二次函數(shù)圖像的性質(zhì)和應(yīng)用解析

1、二次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)（一）、知識點回顧【知識點一：二次函數(shù)的基本性質(zhì)】y=ax2y=ax2 + ky=a(x h)2y = a(x h)2 + ky=ax2+bx+c開口方向頂點對稱軸最值增減性【知識點二：拋物線的圖像與a、b、c關(guān)系】（1） a決定拋物線的開口方向：a>0,開口向 : a<0,開口向 （2） c決定拋物線與 的位置：c>0,圖像與y軸的交點在：c=0,圖像與y軸的交點在； c<0,圖像與y軸的交點在：（3） a, b決定拋物線對稱軸的位置，我們總結(jié)簡稱為：；（4） =b?-4ac決定拋物線與 交點情況：>。與x軸有兩個交點 =b2-4ac*

2、=0與x軸有一個交點< 0與x軸沒有交點【知識點三：二次函數(shù)的平移】設(shè)機將二次函數(shù)丁 =，戊2向右平移m個單位得到：向左平移m個單位得到：向上平移n個單位得到：向下平移n個單位得到，簡單總結(jié)為，o（注意：要用以上方法對二次函數(shù)圖象進(jìn)行平移，要先化成頂點式再操作）【知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系】二次函數(shù)y = ax2+hx + c（aO）,當(dāng)），=0時，即變?yōu)橐辉畏匠?ax2 +bx+c = 0（« 0）,從圖象上來說，二次函數(shù)y =。入二+x + cQ。0）的圖象與x軸的 交點的橫坐標(biāo)X的值就是方程+bx+c = 0（4，0）的根?！局R點五：二次函數(shù)解析式的求法

3、】（1）知拋物線三點，可以選用一般式：y = ax2+bx + c,把三點代入表達(dá)式列三元一次 方程組求解：（2）知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸、最大（?。┲悼蛇x用頂點式：y = （x-/+%：其中拋 物線頂點是（丸A）；（3）知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（40）,（4,°）可選用交點式： y = 6Z（X-X1）（X-X2）,特別：此時拋物線的對稱軸為直線 x = 5（項+9）（二）、感悟與實踐例1：（1）求二次函數(shù)y=x2-4x+l的頂點坐標(biāo)和對稱軸.（2）已知二次函數(shù)y=-2x2-8x-6,當(dāng) 時，y隨x的增大而增大：當(dāng)*=時，y有 值是.變式練習(xí)1-1：二次函數(shù)y=-x2+mx中，當(dāng)x=

4、3時，函數(shù)值最大，求其最大值.B、C、D、0 例2：已知二次函數(shù)y = «d+以+ c（wo）的圖象如圖1所示，則有:(1) a _0,b_0 ,c 0(2) b24ac 0(3) a+b+c 0(4) a-b+c0變式練習(xí)2-1：已知二次函數(shù)爐+"+。的圖象如圖2所示，其對稱軸x=-l,給出下列結(jié) 果：>4R：/>0：24+6=0；q+b+c>0：a-b+c<0,則正確的結(jié)論是（）變式練習(xí)2-2：已知二次函數(shù)y = a+以+。的圖像如圖3所示，那么一次函數(shù)y = H + c和反比例函數(shù)y4在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（CD例3： （2012廣

5、州）將二次函數(shù)j.=N的圖象向下平移一個單位，則平移以后的二次函數(shù)的解 析式為（）A. v=x2 - 1 B.尸大斗1 C.尸（x - 1） 2 D.尸（x+1）變式練習(xí)3-1： （2012泰安）將拋物線丁 = 3/向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（）B. y = 3。-2尸 +3A. y = 3（工 + 2尸 +3C. y = 3(x + 2)23D. y = 3(x-2)2-3例4：二次函數(shù)y = -/ + 2x +攵的部分圖象如圖4所示，則關(guān)于x的一元二次方程-V + 2x +攵=0的一個解/=3,另一個解&=()A、1B、-1C、-2D、0變式練

6、習(xí)5-1： (2009廣州25)如圖6,二次函數(shù)y =犬+ q (p<0)的圖象與x軸交于A B兩點,與y軸交于點C(OT), AC的面積為,(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式：二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用例1.已知拋物線)，=1 + 2工一1/ (或)，=/一2X一3) 2(1) 把它配方成y = a(x + )2+k的形式；(2)寫出拋物線的開口方向，頂點"的坐標(biāo)、對稱軸方程;(3)求函數(shù)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的自變量的值(4)當(dāng)-2<xWl時，求函數(shù)y的最值(4)當(dāng)lvxv4時，求函數(shù)y的取值范圍：(6)求出與y軸交點N的坐標(biāo)及與x軸的交點P.Q的坐標(biāo)(點P在點Q的左邊)

