2011年高考試題——全國卷理解析版

1、2021年高考題全國卷II數(shù)學(xué)試題理科全解全析科目：數(shù)學(xué)試卷名稱2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷 11(理科)知識點(diǎn)檢索號亠、丄一題目及解析新課標(biāo)(1)復(fù)數(shù)z 1 i,z為z的共軛復(fù)數(shù),那么zz z 1(A) 2i (B) i (C) i(D) 2i【思路點(diǎn)撥】先求出的 z共軛復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么計(jì)算即可?！揪v精析】選B、z 1 i,zz z 1(1 函數(shù)y 2 , x(x?0)的反函數(shù)為2X(A) y (x R)4(C) y 4x2 (x R)【思路點(diǎn)撥】先反解用 y表示x,注意要求出【精講精析】選 B、在函數(shù)yi)(1 i) (1 i) 1 i、2(B) y (x&

2、gt;0)42(D) y 4x (x>0)y的取值范圍，它就是反函數(shù)的定義域。20且反解x得x ,所以4_ 2y 2 < x(x>0)的反函數(shù)為 y (x 0)、4(3)下面四個(gè)條件中，使a> b成立的充分而不必要的條件就是(A) a> b 1 (B)a> b 1 (C) a2> b2 (D) a> b3【思路點(diǎn)撥】此題要把充要條件的概念搞清，注意尋找的就是通過選項(xiàng)能推出a>b,而由a>b推不出選項(xiàng)的選項(xiàng)、【精講精析】選 A、即尋找命題P使P a b,a b推不出P,逐項(xiàng)驗(yàn)證可選 A。設(shè)Sn為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)與，假設(shè)a11,公差

3、d 2, Sk 2 Sk24,那么k(A)8(B)7(C)6(D)5【思路點(diǎn)撥】思路一：直接利用前n項(xiàng)與公式建立關(guān)于 k的方程解之即可。思路二【精講精析】選D、Sk 2 Sk ak2 ak 1 2a1 (2k 1)d2 (2k 1) 2 24 k 5. 設(shè)函數(shù)f(x) cos x( >0),將y f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所3得的圖像與原圖像重合，那么的最小值等于1(A) -(B)3(C)6(D)93【思路點(diǎn)撥】 此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將y f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了一就是此函數(shù)周期的整數(shù)倍。332【精講精析】選C、由題k

4、(k Z),解得 6k,令k 1,即得斷 6、3 直二面角丨 ，點(diǎn)A , AC l ,C為垂足,B ,BD l, D為垂足.假設(shè)AB=2,AC=BD=1那么D到平面ABC的距離等于 (A)子(B)彳(C)三(D) 1【思路點(diǎn)撥】此題關(guān)鍵就是找出或做出點(diǎn)D到平面ABC的距離DE,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難證明AC 平面，進(jìn)而平面平面ABC所以過D作DE BC于E,那么DE就就是要求的距離?！揪v精析】選C、如圖，作DE BC于E,由 l 為直二面角，AC l得AC 平面，進(jìn)而AC DE ,又BC DE, BC 口 AC C ,于就是 DE 平面 ABC,故DE為D到平面ABC的距離。在Rt BCD中

5、,利用等面積法得 DEBD DC 1 _2_6BC .33某同學(xué) 有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本,那么不同的贈送方法共有(A)4 種(B)10 種(C)18 種(D)20 種【思路點(diǎn)撥】此題要注意畫冊相同，集郵冊相同，這就是重復(fù)元素，不能簡單按照排列知識來鑄。所以要分類進(jìn)行求解?！揪v精析】選 B、分兩類：取出的1本畫冊,3本集郵冊，此時(shí)贈送方法有 C4 4種;取出的2本畫冊,2本集郵冊，此時(shí)贈送方法有 C4 6種?？偟馁浰头椒ㄓ?10種。(8)曲線 y=e 2x+1 在點(diǎn)(0，2)處的切線與直線y=0與y=x圍成的三角形的面積為112(A) (B)

6、-(C)323【思路點(diǎn)撥】禾U用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)(D)1(0，2)切線方程然后分別求出與直線y=0與 y=x的交點(diǎn)問題即可解決。【精講精析】選A、y2e2x, y |r 02切線方程就是：y2x 2,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得S11?1。233(9)設(shè)f (x)就是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)Owx< 1時(shí)，f (x) =2x(15x)，那么 f(2)=(C)1(D)-42【思路點(diǎn)撥】解此題的關(guān)鍵就是把通過周期性與奇偶性把自變量i轉(zhuǎn)化到區(qū)間0,1上進(jìn)行求值。【精講精析】選A、51先利用周期性，再利用奇偶性得：f(孑)f( )(10)拋物線C: y24x的焦點(diǎn)為 F,直線y 2x 4與C交于A,B兩點(diǎn)

