛頓迭代格式，引入無(wú) 量綱參數(shù) m。q = 2arc cos(1 - 2.0512 n 0.2564 ), 0 £ n £ 0.5044（15）將式（15）作為初值函數(shù)，帶入式（14）進(jìn)行一次迭代計(jì)算便得到臨界水深對(duì)應(yīng)圓心角q 的直接計(jì)

12、算式。1qq0 - 8( n sin) - sin q02 0 3m = 22.6 ( nq )0.6 1 （9）q臨界 = q -（16）d 1.6i12qq1 - 4 n 3 (sin 0 )- 3 cos 0 - cosq將式（9）代入式（7）并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換導(dǎo)出圓形斷面正常水深的牛頓迭代公式：03220.2564式中q0 = 2arc cos(1 - 2.0512 n) 。上式適用范圍為： 0.902 £ q £ 4.40 。-0.6m q 0.4 + q cosq - sin q= j j j j q（10）j +10.4m q -0.6 + cosq -1jj4精

13、度評(píng)價(jià)由上式（10）計(jì)算出正常水深相應(yīng)過(guò)水?dāng)嗝鎸?duì)應(yīng)圓心角q 后，可再由式（5）計(jì)算正常水深。2.2合理迭代初值及直接計(jì)算公式迭代計(jì)算的精度及收斂速度不僅與迭代格式有關(guān)， 而且與迭代初值選取有關(guān)。只有尋找具有足夠“距離” 的初值與合理迭代函數(shù)配合使用，才能保證高的計(jì)算精 度和快的收斂速度。根據(jù)文獻(xiàn)4要求，可得出過(guò)水?dāng)嗝?對(duì)應(yīng)的圓心角的取值范圍為q 為0.9024.390 rad，相應(yīng) 地0m2.954。本文對(duì)該范圍內(nèi)m與q 的500多組數(shù)據(jù)運(yùn) 用最優(yōu)一致逼近法得到近似公式為以下關(guān)系式：根據(jù)水工設(shè)計(jì)要求，過(guò)水?dāng)嗝鏉裰軐?duì)應(yīng)的圓心角 介于0.902，4.390之間，因此，只需對(duì)此范圍內(nèi)的計(jì)算 值與精確

14、值進(jìn)行比較，即可評(píng)價(jià)式（12）、（16）的精確性。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，以及正常水深 與臨界水深對(duì)應(yīng)的圓心角 q 直接算式在定義域全程的誤差分布狀況，根據(jù)算式的相對(duì)誤差分布曲線進(jìn)行精度評(píng) 價(jià)。以q 為橫坐標(biāo)，相對(duì)誤差 e 為縱坐標(biāo)分別繪制了直接計(jì)算公式（12）、公式（16）及迭代一次相對(duì)誤差分布曲 線如圖 2圖 5 所示。第 3 期張寬地等：明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計(jì)算3i = 0.001 ，糙率 n = 0.015 ，洞徑 d = 3.0 m，試確定設(shè)計(jì)流量 q = 12.5 m3/s 和 q = 8.0 m3/s 時(shí)的正常水深與臨界水深。5.1正常水深計(jì)算當(dāng) q

15、= 12.5 m3/s 時(shí)，代入公式（9）計(jì)算得到無(wú)量綱 參數(shù) m=2.9678 大于 m 的取值范圍 0m2.954，即在該 流量時(shí)，隧洞內(nèi)水流會(huì)產(chǎn)生明滿交替的水流狀態(tài)，以及 無(wú)壓隧洞的封頂?shù)炔焕F(xiàn)象。要想避免該水流狀態(tài)，就 必須增大設(shè)計(jì)洞徑。因此，計(jì)算正常水深沒(méi)有意義，故 只需計(jì)算引水流量為 q = 8.0 m3/s 時(shí)的正常水深。解：由式（9）求得圖 2 公式（12）相對(duì)誤差分布fig.2 distribution of relative error by using formula 12m = 22.6 ( nq )0.61= 2.3270d 1.6i因1.978 £ m &

16、#163; 2.954 ，故將q = 1.5201m 0.99 = 3.5072代入式（12）得：圖 3 公式（12）迭代一次相對(duì)誤差分布fig.3 distribution of relative error by using the iterative formula 12 once-0.6m q 0.4 + q cosq - sin qq正常 = 3.49330.4m q -0.6 + cosq - 11q由式（5）得： h0 =d (1 - cos ) = 1.7624 m22精確解 h0 = 1.7624 m ，誤差為 0。5.2臨界水深計(jì)算同理，當(dāng)引水流量 q = 12.5 m3/

