初中函數(shù)解析以及解題技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)知識點總結(jié)( 掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)（一）平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系2、各個象限內(nèi)點的特征:第一象限：（ +，+）點 P（ x,y ），則 x 0,y 0；第二象限：（ - ，+）點 P（ x,y ），則 x 0,y 0；第三象限：（ - ，- ）點 P（ x,y ），則 x 0,y 0；第四象限：（ +，- ）點 P（ x,y ），則 x 0,y 0；3、坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征：x軸上的點，縱坐標(biāo)為零；y 軸上的點，橫坐標(biāo)為零；原點的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特征

2、：已知點P(m,n),關(guān)于 x 軸的對稱點坐標(biāo)是(m,-n),橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號關(guān)于 y 軸的對稱點坐標(biāo)是(-m,n)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)是(-m,-n)橫，縱坐標(biāo)都反號5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)特征：平行于 x 軸的直線上的任意兩點：縱坐標(biāo)相等；平行于 y 軸的直線上的任意兩點：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)相等。第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點 P（ x,y ）的幾何意義：點 P（x,y ）到 x 軸的距離為 |y| ，點 P（x,y ）到 y 軸的距離為 |x| 。點 P（x,y

3、 ）到坐標(biāo)原點的距離為x2y 28、兩點之間的距離：X 軸上兩點為A( x1 ,0) 、 B (x2 ,0)|AB| x2x1 |學(xué)習(xí)必備歡迎下載Y 軸上兩點為 C(0, y1 ) 、 D(0, y2 ) |CD| y 2y1 |已知 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )AB|=( x2x1 ) 2( y2y1 ) 29、中點坐標(biāo)公式：已知A( x ,y) 、B( x2, y2 ) M為AB的中點11則： M=( x2 x1 ,y2y1)2210、點的平移特征：在平面直角坐標(biāo)系中，將點（ x,y ）向右平移 a 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x-a ，y）；將點（ x,y ）向

4、左平移 a 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a ，y）；將點（ x,y ）向上平移 b 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x， yb）；將點（ x,y ）向下平移 b 個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x， yb）。注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量： 在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。常量： 在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)： 一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量的值， y 都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x 和 y，并且對于 x

5、稱為自變量，把x 的每一個確定y 稱為因變量，y是 x 的函數(shù)。* 判斷 A 是否為 B 的函數(shù)，只要看 B 取值確定的時候， A 是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、定義域： 一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（ 5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像學(xué)習(xí)必備歡迎下載一般來說， 對于一個函數(shù)， 如果把自變量與函數(shù)的每

6、對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點） ；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然， 使用起來方便， 但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間

7、的相依關(guān)系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx(k 是常數(shù)， k0) 的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k 叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx (k不為零 ) k 不為零 x 指數(shù)為 1 b取零當(dāng) k>0 時，直線 y=kx 經(jīng)過三、 一象限， 從左向右上升， 即隨 x 的增大 y 也增大； 當(dāng) k<0時， ?直線 y=kx 經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x 增大 y 反而減小(1) 解析式 ： y=kx （ k 是常數(shù)， k 0）(2) 必

8、過點 ：（ 0，0）、（ 1，k）(3) 走向： k>0 時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0 時， ?圖像經(jīng)過二、四象限(4) 增減性 ： k>0， y 隨 x 的增大而增大； k<0， y 隨 x 增大而減小(5) 傾斜度 ： |k| 越大，越接近 y 軸； |k| 越小，越接近 x 軸2、一次函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx b(k,b是常數(shù)， k0) ，那么y 叫做 x 的一次函數(shù) . 當(dāng) b=0 時， y=kx b即 y=kx ，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b (k 不為零 ) k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取任意實數(shù)一次函

9、數(shù) y=kx+b 的圖象是經(jīng)過（0， b）和（ - b ， 0）兩點的一條直線，我們稱它為直k線 y=kx+b, 它可以看作由直線y=kx 平移 |b| 個單位長度得到.（當(dāng) b>0 時，向上平移； 當(dāng) b<0學(xué)習(xí)必備歡迎下載時，向下平移）（1）解析式 ：y=kx+b(k 、 b 是常數(shù)， k0)（2）必過點 ：（0， b）和（ - b ， 0）k（3）走向：k>0 ，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限k 0 b 0k 0 b 0直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、二、四象限k 0

10、b 0k 0 b 0直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限注： y kx+b 中的 k， b 的作用：1、 k 決定著直線的變化趨勢 k>0直線從左向右是向上的 k<0直線從左向右是向下的2、 b 決定著直線與y 軸的交點位置 b>0直線與 y 軸的正半軸相交 b<0直線與 y 軸的負半軸相交（4）增減性 ： k>0 ， y 隨 x 的增大而增大；k<0， y 隨 x 增大而減小 .（5）傾斜度 ：|k| 越大，圖象越接近于y 軸； |k| 越小，圖象越接近于x 軸 .（6）圖像的平移： 當(dāng) b>0 時，將直線y=kx 的圖象向上平移b 個單

