高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8節(jié)函數(shù)與方程習題理含解析新人教A2

1、 1 第第 8 8 節(jié)節(jié) 函數(shù)與方程函數(shù)與方程 最新考綱 結(jié)合二次函數(shù)的圖象， 了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系， 判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 知 識 梳 理 1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的概念 對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0 的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點. (2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系 方程f(x)0 有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點. (3)零點存在性定理 如果函數(shù)yf(x)滿足： 在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線； f(a)f(b)0)的圖象與零點的關(guān)系 b24ac 0 0 0)的圖象 與x軸的交點 (x1，0)，(x2，0) (x1

2、，0) 無交點 零點個數(shù) 2 1 0 微點提醒 1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)， 則f(x)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)0 的實根. 2.由函數(shù)yf(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間a，b上有零點不一定能推出 2 f(a)f(b)0，如圖所示，所以f(a)f(b)0 是yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點的充分不必要條件. 基 礎(chǔ) 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)函數(shù)f(x)lg x的零點是(1，0).( ) (2)圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點，則f(a)f(b)0.( ) (3)二次函數(shù)ya

3、x2bxc(a0)在b24ac0 時沒有零點.( ) 解析 (1)f(x)lg x的零點是 1，故(1)錯. (2)f(a)f(b)0 是連續(xù)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點的充分不必要條件，故(2)錯. 答案 (1) (2) (3) 2.(必修 1P92A2 改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表： x 1 2 3 4 5 f(x) 4 2 1 4 7 在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為( ) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 解析 由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x2與x3這兩個數(shù)字對應的函數(shù)值的符號不同，即f(2)f(3)0，所以

4、函數(shù)在(2，3)內(nèi)有零點. 答案 B 3.(必修 1P112T1 改編)若函數(shù)f(x)唯一的零點同時在區(qū)間(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)內(nèi)，那么下列命題正確的是( ) A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)或(1，2)內(nèi)有零點 C.函數(shù)f(x)在區(qū)間2，16)上無零點 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，16)內(nèi)無零點 解析 由題意可確定f(x)唯一的零點在區(qū)間(0，2)內(nèi)，故在區(qū)間2，16)內(nèi)無零點. 答案 C 3 4.(2018濟南月考)若函數(shù)f(x)x22xa沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(，1) B.(1，) C.(，1 D.1

5、，) 解析 因為函數(shù)f(x)x22xa沒有零點，所以方程x22xa0 無實根，即44a1. 答案 B 5.(2018全國卷)函數(shù)f(x)cos3x6在0，的零點個數(shù)是_. 解析 由題意知，cos3x60，所以 3x62k，kZ Z，所以x9k3，kZ Z，當k0 時，x9；當k1 時，x49；當k2 時，x79，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在0，的零點個數(shù)為 3. 答案 3 6.(2019西安調(diào)研)方程 2x3xk的解在1，2)內(nèi)，則k的取值范圍是_. 解析 令函數(shù)f(x)2x3xk，則f(x)在 R R 上是增函數(shù).當方程 2x3xk的解在(1，2)內(nèi)時，f(1)f(2)0，即(5k)(10

6、k)0，解得 5k10. 又當f(1)0 時，k5.則方程 2x3xk的解在1，2)內(nèi)，k的取值范圍是5，10). 答案 5，10) 考點一 函數(shù)零點所在區(qū)間的判定 【例 1】 (1)設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)零點所在的區(qū)間為( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) (2)設(shè)函數(shù)yx3與y12x2的圖象的交點為(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN N，則x0所在的區(qū)間是_. 解析 (1)因為yln x與yx2 在(0，)上都是增函數(shù)， 所以f(x)ln xx2 在(0，)上是增函數(shù)， 又f(1)ln 11210， 根據(jù)零點存在性定理，可知函數(shù)f(x

7、)ln xx2 有唯一零點，且零點在區(qū)間(1，2)內(nèi). 4 (2)設(shè)f(x)x312x2， 則x0是函數(shù)f(x)的零點， 在同一坐標系下畫出函數(shù)yx3與y12x2的圖象如圖所示. 因為f(1)112110， 所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2). 答案 (1)B (2)(1，2) 規(guī)律方法 確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法： (1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點. (2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 【訓練 1】

8、(1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間( ) A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi) C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，) (2)函數(shù)f(x)ln x2x2的零點所在的區(qū)間為( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析 (1)ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函數(shù)零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點；因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi). 5 (2)易知f(x)ln x

9、2x2在定義域(0， )上是增函數(shù)， 又f(1)20. 根據(jù)零點存在性定理，可知函數(shù)f(x)ln x2x2有唯一零點，且在區(qū)間(1，2)內(nèi). 答案 (1)A (2)B 考點二 確定函數(shù)零點的個數(shù) 【例 2】 (1)(一題多解)函數(shù)f(x)x2x2，x0，1ln x，x0的零點個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2019安慶二模)定義在 R R 上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)x22，x0，1），2x2，x1，0），且f(x1)f(x1)， 若g(x)3log2x， 則函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0， )內(nèi)的零點有( ) A.3 個 B.2 個 C.1 個 D.0 個 解析

10、(1)法一 由f(x)0 得x0，x2x20或x0，1ln x0， 解得x2 或xe. 因此函數(shù)f(x)共有 2 個零點. 法二 函數(shù)f(x)的圖象如圖 1 所示， 由圖象知函數(shù)f(x)共有 2 個零點. 圖 1 (2)由f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，知yf(x)的周期T2. 在同一坐標系中作出yf(x)與yg(x)的圖象(如圖 2). 圖 2 由于兩函數(shù)圖象有 2 個交點. 6 所以函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，)內(nèi)有 2 個零點. 答案 (1)B (2)B 規(guī)律方法 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法： (1)直接求零點，令f(x)0，有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理，

