極限的四則運(yùn)算(1)課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 極限的四則運(yùn)算極限的四則運(yùn)算如果如果,)(limAxf ,)(limBxg 則則.)()(limBAxgxf 如果如果,)(limAxf ,)(limBxg 則則BAxgxf )()(lim如果如果,)(limAxf , 0)(lim Bxg則則.)()(limBAxgxf 此時(shí)此時(shí))()()(BAxgxf )()(BxgAxf BxgAxf )()(22 故故 對(duì)對(duì), 0 )()()(BAxgxf 所以命題成立所以命題成立.因因,)(lim0Axfxx ,)(lim0Bxgxx 所以所以 對(duì)對(duì), 0 證證2)( Axf2)( Bxg同時(shí)成立同時(shí)成立總總, 0 當(dāng)當(dāng) 00 xx時(shí)

2、時(shí),與與總總, 0 當(dāng)當(dāng) 00 xx時(shí)時(shí),恒成立恒成立推論推論1 常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限符號(hào)外面,即即)(lim)(limxfcxcf 推論推論2 如果如果m是與極限變量是與極限變量x無關(guān)的正整數(shù)無關(guān)的正整數(shù),則則mmxfxf)(lim)(lim mmxfxf11)(lim)(lim 各種類型極限求法各種類型極限求法:時(shí)時(shí)的的極極限限多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在. 10 xx 例例1 求求).123(lim21 xxx解解 原式原式213lim xx xx2lim1 1lim1 x21lim3xx xx1lim2 1lim1 x21)lim(3xx xx1lim2 1lim1 x

3、112132 . 2 注注 求極限時(shí)直接代入求極限時(shí)直接代入.2.分母極限不為零的分式的極限分母極限不為零的分式的極限例例2 求求.313lim22 xxxx解解原式原式因因0132)3(lim2 xx)3(lim)13(lim222 xxxxx11 . 1 注注分子極限除以分母極限分子極限除以分母極限.故故3.分母極限為零而分子極限不為零的分式的極限分母極限為零而分子極限不為零的分式的極限例例3 求求解解因因033)3(lim3 xx.313lim23 xxxx又又11333)13(lim223 xxx0 所以所以133lim23 xxxx010 故故. 原式原式注注 此種類型的極限以后不要

4、過程此種類型的極限以后不要過程,直接為直接為. 4.分母、分子極限全為零的分式的極限分母、分子極限全為零的分式的極限例例4 求求.965lim223 xxxx解解原式原式)3)(3()2)(3(lim3 xxxxx32lim3 xxx.61 例例5 求求.11lim1 xxx解解 原式原式)1)(1(1lim1 xxxx11lim1 xx.21 原式原式)1)(1()1)(1(lim1 xxxxx11lim1 xx.21 注注:(1)00型型.(2)此種極限求解時(shí)此種極限求解時(shí),分子分母分解因式分子分母分解因式帶根號(hào)將根號(hào)有理化帶根號(hào)將根號(hào)有理化.此種類型為此種類型為約去公因子約去公因子.既使

5、不是既使不是00型型, 只要分子只要分子分母中有公因子分母中有公因子,一般的處理方法也是一般的處理方法也是將公因子先約去然后再計(jì)算將公因子先約去然后再計(jì)算.(3)例例6 求求).1211(lim21 xxx解解原式原式12)1(lim21 xxx11lim21 xxx)1)(1(1lim1 xxxx11lim1 xx.21 注注(1) 型型.(2)做法做法:通分合并變成一個(gè)分式通分合并變成一個(gè)分式.(3)新分式新分式 一定為一定為 00型型.)(. 5 其其中中每每一一部部分分均均為為函函數(shù)數(shù)相相減減求求極極限限例例7求求).1(limxxx 解解原式原式)1()1)(1(limxxxxxxx