11、位；當(dāng) b<0 時，將直線 y=kx 的圖象向下平移 b 個單位 . 3、一次函數(shù) y=kx b 的圖象的畫法 .根據(jù)幾何知識： 經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可. 一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點： （ 0， b），. 即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0 的點 .注：對于y kx+b 而言，圖象共有以下四種情況：1、 k>0， b>02、 k>0， b<03、 k<0， b<04、 k<0，b>0學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、直線 y=kx b(k 0) 與坐標(biāo)軸的交點

12、(1) 直線 y=kx 與 x 軸、 y 軸的交點都是 (0 ， 0) ；(2) 直線 y=kx b 與 x 軸交點坐標(biāo)為與 y 軸交點坐標(biāo)為(0 ， b) 5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（ 1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）將 x、y 的幾對值或圖象上的幾個點的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（ 3）解方程得出未知系數(shù)的值；（ 4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標(biāo)的求法：方法：聯(lián)立方程組求x、 y例題：已知兩直線y x+6與 y2x-4 交于點 P，求 P 點的坐標(biāo)？7、直線 y=k1x+b

13、1 與 y=k2x+b2 的位置關(guān)系（ 1）兩條直線平行： k1=k2 且 b1 b2（ 2）兩直線相交： k1 k2（ 3）兩直線重合： k1=k2 且 b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作. 特別地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù) y=kx b 的圖象是一條直線， 它可以看作是由直線得到（當(dāng)b>0 時，向上平移；當(dāng)b<0 時，向下平移）.y=kx平移 |b|個單位長度而9、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為 ax+b=0（ a，b 為常數(shù)， a 0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為： 當(dāng)某個一次函數(shù)的值為 0 時，求相應(yīng)的自

14、變量的值 . 從圖象上看， 相當(dāng)于已知直線 y=ax+b 確定它與 x 軸的交點的橫坐標(biāo)的值 .10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0 或 ax+b<0（ a，b 為常數(shù)， a 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大 （?。┯?0 時，求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組（ 1）以二元一次方程ax+by=c 的解為坐標(biāo)的點組成的圖象與一次函數(shù)y=a x c 的bb學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖象相同 .（ 2）二元一次方程組a1 x b1 y c1 的解可以看作是兩個一次函數(shù)y=a1 xc1和a2 x b2 y c2b

15、1b1y=a2 xc2 的圖象交點 .b2b212、函數(shù)應(yīng)用問題（理論應(yīng)用實際應(yīng)用）（1）利用圖象解題通過函數(shù)圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡單的實際問題.（ 2）經(jīng)營決策問題 函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題 . 建立一次函數(shù)模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知題.( 四 ) 反比例函數(shù)一般地，如果兩個變量 x、 y 那么稱 y 是 x 的反比例函數(shù)。之間的關(guān)系可以表示成y k x (k為常數(shù)， k0) 的形式，取值范圍：于 0 的任意實數(shù) k 0;函數(shù)在一般的情況下,自變量y的取

16、值范圍也是任意非零實數(shù)。x的取值范圍可以是不等反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X 軸Y 軸但不會與坐標(biāo)軸相交（K0）。反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)1. 當(dāng) k>0 時，圖象分別位于第一、三象限， 同一個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而減??；k<0 時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而增大。2.k>0時，函數(shù)在x<0 和 x>0 上同為減函數(shù)；k<0 時，函數(shù)在x<0 和 x>0 上同為增函數(shù)。定義域為x0；值域為y0。3. 因為在y=k/x(k 0) 中，x 不能為

17、不可能與x 軸相交，也不可能與y 軸相交。0， y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P， Q，過點 P， Q 分別作 x 軸， y 軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1， S2，則 S1 S2=|K|5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點。6. 若設(shè)正比例函數(shù)y=mx 與反比例函數(shù)y=n/x交于 A、B 兩點（ m、 n 同號），那么 A B 兩點關(guān)于原點對稱。學(xué)習(xí)必備歡迎下載7. 設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x 和一次函數(shù) y=mx+n ，要使它們有公共交

18、點，則 n2 +4k·m（不小于）0。（ k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0）8. 反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x 軸與y 軸。9. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱, 并且關(guān)于原點中心對稱. (第5點的同義不同表述)10.反比例上一點m向x、 y軸分別做垂線，交于q 、w，則矩形mwqo（ o 為原點）的面積為|k|11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為 f(x)=ax2+bx+c(a 不為 0) 。

19、其圖像是一條主軸平行于 y 軸的拋物線。一般式 (已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)y=ax2+bx+c(a 0,a 、b 、 c為常數(shù)) ，頂點坐標(biāo)為(-b/2a， (4ac-b2/4a)；頂點式 (已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式y(tǒng)=a(x+m)2+k(a 0,a 、m、 k 為常數(shù) ) 或. )y=a(x-h)2+k(a 0,a 、h、 k 為常數(shù)) ，頂點坐標(biāo)為（-m，k ）或（ h,k ）對稱軸為x=-m或 x=h ，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；交點式 (已知圖像與y=a(x-x1)(x-x2)軸的交點坐標(biāo) 僅限于與、 ，通常選用交點式 ) x 軸有交點 A（ x1 ， 0 ）和B （ x2 ， 0 ）的拋物線；拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點頂點拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P ( -b/2a上；當(dāng)= b2-4ac=0時， P 在 x 軸上。， 4ac-b2/4a )，當(dāng)-b/2a=0時，P 在y 軸開口二次項系數(shù) 0