7、(7)作出函數(shù)的大致圖像(8當(dāng)無取何值時，函數(shù)值y隨x增大而增大，y隨x值的增大而減?。?9)圖像過點片(一2,乃)、6(0，%)、0(6, %)、。(4,以)比較%, %，為，刈 的大小(10)觀察圖象，當(dāng)x取何值時，y >0, y = 0, y <0；(11)當(dāng)x取何值時，y<2;(12)求PQM的而枳。(13)求四邊形PQMN的面積例2.已知拋物線)，=/-2依，+公+攵-2,根據(jù)下列條件，求k的值。(1) 拋物線過原點；(2) 頂點在x軸上：(3) 頂點在y軸上：(4) 頂點在y軸左側(cè)；(5)當(dāng)x=-l時，函數(shù)有最小值;(6)關(guān)于直線x=-l對稱;函數(shù)y的值恒大于0：

8、(8)頂點在x軸上方;拋物線在x軸上截得的線段長為1：8.如圖,拋物線y = 一一+以+。與x軸交與A（l,0）,B（- 3, 0）兩點,（1）求該拋物線的解析式;（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得AQAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若 不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使改y的面積最大？，若存在，求出點P的坐標(biāo)及座的面積最大值.若沒 有，請說明理由.二次函數(shù)應(yīng)用題歸類【基本思想】一、轉(zhuǎn)化思想實際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。1、方案設(shè)計最優(yōu)問題：費用最低？利潤最大？儲量最大？等等。2、面

9、積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，列出包含函 數(shù)，自變量在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，求最值問題。二、建模思想從實際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程。1、建立圖像模型：自主建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式解決實際問題。2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程或不等式轉(zhuǎn)化為二次函 數(shù)解決問題。3、根據(jù)實際問題情境抽象出二次函數(shù)模型。三、運動思想圖像上的動點問題及幾何圖形的形狀的確定。四、分類討論的思想二次函數(shù)與其他知識的綜合題時經(jīng)常用到?！咀钪档拇_定方法】1 .二次函數(shù)在沒有范圍條件下的最值:二次函數(shù)的一般式），=4/

10、+法+ C （。工0 ）化成頂點式y(tǒng) =皿+）2 +吟"，如果自變量的 取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）.2 .二次函數(shù)在有范圍條件下的最值:如果自變量的取值范圍X 工，如果頂點在自變量的取值范圍七內(nèi)，則當(dāng)如果頂點不在范圍，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性K2014年中考第23題分類匯總分析一、分段函數(shù)型1.【四月調(diào)考】某商品的進(jìn)價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件: 如果售價超過50元但不超過80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件；如果 售價超過80元后，若再漲價，則每漲1元每月少賣3件.設(shè)每件商品的售價為x元，每

11、個月 的銷售量為y件.（1）求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；（2）設(shè)每月的銷售利潤為W,請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；（3）每件商品的售價定位多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？二、與不等式結(jié)合型2.12009四月調(diào)考】某商場將進(jìn)貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個。 調(diào)查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個。（1）請寫出每月售出書包的利潤y （元）與每個書包漲價x （元）間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)某月的利潤為10000元，此利潤是否為該月的最大利潤，請說明理由:（3）請分析并回答售價在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤不低于6000元？3.某

12、商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件；如果每件商品的 售價每上漲1元，則每個月少賣2件.設(shè)每件商品的售價為x元（x為正整數(shù)），每個月的 銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍：（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）當(dāng)售價的范圍是是多少時，使得每件商品的利潤率不超過80國且每個月的利潤不低于2250 元？三、前期投入，虧損、盈利型4.12011年四月】杰瑞公司成立之初投資1500萬元購買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品，此外，生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本60元。按規(guī)定，該產(chǎn)品售價不得低于100元/件且不得超過

13、180元/件，該產(chǎn)品銷售量y （萬件）與產(chǎn)品售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖 所示。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；第一年公司是盈利還是虧損？求出當(dāng)盈利最大或者虧損最小時的產(chǎn)品售價:（3）在的前提下，即在第一年盈利最大或者虧損最小時，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價, 能否使兩年共盈利達(dá)1340萬元，若能，求出第二年產(chǎn)品售價：若不能，請說明理由。四、面積有關(guān)問題5. （2010年中考】星光中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻， 另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于增 的一邊的長為x米。（1）若平行于墻的一邊長為y米，直

14、接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍： （2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；18米苗圃園（3）當(dāng)這個苗圃園的面枳不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象, 直接寫出x的取值范圍。五、二次函數(shù)與建模（高頻型）6. R2015調(diào)考要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2. 25m的水管，在水管的 頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.，使水管頂端的坐標(biāo)為（0, 2.25）,水柱的最高點的坐標(biāo)為（1, 3）,求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）：（

15、2）如圖：在水池底而上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬 度為0.3 m,最內(nèi)軌道的半徑為rm,其上每0. 3 m的弧長上安裝一個地漏，其它軌道上的 地漏個數(shù)與最內(nèi)軌道上的個數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏，求當(dāng)r為多 少時池中安裝的地漏的個數(shù)最多？六、細(xì)節(jié)變化、陷阱題9.中百超市每天購進(jìn)一種水產(chǎn)品300千克，其進(jìn)貨成本（含運輸費）是每千克3元，根據(jù)超 市規(guī)定，這種水產(chǎn)品只能當(dāng)天銷售，并且每千克的售價不能超過10元，一天內(nèi)沒有銷售完 的水產(chǎn)品只能按2元處理給食品深加工公司，而且這種水產(chǎn)品每天的損耗率是10%,根據(jù)市 場調(diào)查這種水產(chǎn)品每天在市場上的銷售量y（單