7、.那么4 3(A)(B)5 5【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立求出(C)cos AFB =34-(D)55A、B兩點(diǎn)后轉(zhuǎn)化為解三角形問題。【精講精析】選D、聯(lián)立 y 4X ,消y得x2 5x 40,解得x 1,x4、y 2x 4不妨設(shè)A在x軸上方，于就是A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(1,-2),可 求 AB 3 5, AF 5,BF 2, 利 用 余 弦 定 理2 2 2cos AFBAF BF AB2AF BF(11)平面a截一球面得圓M,過圓心 M且與a成60°二面角的平面B截該球面得圓N、假設(shè)該球面的半徑為4,圓M的面積為4 ,那么圓N的面積為(A)7(B)9(C)11(D)13【思路點(diǎn)

8、撥】做出如下列圖的圖示，問題即可解決。【精講精析】選B、c,b C 60 ,那么|c|的最大值作示意圖如，由圓M的面積為4,易得MA 2,OM一 OA2MA2 2 3,Rt OMN 中，OMN 30；。i'2故 MN OM cos3° 3,S39 .、(12)設(shè)向量 a,b,C滿足 |?| |b| 1,a b 丄，2(A)2 (B)3 (c)2(D)1等于【精講精析】選aB a, ad-GLIo2nLJ6【思路點(diǎn)撥】此題按照題目要求構(gòu)造出如右圖所示的幾何圖 形,然后分析觀察不難得到當(dāng)線段 AC為直徑時(shí)，|C |最大、所以A B、C、D四點(diǎn)共圓，分析可知當(dāng)線段 AC為直徑時(shí),|

9、c|最大，最大值為2、(13)(1-, x )20的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為：、【精講精析】0、 由Tr1 C；o(X)20得X的系數(shù)為c2o, x 9的系數(shù)為c20,而1820220、(14) a ( , ),sin a = 5 ,那么 tan2 a25【思路點(diǎn)撥】此題涉及到同角三角函數(shù)關(guān)系式，先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數(shù)的倍角公式即可求解。),sin2、5sin12cos,ta n5costan 22ta n41 tan23(15)F1、F2分別為雙曲線2C x -9(2,0),AM為/ RAR的平分線.那么 | AF2|21=12

10、7的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A C,點(diǎn)M的坐標(biāo)為講精析】【思路點(diǎn)撥】此題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的定義即可求解。【精講精析】6、由角平分線定理得：空討I AFi |IMF2I阿|1,|AF1| |AF2| 2a 6,故 | AF? | 6、2(16)己知點(diǎn)E、F分別在正方體 ABCDABGD的棱BB、CC上,且BE=2EB, CF=2FG,那么面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 、【思路點(diǎn)撥】此題應(yīng)先找出兩平面的交線，進(jìn)而找出或做出二面角的平面角就是解決此問題的關(guān)鍵，延長EF必與BC相交，交點(diǎn)為P,那么AP為面AEF與面ABC的交線、【精講精析】延長EF交BC的延長線于 P,那么AP為面AEF與

11、面ABC的交線，因3為 CAP 90：,所以 FCA為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角。tan FCA2 _ FC3 _2CA.23(17) (本小題總分值10分)(注意:在試題卷上作答無效) ABC的內(nèi)角A B C的對邊分別為 a、b、c、己知A C=90° ,a+c=2 b,求C 【思路點(diǎn)撥】解決此題的突破口就是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，然后再結(jié)合 A-C=90° ,得到sin A cosC、即可求解?！揪v精析】選 D、由A C 90,得A為鈍角且si nA cosC,利用正弦定理，a c ,2b可變形為si nA si nC .2 si nB

12、,即有 si nA si nC cosC si nC 2 s in (C 45 ). 2 si nB,又A、B、C就是ABC的內(nèi)角，故C 45 B 或(C 45 ) B 180 (舍去)所以 ABC(90： C) (C 45) C 180。所以C 15、(18) (本小題總分值12分)(注意:在試題卷上作答無效)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購置甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購置乙種保險(xiǎn)但不購 買甲種保險(xiǎn)的概率為 0、3,設(shè)各車主購置保險(xiǎn)相互獨(dú)立(I)求該地1位車主至少購置甲、乙兩種保險(xiǎn)中的I種的概率；(n )X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購置的車主數(shù)。求X的期望?！舅悸伏c(diǎn)撥】解此題應(yīng)首

