二次函數(shù)知識點及經(jīng)典例題詳解最終

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典習題一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a , b, d1常數(shù)，a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函 數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù) a 0，而b , c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2 .二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是 2.a , b , c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)， c是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì):a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0

2、y軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減小；x 0時，y有最小值0 .a 0問卜0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值0 .2. y ax2 c的性質(zhì)：上加下減。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減??；x 0時，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時，y隨x的增大而減?。粁 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值c .2 ,3. y a x h的性質(zhì)：左加右減。a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx

3、 h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨 x的增大而減小；x h時，y有最小值0 .a 0問卜h , 0X=hx h時，y隨x的增大而減小；x h時，y隨 x的增大而增大；x h時，y有最大值0 .24. y a x h k的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a 0向上h , kX=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨 x的增大而減小；x h時，y有最小值k .a 0問卜h， kX=hx h時，y隨x的增大而減??；x h時，y隨 x的增大而增大；x h時，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) ax h 2 k ,確定其頂點坐標h,

4、k ；保持拋物線 y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h , k處，具體平移方法如下:2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上 上加下減”.四、二次函數(shù)y 從解析式上看,坳或同卜a詢】平移個單位向上伏t或下狀七。）】平移k t*tt向右（鵬）【或左（M】平移出平單位向右（占0）1或左A<0T移四個單位向上伏t或下伏CO）】 平明川個單位I- 切h值正右移,負左移;2 axk值正上移，負下移到前者，即y a（?+ 2?）h k與y4? ?2-4?，bx2 ax五、二次函數(shù)y ax2 bxc的性質(zhì)向右5>叨1或左（和切】平移pt個單位概括成八個字“左加右減,c的比較bx c是兩種不同的表達形式，

5、后者通過配方可以得?4? ?彳其中h= F k當a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為-,頂點坐標為（- 2? 4?22?,-4? ) ,當x - 2?時,y隨x的增大而減小;當x 2?時，y隨x的增大而增大;當*=2?寸，y有最小值4?彳 -4?時，拋物線開口向下，對稱軸為?2?,頂點坐標為（-£琮x - 2?寸，y隨x的大而增大y;當隨x2?時,y隨x的增大而減??；當*= 2?時, y有最大值4 4?六、二次函數(shù)解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b, c為常數(shù)，a 0）；2 .頂點式：y a（x h）2 k （a, h, k為常數(shù)，a 0）;3 .兩根式（

6、交點式）：y a（x xi）（x X2） （a 0, xi , x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標） 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即b2 4ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù)a當a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大；當a0 時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.（同左

7、異右b為0對稱軸為y軸）3. 常數(shù)項 c 當 c 0 時，拋物線與 y 軸的交點在x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為正； 當 c 0 時，拋物線與 y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ；當c 0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負 總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點的位置八、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：ax2 bx c 0 是二次函數(shù) y2 axbx c 當函數(shù)值y 0 時的特殊情況. 圖象與x 軸的交點個數(shù)： 當 b2 4ac 0 時，圖象

8、與x 軸交于兩點 Ax1 ， 0 ， B x2 ，x2 ） ，其中的 x1 ， x 2是一元二 次方程 ax2bx c 0 a 0 的兩根 當 0 時，圖象與x 軸只有一個交點； 當 0 時，圖象與x 軸沒有交點 .1'當a0 時，圖象落在 x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y2. 拋物線 y0時，圖象落在 x軸的下方，無論 x為任何實數(shù)，都有ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為 （0 , c）;中考題型例析1.二次函數(shù)解析式的確定例1求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式(1)圖象經(jīng)過 A(-1,3) 、B(1,3)、C(2,6);(2)圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)

9、,函數(shù)有最小值-8;(3)圖象頂點坐標是(-1,9),與x軸兩交點間的距離是6.分析:此題主要考查用待定系數(shù)法來確定二次函數(shù)解析式.可根據(jù)已知條件中的不同條件分別設出函數(shù)解析式，列出方程或方程組來求解.(1)解:設解析式為y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各點代入上式得?= 1解得?= 0 2? 23 =？ ?+ ? 3 =?？?+ ?6 = 4?+ 2?+ ?:解析式為y=x 2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得拋物線對稱軸為x=1,所以頂點為(1,-8).設解析式為 y=a(x-h) 2+k,即 y=a(x-1) 2-8.把 x=-1,y=

