高考數(shù)學(xué)二輪增分策略：第4篇第6講《解析幾何(含答案)

1、6解析幾何1直線的傾斜角與斜率(1)傾斜角的范圍為0，)(2)直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即ktan (90°)；傾斜角為90°的直線沒(méi)有斜率；斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為k(x1x2)；直線的方向向量a(1，k)；應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：kABkBC.問(wèn)題1(1)直線的傾斜角越大，斜率k就越大，這種說(shuō)法正確嗎？(2)直線xcos y20的傾斜角的范圍是_2直線的方程(1)點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為yy0k(xx0)，它不包括垂直于x軸的直線(

2、2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為ykxb，它不包括垂直于x軸的直線(3)兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為1，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線(5)一般式：任何直線均可寫成AxByC0(A，B不同時(shí)為0)的形式問(wèn)題2已知直線過(guò)點(diǎn)P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_3點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線AxByC0的距離為d；(2)兩平行線l1：AxByC10，l2：AxByC

3、20間的距離為d.問(wèn)題3兩平行直線3x2y50與6x4y50間的距離為_4兩直線的平行與垂直(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1l2k1k2；l1l2k1·k21.(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則有l(wèi)1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.特別提醒：(1)、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件；(2)在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線問(wèn)題4設(shè)直線l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，當(dāng)m

4、_時(shí)，l1l2；當(dāng)m_時(shí)，l1l2；當(dāng)_時(shí)l1與l2相交；當(dāng)m_時(shí)，l1與l2重合5圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，只有當(dāng)D2E24F>0時(shí)，方程x2y2DxEyF0才表示圓心為(，)，半徑為的圓問(wèn)題5若方程a2x2(a2)y22axa0表示圓，則a_.6直線、圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系直線l：AxByC0和圓C：(xa)2(yb)2r2(r>0)有相交、相離、相切可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷：代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：>0相交；<0相離；0相

5、切；幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r相交；d>r相離；dr相切(2)圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則當(dāng)|O1O2|>r1r2時(shí)，兩圓外離；當(dāng)|O1O2|r1r2時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|r1r2|<|O1O2|<r1r2時(shí)，兩圓相交；當(dāng)|O1O2|r1r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)0|O1O2|<|r1r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含問(wèn)題6雙曲線1的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為_7對(duì)圓錐曲線的定義要做到“咬文嚼字”，抓住關(guān)

6、鍵詞，例如橢圓中定長(zhǎng)大于定點(diǎn)之間的距離，雙曲線定義中是到兩定點(diǎn)距離之差的“絕對(duì)值”，否則只是雙曲線的其中一支在拋物線的定義中必須注意條件：FD/l，否則定點(diǎn)的軌跡可能是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線問(wèn)題7已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(0,1)，B(0，1)，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A、B的距離之和為4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是_8求橢圓、雙曲線及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步驟，即先確定焦點(diǎn)的位置，再設(shè)出其方程，求出待定系數(shù)(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上，1(a>b>0)；焦點(diǎn)在y軸上，1(a>b>0)(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上，1(a>0，b>

7、0)；焦點(diǎn)在y軸上，1(a>0，b>0)(3)與雙曲線1具有共同漸近線的雙曲線系為(0)(4)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：y2±2px(p>0)；焦點(diǎn)在y軸上：x2±2py(p>0)問(wèn)題8與雙曲線1有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(3,2)的雙曲線方程為_9(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時(shí)相交；無(wú)解時(shí)相離；有唯一解時(shí)，在橢圓中相切在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對(duì)稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切(2)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題斜率為k的直線與圓錐曲

8、線交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長(zhǎng)|P1P2|或|P1P2|.(3)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于C(x1，y1)、D(x2，y2)，則焦半徑|CF|x1；弦長(zhǎng)|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.問(wèn)題9已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為_易錯(cuò)點(diǎn)1直線的傾斜角與斜率關(guān)系不清例1已知點(diǎn)P在曲線y上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)：一是利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范圍

9、；二是混淆直線傾斜角的取值范圍以及直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，不能求出傾斜角的取值范圍解析設(shè)曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則ky，因?yàn)閑x0，所以由基本不等式，得k又k0，所以1k0，即1tan 0.所以.答案，)易錯(cuò)點(diǎn)2忽視直線的特殊位置例2已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20.求使l1l2的a的值錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的問(wèn)題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a0的情況解當(dāng)直線斜率不存在，即a0時(shí)，有l(wèi)1：3x50，l2：x20，符合l1l2；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，l1l2a，經(jīng)檢驗(yàn)，a符合題意故使l1l2的a的值為或0.易錯(cuò)點(diǎn)3焦點(diǎn)位置考慮不全例3已知橢圓1的離心率等于，則m_

10、.錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的問(wèn)題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上導(dǎo)致漏解該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒(méi)有確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，所以應(yīng)該根據(jù)其焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論解析當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則由方程，得a24，即a2.又e，所以c，mb2a2c222()21.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為1.則由方程，得b24，即b2.又e，故，解得，即a2b，所以a4.故ma216.綜上，m1或16.答案1或16易錯(cuò)點(diǎn)4忽視“判別式”致誤例4已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由錯(cuò)因分析只利