16、位：千克，介與每千克的銷售價x（元） 之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：（1）求出每天銷售量y與每千克銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）根據(jù)題中的分析：每天銷售利潤“，最多是多少元?（3）請你直接回答：當(dāng)每千克銷售價為多少元時，每天的銷售利潤不低于960元?【鞏固練習(xí)】A組：1.二次函數(shù)y=x2-2x-6的圖象開口方向 ,頂點坐標(biāo)是,對稱軸 是:、A my = x - 4x + 2、拋物線2與x軸的一個交點的坐標(biāo)為(1,0),則它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是3、二次函數(shù)y=(x-1尸一2的圖像的對稱軸是直線.4、拋物線y=2/-bx+3的對稱軸是直線x=l,則b的值為:若拋物線y=a(x + h)2 +

17、m形狀與它一樣，則a=5拋物線y = (x 2尸+3的頂點坐標(biāo)是()A. (2, 3) B. (-2. 3) C. (2, -3)D. (-2, -3)6二次函數(shù))，=* + 1尸+ 2的最小值是().2A. 2 B. 1 C. -3 D.-37拋物線y = 2(工+小尸+( ?，是常數(shù))的頂點坐標(biāo)是()A. (2, n) B. (t, ) C. (/b-n) D. (-m,-n)8、若拋物線y = 4/+c的圖像經(jīng)過點P(m,m),則此拋物線也經(jīng)過點()A (-m, n)B (m, -n) C (n, m)D(-n, m)9、二次函數(shù)y = 3i6x + 5的圖象的頂點坐標(biāo)是()A. (-1

18、,8)B. (1,8)C. (-1,2) D. (1，-4)10、二次函數(shù)y=(x-1)2-2的圖象上最低點的坐標(biāo)是A. (-1, -2) B. (1, -2) C. (-1, 2) D. (1, 2)11、若把代數(shù)式/一2%一3化為(x ?+攵的形式，其中帆，攵為常數(shù)，則7 +攵=12、已知A、B是拋物線y = V-4x + 3上位置不同的兩點，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點A、8的坐標(biāo)可能是.(寫出一對即可)13、函數(shù)丁 = x(2 3x),當(dāng)尤為 時，函數(shù)的最大值是:914、若二次函數(shù)丁 =（加一1）/+以一2的最大值為:，則常數(shù)? =；B組：1.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺

19、，且時間與高度關(guān)系為j=x2+隊。 若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則再下列哪一個時間的高度是最高的？（）A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒D.第15秒。2拋物線），=43 + 1）（工一3）（“。0）的對稱軸是直線（）AX = 1 B. x = 1 C. x = -3D. x = 33函數(shù)y =。-2）（3 幻取得最大值時，x =.4、已知二次函數(shù)），= &/+公+ c若。c<0,則其圖象與x軸的位置關(guān)系是（）A只有一個交點 B有兩個交點C沒有交點D 交點數(shù)不確定5. （2010臺州）如圖，點X, 5的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4）,拋物線），=“（工一機）2+的

20、頂點在線段一鋁上運動，與x軸交于C、。兩點（C在。的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為-3, 則點。的橫坐標(biāo)最大值為（）A. -3B. 1C. 5D. 8第6題圖第7題圖6. 如圖，兩條拋物線y =-'/+1、刈與分別經(jīng)過點（_2,0）,（2,0）且平行22于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的而積為一7. （2010株洲）已知二次函數(shù)y = （x2+（a 1）（為常數(shù)），當(dāng)。取不同的值時，其 圖象構(gòu)成一個“拋物線系”.下圖分別是當(dāng) =一1, = 0,。= 1,。= 2時二次函數(shù)的圖 象.它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y =.二次函數(shù)應(yīng)用題練習(xí)1 .九五股份有限公司在漢口北投資新建了

21、一商場，黃有商鋪30間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間的年 租金為10萬元時，可全部租出；每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪一間，該公司要 為租出的商鋪每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元。（1）當(dāng)租金為13萬元時，能租出多少間商鋪?（2）當(dāng)每間商鋪的年租金定為多少時，該公司的年收益最大?（3）若公司要求收益不低于275萬元，則年租金定在什么范圍？2 .一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼分燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y （件）與銷售單價x （元）之間的關(guān)系：j = -10x + 500.設(shè)經(jīng)銷商每月獲得利潤為“，（元）（1）,當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少

22、元？（2）如果經(jīng)銷商想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元?（3）根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果經(jīng)銷商想要每月獲 得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3 .如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1米的處飛出（在軸上），運動員乙 在距點6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點，距地面約4米高，球落地后又一次彈 起.據(jù)實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到 原來最大高度的一半.（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式.（2）足球第一次落地點距守門員多少米？（?。?）運動員乙要搶到第二個落點，他應(yīng)再向前跑多少米？（取24不*5）4 .有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天.如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活 時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去.假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng) 銷商，按市場價收購這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算， 此后每千克活蟹的布場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費用為400元，且平 均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全