導數(shù)復習知識點總結

1、高考數(shù)學復習詳細資料導數(shù)概念與運算知識清單1 .導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在x0處有增量x ,那么函數(shù)y相應地有增量 y =f (x0+ x) f (x0),比值yy f(x°x) f(x0)x叫做函數(shù)y=f (x)在x0到x0+ x之間的平均變化率，即x=x。如果當x 0時,yx有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f (x)在點x0處的導數(shù)，記作f'(x0)或 y' x|x°limx 0y f(x°一 lim x = x 0x)xf(x0)說明:(1)函數(shù)f (x)在點x0處可導，是指x0時,x有極限。如

2、果 x不存在極限，就說函數(shù)在點x0處不可導，或說無導數(shù)。(2) x是自變量x在x0處的改變量,x 0時，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f (x)在點x0處的導數(shù)的步驟(可由學生來歸納)(1)求函數(shù)的增量 y=f (x0+ x) -f (x0)；y f(x°x) f(x0)(2)求平均變化率 x=x ;lim -y(3)取極限，得導數(shù)f ' (x= x 0 x。2 .導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點p (x0, f (x0)處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f (x)在點p (x°, f

3、(x0)處的切線的斜率是f'(x0)。相應地，切線方程為y y0=f/(x0) (x-x0)o3 .幾種常見函數(shù)的導數(shù)：nn 1 C 0； x nx ;(sinx) cosx;(cosx) sin x;XXXX1nxlOgaX- lOga e& X七 ） e，（a） a 1na; 4.兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則法則1:兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)， 、'''即：(u v) u v.法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：(uv) uv uv. '&

4、#39;''若C為常數(shù)，則(Cu) Cu Cu 0 Cu Cu .即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)：(Cu) Cu .法則3:兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母U u'v uv' 2的平萬：v =v (v 0)。形如y=f (x)的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解 求導一一回代。法則：y/ |X = y/|U J |X2010高考數(shù)學復習詳細資料 一一導數(shù)應用知識清單單調區(qū)間：一般地，設函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間可導， '如果f (x) 0,則f(x)為增函數(shù)； '如果f (x)

5、 0,則f(x)為減函數(shù)； '如果在某區(qū)間內(nèi)包有f (x) 0,則f(x)為常數(shù)；2 .極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為 0,極值點處的導數(shù)為0;曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正;3 .最值：一般地，在區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a, b上必有最大值與最小值。求函數(shù)?(x)在(a, b)內(nèi)的極值;求函數(shù)？(x)在區(qū)間端點的值？(a)、?(b)；將函數(shù)？(x)的各極值與？(a)、？(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值4 .定積分nfn)作和式 In= i=1 ( ±d)x (其中(1)概念：設函數(shù)f

6、(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，用分點a= x0<x1<<xi- 1<xi<xnb把區(qū)間a, b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi 1, xi上取任一點±i(i=1, 2,x為小區(qū)間長度)，把n-ocf|3zx-0時，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作:nb _b _lim ff(x)dx 口, f(x)dxnimf 入a ，即 a = i1( Ei)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。基本的積分公式:0dx = c；1 m 1xmd

7、x7x=m 1+ C (m C Q, m 1)；xdx = ln x + C；exdx=ex + C;x a a dx= lna +C;cosxdx= sinx+C；sin xdx=cosx+ C (表事C均為吊數(shù))。(2)定積分的性質bb' kf (x)dx k f (x)dx ，八Daa(k為常數(shù))；bbbf (x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx 0 aaa;bcb心 f(x)dx f(x)dx f(x)dx3aL ac ' '(其中 a<c< b)(3)定積分求曲邊梯形面積S由二條直線x = a, x = b （a<b）, x軸及一條

8、曲線y=f （x） （f（x）巷I竦的曲邊梯的面積求圖形的面積S=S曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC =bbf1(x)dxf2(x)dxaaoba f(x)dxo圍成，那么所如果圖形由曲線 y1 = f1(x), y2=f2(x)(不妨設 f1(x)>f2(x»,沒苴線 x=a, x=b (a<b)課前預習1.求下列函數(shù)導數(shù)y x(x2(Dy(2)(、x11)(1)、x(3)xsin 一2x cos一22x(4) y=sinx(5) y =3x2 x x 5 x2 .若曲線y4x的一條切線l與直線x4y 8 0垂直，則l的方程為（A 4x y 30 B x 4y 5 0

9、C 4x y 3 0 d x 4y3 .過點（一12,0）作拋物線y x x1的切線，則其中一條切線為（(A) 2x y2 0(B)3x y 30(C) x y 1 0(D)4 .半徑為r的圓的面積S（r）= r2,周長C（r）=2 r,若將r看作（0, 十 比的變量，則（r2）'=2 r 。 行可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作（0,+ 8止的變量，請你寫出類似于夢可以用語言敘述為:1y25 .曲線 x和y x在它們交點處的兩條切線與X軸所圍成的三角形面積是6 .對于R上可導的任意函數(shù)f （x）,若滿足（x1） f（X）0,則必有（）A