13、先主出該車主購置乙種保險(xiǎn)的概率為p,利用乙種保險(xiǎn)但不購置甲種保險(xiǎn)的概率為 0、3,即可求出p=0、6、然后(ii)利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì) 算公式與期望公式計(jì)算即可、【精講精析】設(shè)該車主購置乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知：p (1 0.5) 0.3 ,解得p 0.6。(I )設(shè)所求概率為P1,那么P 1(1 0.5) (1 0.6)0.8、(II )對每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購置的概率為(1 0.5) (1 0.6) 0.2。X & B(100,0.2). EX 100 0.220所以X的期望就是20人。(19)女口 圖，四棱錐 S ABCD 中，AB/CD , BC CD ,側(cè)面SA

14、B為等邊 三角形，AB BC 2,CD SD 1、(I )證明：SD 平面SAB;(n )求AB與平面SBC所成角的大小、【思路點(diǎn)撥】此題第(I)問可以直接證明，也可 建系證明。(II)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算把求角的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì) 算問題，思路清晰思維量小?！揪v精析】計(jì)算SD=1，AD ,5, SA 2,于就是SA2 SD2 AD2,利用勾股定理可知SD SA，同理，可證SD SB又 SAp|SB S，因此，SD 平面SAB、1S(?0,(II)過D做Dz 平面ABCD，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz，A(2，-1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，(0

15、宀 3,2),(0, 2,0)可計(jì)算平面SBC的一個(gè)法向量就是n所以AB與平面SBC所成角為arcs in(20)設(shè)數(shù)列an滿足aian(I )求 an的通項(xiàng)公式；(n )設(shè) bnbk,證明:k 11.【思路點(diǎn)撥】解此題突破口關(guān)鍵就是由式子1 11.得到就是等1 an 11 an1 an差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式、(II)問求出bn的通項(xiàng)公式注意觀察到能采用裂項(xiàng)相消的方式求與。的等差數(shù)列，1【精講精析】 就是公差為1 an11 an11 a1(n所以ann-1(nn(II)bn1/an 1n1,nSnbk ( 1 k 1'-1(、123)HI (；n丄1)1 -nJ(21)

16、O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為橢圓C:x2y221在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-2的直線|與COA OB oP 0.(I )證明：點(diǎn)P在C上；(n )設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為同一圓上、【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理就是解決這類問題的基兩點(diǎn)，Q,證明:A、P、本思路，注意把oA0.用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用 A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn) P在C上。(II)此問題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵就是證明APB, AQB互補(bǔ)、通過證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可,再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦

17、的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心 N,然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、B、P、Q的距離相等即可、【精講精析】(I)設(shè)A(, y1), B(x2, y2)直線 l : y 2x2i,與X2 i聯(lián)立得4x22 2x2Xi6 2，X2Xi X2, XiX22由 oA OB oP0.得 P(xi X2), (yiy2)(XiX2)(Yi y?)2x2所以點(diǎn)P在C上。(II)法一 ：tan APBkPAkPBYi ( 9Xi ( _Z2)X2 (Y2i)ikPAkPBYi ( i)Xi(乎)Y2 ( i)X2 (3( X2 X|)c3 叵、93XX2(xi x2)224(X2Xi)3x,x

18、2tan AQB(XiX2)(XiX2)X24( X2 Xi)3所以 APB, AQB互補(bǔ)，因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。法二：由P( 2 , 1)與題設(shè)知，Q(丄2 ,1) ,PQ的垂直平分線li2 2的方程為yx2設(shè)AB的中點(diǎn)為M,那么M (丄2),AB的垂直平分線4212的方程為y各14由得li、J的交點(diǎn)為N( ,)8 8|NP|2 .2)22 8 )I AB|i (2)2 |X2Xi | AM |U,|MN| 丄2 2)2 (i i)24. 4 82 8|NA|2 2AM |MN |故 | NP | |NA|、| NP | | NQ |,| NA| | NB |所以A P、B、Q四點(diǎn)在同一圓圓 N上、(22)(本小題總分值12分)(注意:在試題卷上作答無效)2x(