6、 xxx 11lim. 0 多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的極極限限時(shí)時(shí)多多項(xiàng)項(xiàng)式式 /. 6 x例例8.243132lim232 xxxxx求求解解原式原式)243/()132(lim332xxxxxx . 0 例例9.5243lim334xxxxx 求求解解原式原式)15/()243(lim34xxxxx . 例例10.243132lim233 xxxxx求求解解 原式原式)243/()132(lim332xxxxx .32 注注mmmnnnxbxbxbaxaxa 110110lim 0mn mn mn 00ba7.分段函數(shù)求極限分段函數(shù)求極限例例11 已知已知 )(xf1 xe2211xxx 0 x0

7、x求求).(lim),(lim0 xfxfxx 解解)(lim0 xfx 22011limxxxx 1 )(lim0 xfx )1(lim0 xxe0 故故)(lim0 xfx不存在不存在.)(limxfx2211limxxxx 1 )(limxfx)1(lim xxe1 故故)(limxfx . 1 練習(xí)練習(xí)1設(shè)設(shè) )(xf23 x0 x12 x10 xx2x 1分別討論分別討論10 xx及及時(shí)的極限時(shí)的極限. xxxxnnnnnxf lim nnxxxf211lim練習(xí)練習(xí)2:求出下列函數(shù)的具體表達(dá)式.(1)(2)1lim)(nxnxneBAexfnnnnnxxxxxf32lim)(3)(

8、4)0(x xxxxnnnnnxf lim(1)解0 x時(shí)xxnnnxf2211lim)(11111lim22xxnnn0 x時(shí)0)(xf0 x時(shí) 11lim22xxnnnxf11111lim22xxnnn 11lim22xxnnnxf所以010001)(xxxxf(2) nnxxxf211lim解1x時(shí) xxf11x時(shí) 0 xf1x1x時(shí)時(shí) 1xf 0 xf所以101111110)(xxxxxxf解0 x時(shí)0 x時(shí)2)(BAxf0 x時(shí)1lim)(nxnxneBAexf(3)AeeBAxfnxnxn11lim)(Bxf)(所以0020)(xBxBAxAxf(4)解1x時(shí) 2xf1x時(shí) 31x

9、f1x時(shí) 41xfnnnnnxxxxxf32lim)()0(xnnnxxxf22312lim)(所以)(xf1x4121x1x31例例12 求求.)1(12437325213lim22222222 nnnn解解 原式原式)4131()3121()2111(lim222222 n )1(11 lim2 nn. 1)1(11(22 nn例例13 求求).3191311(limnn 解解原式原式311)31(1lim1 nn.23求求例例141 x時(shí)時(shí),)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn 解解 原式原式xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242xxxxxnn 1)1

10、()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x 例例15求求).11()411)(311)(211(lim2222nn 解解 原式原式)11)(11()311)(311)(211)(211(limnnn )11()3432)(2321(limnnnnn nnn121lim .21 9.雜例雜例例例16 設(shè)設(shè))(lim1xfx存在存在,)(lim23)(12xfxxxfx 求求).(xf解解令令)(lim1xfxA 將將)(lim23)(12xfxxxfx 兩邊求極限兩邊求極限得得)(lim2lim)3(lim)(lim11211xfxx

11、xfxxxx 即即AA23 故故3 A從而從而.63)(2xxxf 例例17 設(shè)設(shè), 31lim21 xbaxxx求求ba,的值的值.解解因因)1(lim1 xx0 31lim21 xbaxxx所以所以0)(lim21 baxxx故故01 ba將將ab 1代入原式代入原式11lim21 xaaxxx得得31)1)(1(lim1 xaxxx從而從而32 a故故1 a. 2 b時(shí)時(shí)的的極極限限多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在0. 1xx 2.分母極限不為零的分式的極限分母極限不為零的分式的極限3.分母極限為零而分子極限不為零的分式的極限分母極限為零而分子極限不為零的分式的極限4.分母、分子極限全為零的分式的極限分母、分子極限全為零的分式的極限)(. 5 其其中中每每一一部部分分均均為為函函數(shù)數(shù)相相減減求求極