17、s時(shí)，超出無(wú)量綱參數(shù) n 的取值范圍，在工程上是絕對(duì)不允許的。因此，只需 計(jì)算 q = 8.0 m3/s時(shí)的臨界水深。解：由式（13）求得無(wú)量綱參數(shù) n圖 4 公式（16）相對(duì)誤差分布fig.4 distribution of relative error by using formula 162n = q = 0.0268gd 5將q = 2 arccos(1 - 2.0512n 0.2564 ) = 2.7619 代入式(16)得：1qq - 8( n sin 0 ) 3 - sin q002q= q -= 2.7564圖 5 公式（16）迭代一次相對(duì)誤差分布圖fig.5 distribu

18、tion of relative error by using the iterative formula 16 once臨界121 - 4 n 3 (sin q0 )- 3 cos q0 - cos q0322由式（5）得臨界水深：分析圖 2、圖 3 可知，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，正常水深的直接計(jì)算式（12）及迭代一次的相對(duì)誤差最大值局部 點(diǎn)分別為 0.32%和 1.2× 10-5，在絕大范圍內(nèi)（q =0.954.39 rad ） 相 對(duì) 誤 差 的 絕 對(duì) 值 都 分 別 小 于 0.17% 和0.30× 10-5，由圖 2、圖 3 還可以看出，如用此計(jì)算結(jié)果 再代入迭代公式

19、（12）僅迭代一次精度提高 103 倍。由圖 4、圖 5 可知，在工程適用范圍內(nèi)，臨界水深的直接計(jì)算式（16）及迭代一次的相對(duì)誤差最大值局部點(diǎn) 分別為 0.0049%和 0.002× 10-4，在絕大范圍內(nèi)（q =1.004.39 rad ） 相 對(duì) 誤 差 的 絕 對(duì) 值 都 分 別 小 于 0.001% 和0.005× 10-7，由圖 4、圖 5 還可以看出，如用此計(jì)算結(jié)果 再代入迭代公式（16）僅迭代一次精度提高 105 倍。此精度已遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足工程設(shè)計(jì)的要求。5應(yīng)用舉例某 引 水 式 電 站 輸 水 隧 洞 為 圓 形 斷 面 ， 已 知 底 坡h = 1 d (1 -

20、 cos q ) = 1.2129c22精確解 hc = 1.2129 ，誤差為 0。6結(jié)論本文在分析圓形隧洞均勻流方程與臨界流方程的數(shù) 學(xué)特性基礎(chǔ)上，采用平方收斂的牛頓迭代法構(gòu)造求解正 常水深與臨界水深的迭代格式，并采用最優(yōu)一致逼近原 理得到迭代初值，直接代入迭代公式得到了圓形斷面正 常水深與臨界水深的直接計(jì)算法。1）本文提出的計(jì)算公式與文獻(xiàn)911、13、14 提出的計(jì)算方法有本質(zhì)的區(qū)別，它不僅可以通過(guò)一次迭 代計(jì)算得到圓形斷面正常水深與臨界水深的近似值，便 于工程設(shè)計(jì)人員直接運(yùn)用，而且可作為高精度、高速收 斂的迭代公式，為工程設(shè)計(jì)程序化提供較好的算法。2）從誤差分布圖可知，圓形隧洞斷面正常

21、水深的計(jì)57(in chinese with english abstract)韓會(huì)玲，孟慶芝非滿流圓管均勻流水力計(jì)算的近似數(shù)值 解法j給水排水，1994，(10)：2526han huiling, meng qingzhi.approximate value solution in hydraulic calculation of uniform flow in partly full circularpipej. water and wastewater engineering，1994，(10)：2526(in chinese with english abstract) 王正中，冷暢儉

22、圓管均勻流水力計(jì)算近似公式j(luò)給水 排水，1997，(9)：2729wang zhengzhong, leng changjian. approximate formular for hydraulic calculation of uniform flow for pipes withcircular sectionj. water and wastewater engineering，1997(9) : 2729(in chinese with english abstract)文 輝，李風(fēng)玲，黃壽生圓管明渠均勻流的新近似計(jì)算 公式j(luò)人民黃河，2006，28(2)：6768wen hui,

23、li fengling, huang shousheng. a new approximate formula tocalculate round section canal in uniform flowj.yellow river, 2006, 28(2): 6768(in chinese with englishabstract) 呂宏興，把多鐸，宋松柏?zé)o壓流圓形斷面水力計(jì)算的迭 代法j長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2003，20(5)：1517lü hongxing, ba duoduo, song songbai. hydraulic calculation for free flow