10、0 代入上式得 0=a(-2) 2-8, a=2.即解析式為 y=2(x-1) 2-8,即 y=2x2-4x-6.解法2:設解析式為y=a(x+1)(x-3),確定頂點為(1,-8)同上，把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,:解析式為y=2x 2-4x-6.解法3:,圖象過 A(-1,0),B(3,0) 兩點，可設解析式為：y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.;函數(shù)有最小值-8.4a.4a (-3a ) -(2a) 2 _ o .=-8. a* 0, . . a=2.解析式為 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.解：由頂點坐標(-

11、1,9)可知拋物線對稱軸方程是x=-1,又:圖象與x軸兩交 點的距離為6,即AB=6.由拋物線的對稱性可得A、B兩點坐標分別為A(-4,0),B(2,0),設出兩根式y(tǒng)=a(x-x 1) (x-x2),將A(-4,0),B(2,0) 代入上式求得函數(shù)解析式為y=-x 2- 2x+8.點評：一般地，已知三個條件是拋物線上任意三點(或任意3對x,y的值)可設表 達式為y=ax2+bx+c,組成三元一次方程組來求解；如果三個已知條件中有頂點坐標 或?qū)ΨQ軸或最值，可選用y=a(x-h) 2+k來求解；若三個條件中已知拋物線與x軸兩交 點坐標，則一般設解析式為y=a(x-x 1)(x-x 2).2 .二

12、次函數(shù)的圖象例2 y=ax2+bx+c(a W0)的圖象如圖所示，則點M(a,bc)在().A.第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限分析：由圖可知: 拋物線開口向上a>0.拋物線與y軸負半軸相交對稱軸x 在y軸右側(cè)2a二點M(a,bc)在第一象限.c 0bbc>0.答案:A.點評：本題主要考查由拋物線圖象會確定 a、b、c的符號.例3已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a W0),它們在同一坐標四象限；c>0時，直線交y軸于正半軸；當c<0直線交y軸過二、時,于負半軸；對于二次函數(shù)y= ax 2+bx+c(a豐0)來講:開口上下決定a的正負左同

13、右異(即對稱軸在y軸左側(cè)，b的符號 與a的符號相同;)來判別b的符號拋物線與y軸的正半軸或負半軸相交確定c的正負解：可用排除法，設當a>0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的開口向上，而一次函 數(shù)y= ax+c應過一、三象限，故排除C;當a<0時，用同樣方法可排除A;c決定 直線與y軸交點；也在拋物線中決定拋物線與y軸交點，本題中c相同則兩函數(shù) 圖象在y軸上有相同的交點，故排除B.答案：D.3 .二次函數(shù)的性質(zhì)例4對于反比例函數(shù)y=- 2與二次函數(shù)y=-x2+3,請說出他們的兩個相同點： ,；再說出它們的兩個不同點：，分析:本小題是個開放性題目，可以從以下幾點性質(zhì)來考慮增減性圖象的形

14、狀 最值自變量取值范圍交點等.解：相同點：圖象都是曲線,都經(jīng)過(-1,2)或都經(jīng)過(2,-1);不同點：圖象形狀不同，自變量取值范圍不同，一個有最大值，一個沒有最大值.點評:本題主要考查二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，有關(guān)函數(shù)開放性題目是近幾年命題的熱點.4 .二次函數(shù)的應用例 5 已知拋物線 y=x2+(2k+1)x- k2+k,(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個不同的交點.(2)設xi、x2是此拋物線與x軸兩個交點的橫坐標，且滿足2xi2+x 2=-2k2+2k+1.求拋物線的解析式.設點P(mi,ni)、Q(m2,n2)是拋物線上兩個不同的點，且關(guān)于此拋物線的對稱軸 對稱.求m+m的值.分析

15、：(1)欲證拋物線與x軸有兩個不同交點，可將問題轉(zhuǎn)化為證一元二次方程 有兩個不相等實數(shù)根，故令y=0,證4>0即可.(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標即是一元二次方程的根. 由根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值,可確定拋物線解析式；由P、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱得 ni=n2,由ni=mi2+mi,n2=m22+m2 得 mi2+mi=m22+m2,即(mi-m2)(mi+m2+1)=0 可求得 mi+m2= - 1.解：(1)證明：=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.-8k2+1>0,即a。, 拋物線與x軸總有兩個不同的交點.(2)由題