11、要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0(aR R)，若函數(shù)f(x)在 R R 上有兩個零點，則a 7 的取值范圍是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，0) D.1，0) (2)(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若g(x)存在 2 個零點，則a的取值范圍是( ) A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，) 解析 (1)當x0 時，f(x)3x1 有一個零點x13. 因此當x0 時，f(x)exa0 只有一個實根，aex(x0)，則1a0. (2)函數(shù)g(x)f(x)xa存在 2 個零點，即關(guān)于x的方程f(x)

12、xa有 2 個不同的實根， 即函數(shù)f(x)的圖象與直線yxa有 2 個交點.作出直線yxa與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，a1，解得a1，故選 C. 答案 (1)D (2)C 規(guī)律方法 1.已知函數(shù)的零點求參數(shù)， 主要方法有： (1)直接求方程的根， 構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 2.已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍， 常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍. 【訓練 3】 (2018浙江卷)已知R R，函數(shù)f(x)x4，x，x24x3，x. (1)當2 時，不等式

13、f(x)0 的解集是_. (2)若函數(shù)f(x)恰有 2 個零點，則的取值范圍是_. 解析 (1)若2，當x2 時，令x40，得 2x4；當x2 時，令x24x30，解得1x2.綜上可知，1x4，所以不等式f(x)0 的解集為(1，4). 8 (2)令f(x)0，當x時，x4， 當x時，x24x30， 解得x1 或x3. 因為函數(shù)f(x)恰有 2 個零點， 結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，14. 答案 (1)(1，4) (2)(1，3(4，) 思維升華 1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點問題中的應用 方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題； 已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題. 2.判斷函數(shù)零

14、點個數(shù)的常用方法 (1)通過解方程來判斷. (2)根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷. (3)將函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象公共點的個數(shù)來判斷. 易錯防范 1.函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)0 的實根. 2.函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點， 而不能判斷函數(shù)的不變號零點， 而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：35 分鐘) 一、選擇題 9 1.已知函數(shù)f(x)2x1，x1，1log2x，x1，則函數(shù)f(x)的零點為( ) A.12，0 B.2，0 C

15、.12 D.0 解析 當x1 時，令f(x)2x10，解得x0； 當x1 時，令f(x)1log2x0，解得x12， 又因為x1，所以此時方程無解. 綜上函數(shù)f(x)的零點只有 0. 答案 D 2.(2019岳陽二模)已知函數(shù)f(x)x22x，x0，11x，x0，則函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 函數(shù)yf(x)3x的零點個數(shù)就是yf(x)與y3x兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)， 如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點個數(shù)為 2. 答案 C 3.函數(shù)f(x)2x2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，

16、3) D.(0，2) 解析 因為函數(shù)f(x)2x2xa在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)2x2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)f(2)0， 所以(a)(41a)0，即a(a3)0，所以 0a3. 答案 C 4.函數(shù)f(x)12ln xx1x2 的零點所在的區(qū)間是( ) 10 A.1e，1 B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3) 解析 易知f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(2)12ln 2120.f(2)f(e)0，故f(x)的零點在區(qū)間(2，e)內(nèi). 答案 C 5.(2019湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是 R R 上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(

17、x)只有一個零點，則實數(shù)的值是( ) A.14 B.18 C.78 D.38 解析 令yf(2x21)f(x)0，則f(2x21)f(x)f(x)，因為f(x)是 R R 上的單調(diào)函數(shù)， 所以 2x21x，只有一個實根，即 2x2x10 只有一個實根，則18(1)0，解得78. 答案 C 6.已知函數(shù)f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1 的零點依次為a，b，c，則( ) A.abc B.acb C.bca D.bac 解析 令函數(shù)f(x)2xx10，可知x0，即a0； 令g(x)log2xx10，則 0 x1，即 0b1； 令h(x)log2x10，可知x2，即c2.

18、顯然ab0，則使方程xf(x)m有解的實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(1，2) B.(，2 C.(，1)(2，) D.(，12，) 解析 當x0 時，xf(x)m，即x1m，解得m1；當x0 時，xf(x)m，即x1xm，解得m2，即實數(shù)m的取值范圍是(，12，). 答案 D 11 8.(2019北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln（x1）x33x （x0），（x0），若函數(shù)yf(x)k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是( ) A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3) 解析 當x0，2|x|，x0，則函數(shù)y2f(x)23f(x)1 的零點個數(shù)是_. 解析 由 2f(x

19、)23f(x)10 得f(x)12或f(x)1， 作出函數(shù)yf(x)的圖象. 由圖象知y12與yf(x)的圖象有 2 個交點，y1 與yf(x)的圖象有 3 個交點. 因此函數(shù)y2f(x)23f(x)1 的零點有 5 個. 答案 5 12.(2018天津卷)已知a0，函數(shù)f(x)x22axa，x0，x22ax2a，x0. 若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有 2 個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是_. 解析 當x0 時，由x22axaax，得ax2ax；當x0 時，由x22ax2aax，得 2ax2ax. 令g(x)x2ax，x0，x2ax，x0. 作出ya(x0)，y2a(x0)，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為a24a22a24，由圖象可知，若f(x)ax恰有 2 個互異的實數(shù)解，則aa242a，解得 4a0)的最小值為 8，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10) 解析 由于f(x)在0，)上是增函數(shù)，在(，0)上是減函數(shù)， f(x)minf(0)alog2a8. 令g(a)alog2a8，a0. 則g(5)log2530，