24、in circular section by iterative methodj. journal of yangtze river scientific researchinstitute，2003，20(5)：1517(in chinese with englishabstract)孫 建，李 宇圓形和 u 形斷面明渠臨界水深直接計(jì)算 公式j(luò)陜西水力發(fā)電，1996，12(3)：3942sun jian, li yu. the approximate solution to the critical depth of round and u-shaped section canal with

25、 an equivalent square coefficient methodj. journal of shaanxi waterpower，1996，12(3)：3942(in chinese with englishabstract)王正中，陳 濤，萬(wàn) 斌，等圓形斷面臨界水深的新近 似計(jì)算公式j(luò).長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2004，21(2)：12wang zhengzhong, chen tao, wan bin, et al. a new approximate formula to critical depth of round section canalj. journal of yan

26、gtze river scientific research institute，2004，21 (2)：12. (in chinese with english abstract)許延生，于鋒學(xué)，陳 瑛基于牛頓法的梯形明渠臨界水算公式收斂速度遠(yuǎn)小于臨界水深的計(jì)算公式，故正常水深的計(jì)算問(wèn)題應(yīng)該為今后研究的重點(diǎn)，隨著計(jì)算機(jī)的普 及，可將新型的優(yōu)化方法引入該問(wèn)題的求解，以達(dá)到計(jì) 算經(jīng)濟(jì)，精確度高的雙重要求。9致謝：本文在撰寫(xiě)過(guò)程中始終得到了西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院王正中教授的悉心指導(dǎo)，在此 表示由衷的感謝。10參 考 文 獻(xiàn)汪胡楨水工隧洞的設(shè)計(jì)理論和計(jì)算m北京：水利電 力出版社，1990

27、wang huzhen. design theory and calculation of hydraulictunnelm. beijing: china waterpower press，1990(inchinese) 武漢水電學(xué)院水力學(xué)教研組水力計(jì)算手冊(cè)m北京： 水利水電出版社，1996wuhan water conservancy and electric power institute. handbook of hydraulic structure analysism. beijing:china waterpower press，1983(in chinese)呂宏興，裴國(guó)霞，楊

28、玲霞水力學(xué)m北京：中國(guó)農(nóng)業(yè) 出版社，2002lü hongxing，pei guoxia，yang lingxia. hydraulicsm . beijing: china agriculture press. (in chinese)清華大學(xué)主編水力學(xué)（修訂本）上冊(cè)m北京：高等教育出版社，19801112123413tsinghuauniversity.hydraulics(revisededition)m.beijing: higher education press，1980(in chinese)wang zhengzhong. formula for calculatin

29、g critical depth of trapezoidal open channelj. hydr eng，asce，1998，44(1)：9092prabhata k s, wu s, katopodis c. formula for calculating critical depth of trapezoidal open channelj. hydr engrg，1999，125(7)：785786王正中，袁 駟，武成烈再論梯形明渠臨界水深計(jì)算法j.水利學(xué)報(bào)，1999，30(4)：1416wang zhengzhong, yuan si, wu chenglie. a final

30、inquiry on a formula for calculating critical depth of open channel with trapezoidal cross sectionj. journal of hydraulicengineering，1999，30(4)：1416(in chinese with englishabstract) 陳應(yīng)華，袁曉輝，袁艷斌粒子群優(yōu)化在臨界水深計(jì)算中 的應(yīng)用j水電能源科學(xué)，2006，24(1)：5557chen yinghua, yuan xiaohui, yuan yanbin. application of particle sw

31、arm optimization in calculation of critical waterdepthj. water resources and power，2006，24(1)：555614715深直接算法j水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展（a 輯），2003，18(4)：455458xu yansheng, yu fengxue, chen ying. a directformula based on newton algorithm for calculating critical depths of trapezoidal open channelsj. journal of hydrody

32、namics(series a)，2003，18 (4)：455458. (in chinese with englishabstract)8第 3 期張寬地等：明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計(jì)算5direct calculation for normal depth and critical depth of circular sectiontunnel under free flowzhang kuandi, lü hongxing, zhao yanfeng(college of water conservancy and architectural engineering, northwest agriculture and forestry university, yangling 712100, china)abstract: there is no analytical expression to solve the normal depth and critical depth of circular section tunnel underfree flow. the traditional solving methods, such as trial method and chart method, are