16、意得 x1+x2=- (2k+1), x1 -x2=-k2+k., . x12+x2 2=-2k2+2k+1,(x1+x2)2- 2x1x2=- 2k2+2k+1,即(2k+1)2- 2(- k2+k)=-2k2+k+1,4k2+4k+1+2k2- 2k= - 2k2+2k+1.二 8k2=0,k=0,.拋物線的解析式是y=x2+x.點P、Q關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱，n1=n2.又 ni=mi2+mi,i22=m 2+m2.mi2+m2=m 2+m2,即（mi- m2）（mi+m2+1）=0.P、Q是拋物上不同的點, .miwns,即 mi-m2W0.mi+m2+1=0即 mi+m2=-1.點

17、評：本題考查二次函數(shù)的圖象（即拋物線）與x軸交點的坐標與一元二次 方程根與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)經(jīng)常與一元二次方程相聯(lián)系并聯(lián)合命題是中考的 熱點 八、八、.二次函數(shù)對應練習試題一、選擇題1 .二次函數(shù)y x24x 7的頂點坐標是()A.(2, - ii)B. (2, 7)C. (2, ii)D. (2, 3)2 .把拋物線y2x2向上平移i個單位，得到的拋物線是()A. y 2(x i)2B. y 2(x i)2C. y2x2 i D. y2x2 i2.k.一 ,一 .3 .函數(shù)y kx k和y _ （k 0）在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的（）x4 .已知二次函數(shù)yax2bx c（a 0）的

18、圖象如圖所示，則下列結(jié)論：,b同號；當xi和x 3時，函數(shù)值相等；4a b 0當y 2時，x的值只能取其中正確的個數(shù)是（）A.i個B.2個C. 3D.4 個5.已知二次函數(shù)由圖象可知關(guān)于X2（）A. -1.3yax2bx c（a0）的頂點坐標（-1 , -3.2 ）及部分圖象（如圖）,x的一元二次方程aX2 bx c 0的兩個根分別是B.-2.3C.-0.3D.-3.3xi6.已知二次函數(shù)yax2 bx c的圖象如圖所示，則點（ac,bc）在（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限7.方程2x x2= 2的正根的個數(shù)為（）xA.0 個B.1 個C.2 個.8.已知拋物線過點A（2,0）,B（-1

19、,0）,與y軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為8A. y x2 x 2b.C. yx2x 2 或 yx2 x 2yx2x2D. yx2x2或 y x2x 2二、填空題9 .二次函數(shù)y x2 bx 3的對稱軸是x 2，則b10 .已知拋物線y=-2 （x+3） 2+5,如果y隨x的增大而減小，那么 x的取值范圍是 11 . 一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（一 1, 2）,當x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增 大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。12 .拋物線y 2（x 2）2 6的頂點為C,已知直線y kx 3過點C,則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面

20、積為 。13 .二次函數(shù)y 2x2 4x 1的圖象是由y 2x2 bx c的圖象向左平移1個單位，再向 下平移2個單位得到的，則b=_,c=。三、解答題：15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是14 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處 5米的地方，橋的高度是（兀取3.14）.x 3 0 ,圖象經(jīng)過（1,-6）,且與y軸的交點為（0,2）.（1）求這個二次函數(shù)的解析式(2)當x為何值時，這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當x在什么范圍內(nèi)變化時，這個函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而增大？16 .某種爆竹點燃后，其上升高度 h (米)和時間t (秒)符合關(guān)系式h=v

21、ot- 1gt2 (0<tw2),其 中重力加速度g以10米/秒2計算.這種爆竹點燃后以 v =20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？(2)在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由17 .如圖，拋物線 y x2 bx c經(jīng)過直線y x 3與坐標軸的兩個交點 A、B,此拋物線與x軸 的另一個交點為C,拋物線頂點為D.(1)求此拋物線的解析式；(2)點P為拋物線上的一個動點，求使 Sapc： Sacd 5: 4的點P的坐標。18 .紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后

