極限存在準(zhǔn)則、兩個重要極限課件

1、一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限下頁首頁解解由夾逼定理得由夾逼定理得例例1 1nnnn321lim求求3)300()321 (11nnnnnnnnnnnnn33)333()321 (11333limnn原式原式 而而 下頁上頁首頁例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222

2、 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnnnnnnn2221211lim1.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnnnzyzy注意注意: :準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A.

3、.準(zhǔn)則準(zhǔn)則 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.下頁上頁首頁2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.下頁上頁首頁例例2 2nnxxx2,211設(shè)), 2 , 1(nnnxlim，證明 存在并求此極限； 解:1n當(dāng)時221x2kx,設(shè)， 則 22221kkxx112222xxkkxx111222kkkkxxxxnxAxnnlim02 Annnnxx2limlim1AA22A 又設(shè)， 則 單增有上界，從而必有極限。 設(shè)， 則 由

4、得 下頁上頁首頁( P57 , 題 4 (3) )AC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 下頁上頁首頁,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0

5、 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx下頁上頁首頁例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 下頁上頁首頁例4 求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00解1cos1limsinlim00 xxxxx(2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(lim)71828. 2( ettxxtx)11(lim)1(lim10 . e ,1xt 令令exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx

6、求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 下頁上頁首頁三、小結(jié)1.兩個準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 下頁上頁首頁思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 下頁上頁首頁思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e下頁

7、上頁首頁._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arc下頁上頁首頁xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、下頁上頁首頁 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .下頁上頁首頁一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1 1； 4 4、3