10、. f (0) +f (2) 2f (1)B. f (0) +f (2) 2f (1)C. f (0) +f (2)2f (1)D. f (0) +f (2)2f (1)7.函數(shù)f（x）的定義域為開區(qū)問（a，b）,導函數(shù)f（X）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)問（a,b）內(nèi)有極小值點（A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個1 x axf x Z e8 .已知函數(shù)1 x 。(1)設2 0,討論y f x的單調性；(H)若對任意x0，1 恒有 fx 1,求a的取值范圍。9 . f(x) x3 3x2 2在區(qū)間1,1上的最大值是(A) 2(B)0(C)2(D)410 .設函數(shù)f(

11、x)= 2x 3(a 1)x表其中a(I )求f(x)的單調區(qū)間;(H )討論f(x)的極值。311 .設函數(shù)f(x) x 3x 2分別在為、內(nèi)處取得極小值、極大值.X0y平面上點A B的坐標分別為uuu uuu(XJU)、(x2,f(x2),該平面上動點P滿足pa?pb 4,點Q是點P關于直線y 2(x4)的對稱點.求(I)求點A、B的坐標;(II)求動點Q的軌跡方程.12 .請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為 1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為 3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點。到底面中心o1的距離為多少時，帳篷的體積最大?13 .計算下列定積分的值(D(2)3121，2

12、、,(4x x )dx(x 1)5dx；(3)2 (x sin x)dx0 ；(4)2 cos2 xdx214. (1) 一物體按規(guī)律x = bt3作直線運動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方.試求物體由x = 0運動到x = a時，阻力所作的功。(2)拋物線y=ax2 + bx在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相切.此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達到最大值的a、b值，并求Smax.典型例題導數(shù)的概念與運算EG:如果質點A按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3 s時的瞬時速度為（）A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s變式：定義在D上的函數(shù)f（

13、x）,如果滿足：x D,常數(shù)M 0,都有1f （x）|WM成立，則稱“幻是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.C10，）上的每一時刻的瞬時速度是以S（t） at【文】（1）若已知質點的運動方程為 t 1）上的每一時刻的瞬時速度是M=1為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【理】（2）若已知質點的運動方程為Sat,要使在t 0,以M=1為上界的有界函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍.f(x) 1,則 limf(2 x) "2)EG:已知 x x 0 x 的值是()11A. 4B. 2 C. 4 D. -2設f 34,則lim f 3 h一色為變式 1：h 0 2h()A. - 1 B . -

14、 2 C. -3 D. 1設f x在x0可導，則lim n一xf x0 3 x等于變式2:x 0xA. 2f x0 b.f x0C 3f x0 D 4f x0變式:A. 0B. 0C. 0D. 0根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較曲線h在t。1, t2附近得變化情況。函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）f/(2) f/(3) f(3) f(2)f/(3) f(3) f(2) f/(2)f/(3) f/(2) f(3) f(2) f(3) f(2) f/(2) f/(3)EG:求所給函數(shù)的導數(shù):(文科)y x3 log2x; y xnex; y sinx(理科)y (x 1)99; y 2e

15、x; y 2xsin 2x 5 o變式：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f (x)g(x) f(x)g(x)>0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)<0的解集是A. (-3,0)U(3,+ oo)B. (-3,0)U (0, 3)C. (-00- 3)U(3,+ 00)d. (-oo- 3) u (0, 3)EG:已知函數(shù)y xlnx.(1)求這個函數(shù)的導數(shù)；(2)求這個函數(shù)在點x 1處的切線的方程.x變式1:已知函數(shù)y e.(1)求這個函數(shù)在點x e處的切線的方程；(2)過原點作曲線y = ex的切線，求切線的方程.變式2:函數(shù)y =

16、 ax2+1的圖象與直線y=x相切，則a=()111A. 8 B. 4 C. 2 D. 1EG:判斷下列函數(shù)的單調性，并求出單調區(qū)問： 32(1)f (x) x3 3x; (2) f(x) x2 2x 3; f (x) sin x x,x (0,); 32(4) f(x) 2x3 3x2 24x 1.變式1:函數(shù)f(x) x e x的一個單調遞增區(qū)間是A. 1,0 B. 2,8 C. 1,2 D. 0,21 32y - x x ax 5變式2:已知函數(shù)3(1)若函數(shù)的單調遞減區(qū)間是(-3, 1),則a的是(2)若函數(shù)在1,)上是單調增函數(shù)，則a的取值范圍是變式3:設t 0,點P (t,0)是函