11、用根與系數(shù)的關(guān)系考慮中點(diǎn)坐標(biāo)，而忽視直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)的條件解設(shè)被A(1,1)所平分的弦所在直線方程為yk(x1)1.代入雙曲線方程x21，整理得，(2k2)x22k(k1)x32kk20，由4k2(k1)24(2k2)(2k3k2)>0，解得k<.設(shè)直線與雙曲線交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，點(diǎn)A(1,1)是弦中點(diǎn)，則1.1，解得k2>，故不存在被點(diǎn)A(1,1)平分的弦易錯(cuò)點(diǎn)5求離心率范圍忽視特殊情況例5雙曲線1 (a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|2|PF2|，則雙曲線離心率的取

12、值范圍為_錯(cuò)因分析忽視P為雙曲線右頂點(diǎn)的情況，導(dǎo)致離心率范圍縮小解析設(shè)|PF2|m，F(xiàn)1PF2 (0<)，當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處時(shí)，.e3.當(dāng)時(shí)，由條件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1<cos <1，所以e(1,3)綜上，e(1,3答案(1,3易錯(cuò)點(diǎn)6定點(diǎn)問(wèn)題意義不明例6已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條相互垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)錯(cuò)因分析直線恒過(guò)定點(diǎn)是指無(wú)論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問(wèn)題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來(lái)，無(wú)論

13、參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解本題容易出錯(cuò)的地方有兩個(gè)：一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤；二是在得到了直線系MN的方程后，對(duì)直線恒過(guò)定點(diǎn)的意義不明，找錯(cuò)方程的常數(shù)解證明由題設(shè)，知F(1,0)，直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)lAB：yk(x1)(k0)，代入y24x，得k2x22(k22)xk20，得xM，又yMk(xM1)，故M(，)因?yàn)镃DAB，所以kCD.以代k，同理，可得N(2k21，2k)所以直線MN的方程為(2k21)(y2k)(2k)(x2k21)，化簡(jiǎn)整理，得yk2(x3)ky0，該方程對(duì)任意k恒成立，故解得故不論k為何值，直線MN恒過(guò)點(diǎn)(3,0)1(2014

14、3;安徽)過(guò)點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.2(2014·廣東)若實(shí)數(shù)k滿足0<k<9，則曲線1與曲線1的()A焦距相等 B實(shí)半軸長(zhǎng)相等C虛半軸長(zhǎng)相等 D離心率相等3(2015·天津模擬)已知拋物線C的方程為y28x，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|等于()A2 B4C6 D84若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與圓(x2)2y22相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是()A(2，) B(1,2)C(1，) D(，)5

15、已知點(diǎn)F1、F2是橢圓x22y22的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D26(2014·課標(biāo)全國(guó))已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4，則|QF|等于()A. B. C3 D27在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_8拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，AKl，垂足為K，若|BC|2|BF|，

16、且|AF|4，則AKF的面積是_9(2015·蘭州、張掖聯(lián)考)如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程是_10過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F向其一條漸近線作垂線，垂足為M，已知MFO30°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為_11已知點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，過(guò)點(diǎn)A作直線l與以A，B為焦點(diǎn)的橢圓交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2y21相切，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_學(xué)生用書答案精析6解析幾何要點(diǎn)回扣問(wèn)題1(1)錯(cuò)(2)0，)

17、問(wèn)題25xy0或xy60問(wèn)題3問(wèn)題41m3且m13問(wèn)題51問(wèn)題6內(nèi)切問(wèn)題71問(wèn)題81問(wèn)題9解析|AF|BF|xAxB3，xAxB.線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.查缺補(bǔ)漏1D方法一如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.由題意知|OP|2，|OA|1，則sin ，所以，BPA.故直線l的傾斜角的取值范圍是.方法二設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為yk(x)1，則由直線和圓有公共點(diǎn)知1.解得0k.故直線l的傾斜角的取值范圍是0，2A因?yàn)?<k<9，所以兩條曲線都表示雙曲線雙曲線1的實(shí)半軸長(zhǎng)為5，虛半軸長(zhǎng)為，焦距為22，離心率為.雙曲線1的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為3，焦距為22，離心率為，故兩曲

18、線只有焦距相等故選A.3D設(shè)P(x0，y0)，直線AF的傾斜角為，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)B，由題意知，F(xiàn)(2,0)，直線l：x2.又tan ，AFB，|BF|4，|AB|4，即A(2,4)PAl，P(x0，4)，代入y28x得x06，|PF|x028.4C雙曲線的漸近線為bx±ay0，因?yàn)樗c圓(x2)2y20相交，所以圓心(2,0)到該直線的距離小于圓的半徑，即<，整理得b2<a2，所以c2a2<a2，得<2，所以1<e<.5C設(shè)P(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)(2x0，2y0)，|22，點(diǎn)P在橢圓上，0y1.當(dāng)y1時(shí)，|取最小值為2.6C4，|4|，.如圖，過(guò)Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|4，|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ|QF|3，故選C.7.解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21，圓心為(4,0)由