22、再 進行結(jié)算，未售出的由廠家負責處理).當每噸售價為 260元時，月銷售量為 45噸.該建材店為提高經(jīng) 營利潤，準備采取降價的方式進行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增 加7.5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元.設每噸材 料售彳為x (元)，該經(jīng)銷店的月利潤為 y (元).(1)當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出 x的取值范圍)；(3)該建材店要獲得最大月利潤，售價應定為每噸多少元？(4)小靜說：“當月利潤最大時，月銷售額也最大.”你認為對嗎？請說明理由.二次函數(shù)應用題訓練1、心

23、理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力 y與提出概念所用的時間x (分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2+2.6x + 43 (0<x< 30).(1)當x在什么范圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步增強？當x在什么范 圍內(nèi)時，學生的接受能力逐步減弱？(2)第10分鐘時，學生的接受能力是多少?(3)第幾分鐘時，學生的接受能力最強?2、如圖，已知 ABC是一等腰三角形鐵板余料，其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在 ABC上截出一矩形零件 DEFG,使EF在BC上，點D、G分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少？3、如圖,AABC中,/ B=90°,AB=6cm

24、,BC=12cm.點P從點A開始，沿AB邊向點B以每 秒1cm的速度移動Q從點B開始，沿著BC邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果P,Q 同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘 PBQ的面積最大？最大面積是多少？4、如圖，一位運動員在距籃下 4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行 的水平距離為2.5米時，達到最大高度 3.5米，然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地 面的距離為3.05米.建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手 時，他跳離地面的高度是多少.5、如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的

25、籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設它的長度為x m.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應為多少m?/ / / / " /X(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應 為多少m?比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場以每件20元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量 m(件)與每件的銷售價x(元)滿足關(guān)系：m=140 2x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)對應練習試題參考答案1. A

26、2.C 3.A 4.B 5. D6.B 7. C 8. C 二、填空題、9. b10.x< -311. 如2x2 4, y 2x 4 等(答案不唯一)12. 113. -8 714. 15三、解答題15. (1)設拋物線的解析式為yax2bxc,由題意可得?-2?= -3?+?+?=-6解得a?(2) x521或-52, b3, c-x2 3x 52216. (1)由已知得,(2) x 3115 20t 210 t2,解得 t13, t2 1 當 t3時不合題意，舍去。所以當爆竹點燃后1秒離地15米(2)由題意得，h5t2 20t= 5(t 2)2 20,可知頂點的橫坐標t 2,又拋物線

27、開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升.17. (1)直線y x 如坐標軸的交點A (3, 0), B (0,-3).則9+ 3b- c= 0解得?4- 2 -c = -3c= 3所以此拋物線解析式為 y x2 2x 3. (2)拋物線的頂點 D (1, 4),與x軸的另一個交點 C(1,0).設 P(a, a22a 3)，則 &x4x|?- 2? 3|)： (2X4X4)5: 4,化簡得|?- 2? -3 |5 .當 a2 2a 3>0 時，a2 2a 3 5得a 4,a2，P (4, 5)或 P ( 2, 5)當a2 2a 3V0時，a2 2a

28、3 5即a2 2a 2 0,此方程無解.綜上所述，滿足條件的點的坐標為(4, 5)或(一2, 5).18. (1) 45 m 7.5=60 (噸). y (x 100)(45 筆? 7.5),化簡得：y3x2 315x 24000.(3) y4 x 2 315x 240003 (x 210)2 9075 .紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應定為每噸210元.(4)我認為，小靜說的不對.理由：方法一：當月利潤最大時，x為210元，而對于月銷售額W x(45 空00? 7.5)4(x 160)2 19200 來說，當x為160元時，月銷售額W最大.，當x為210元時，月銷售額W不是最大.，小靜說的不對.方法二：當月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元；而當x為200元時, 月銷售額為18000元. 17325 V 18000, 當月利潤最大時，月銷售額 W不是最大.，小靜說的不對.二次函數(shù)應用題訓練參考答案1、(1) 0<x<13, 13Vx<30; (2) 59; (3) 13.2、解：過 A 作 AMLBC 于 M,交 DG 于 N,貝U AM=，26 - 122=16cm.設 DE=x