17、數(shù)f(x) x3 ax與g(x) bx2 c的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.(I )用 t表示 a, b, c；(R)若函數(shù)y f(x) g(x)在(一1, 3)上單調遞減，求t的取值范圍.1 3f (x) -x 4x 4EG:求函數(shù) f msin f 1 m 0 0的極值.1 3,f (x) x 4x 4求函數(shù) 3在0,3上的最大值與最小值.變式1:函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點()y f 4x)bOxA. 1個B. 2個C. 3個D. 4個y f'(x)的圖象經(jīng)

18、過點(1,0),3,2變式2:已知函數(shù)f(x) ax bxcx在點x0處取得極大值5,其導函數(shù)(2,0),如圖所示.求:(I) x0 的值；(n )a,b,c的值.變式3:若函數(shù)f(x)3ax bx 4,當x 2時，函數(shù)f(x)極值(1)求函數(shù)的解析式;(2)若函數(shù)f(x) k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍.f (x)變式4:已知函數(shù)2xc，對x 一1,2，不等式f (x) c2包成立，求c的取值范圍。EG:利用函數(shù)的單調性,證明:ln xex, x 0變式1六ln x變式2:(理科)設函數(shù)f(x)=(1+x)2 ln(1+x)2.若關于x的方程f(x)=x2+x+a在0, 2上恰好有兩個相異的

19、實根，求實數(shù)a的取值范圍.32EG:函數(shù)f(x) x 3xx R，若fmx f 1 mx 0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍22.變式2:如圖，曲線段OMB是函數(shù)f (x) x (0 x 6)的圖象,BA x軸于點A,曲線段OMB上一點M(t，t )處的切線PQ交x軸于點P交線段AB于點Q,若t已知，求切線PQ的方程 求QAP的面積的最大值變式3:用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大的容積是多少？c(x) 1200 x3變式4:某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本75 (萬元)，

20、已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少時總利潤最大？EG:計算下列定積分：(理科定積分、微積分) 1 1dx; (2) 1 (2x 4)dx; 0 sin xdx; xx“22(4) sin xdx; (5) o sin xdx變式1:計算：；二4 x20dx2 cos2x , 2dx(1) 0 cosx sin x 2 變式2:求將拋物線y x和直線x 1圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到的幾何體的體積.12變式3:在曲線y x x 0上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為12,試求：(1) 切點A的坐標；(2)在切點A的切線方程.實戰(zhàn)

21、訓練1 .設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導函數(shù) y=f (x)的圖象可能為()(A)(C)(D)2 .已知曲線S:y=3x x3及點P(2, 2),則過點P可向S引切線的條數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)323 . C設S上的切點(x0,y0)求導數(shù)得斜率，過點P可求得：(x0 1)(x0 2)0.).(D)(2 ,3 )4 .函數(shù)y xcosx sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(33 5(A)(-，)(0( ，)2 2(B)( ,2 )2 25 . y=2x33x2+a的極大值為6,那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1(A)1, -16 .函數(shù)

22、f(x)=x3 3x+1在閉區(qū)間-3, 0上的最大值、最小值分別是()(B)3, -17(C)1, 17(D)9, 197 .設l1為曲線y1=sinx在點(0, 0)處的切線，l2為曲線y2=cosx在點(2 ,0)處的切線，則l1與l2的夾角為.8 .設函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx 1,若當x=1時，有極值為1,則函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的單調遞減區(qū)間為y -x 29 . (07湖北)已知函數(shù)y f(x)的圖象在點M(1, f(1)處的切線方程是2,則ff310 . (07湖南)函數(shù)f(x) 12x 。時()Af (x) 0, g (x) 0Cf (x) 0, g(x) 0在

23、區(qū)間33上的最小值是3211 . ( 07浙江)曲線y x 2x 4x 2在點(1，3)處的切線方程是 9 .已知函數(shù)一,、32. ,._、f (x) x ax b(a, b R)(i)若函數(shù)f(x)圖像上任意一點處的切線的斜率小于1,求證：V3 a 向；(r)若x 0,1,函數(shù)y f(x)圖像上任意一點處的切線的斜率為k,試討論k 01的充要條件。12 . (07 安徽)設函數(shù) f (x) =-cos2x-4tsin2 cos2+4t2+t2-3t+4,xC R,其中 t <3,將 f(x)的最小值記為 g(t).(I)求g(t)的表達式；(H)詩論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調性

24、并求極值.實戰(zhàn)訓練B1. (07 福建)已知對任意實數(shù) x,有 f( x)f(x), g( x) g(x),且 x 0 時，f(x) 0, g (x) 0,則Bf (x) 0, g (x) 0Df (x) 0, g(x) 02.(07海南)曲線y1-xe2在點(4,e)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(9 2 e A. 2C. 2e23. (07海南)x曲線y e在點2、(2, e)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為(9 2-e A. 4B. 2e22 eD,萬4. (07江蘇)已知二次函數(shù)f (x) ax2 bxc的導數(shù)為f'(x)f '(0) 0對于任意實數(shù)x都有f (x) 0,f則f '(0)的最小值為(A.5B. 2D