格林公式及其應(yīng)用(16)課件

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束第三節(jié)第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 二、格林公式簡單應(yīng)用二、格林公式簡單應(yīng)用四、小結(jié)四、小結(jié)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束引言引言牛牛萊公式：萊公式：)()()(aFbFdxxFba 特點(diǎn)特點(diǎn)： .)(,)(來來表表達(dá)達(dá)在在這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間端端點(diǎn)點(diǎn)上上的的值值原原函函數(shù)數(shù)上上的的定定積積分分可可通通過過它它的的在在區(qū)區(qū)間間xFbaxF 格林公式格林公式特點(diǎn)特點(diǎn)：在平面閉區(qū)域在平面閉區(qū)域D上的二重積

2、分可通過沿閉區(qū)域上的二重積分可通過沿閉區(qū)域D的邊界曲線的邊界曲線L上的曲線積分來表達(dá)上的曲線積分來表達(dá). .兩者共性兩者共性（實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)）：）：把把內(nèi)部內(nèi)部問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為邊界邊界問題來處理問題來處理. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束LD區(qū)域區(qū)域 D 分類分類單單連通區(qū)域連通區(qū)域 ( 無無“洞洞”區(qū)域區(qū)域 )多多(復(fù)復(fù))連通區(qū)域連通區(qū)域 ( 有有“洞洞”區(qū)區(qū)域域 )域域 D 邊界邊界L 的的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左【定理定理1】 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向曲線正向曲線 L 圍成圍成,則有則有, ),(yxP),(yxQ LDyQx

3、PyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、一、 格林公式格林公式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意】1. .積分曲線積分曲線L必須是必須是封閉封閉曲線，取曲線，取D的正向邊界的正向邊界. .2. . . ,續(xù)偏導(dǎo)數(shù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)及其邊界上具有一階連及其邊界上具有一階連在區(qū)域在區(qū)域DQP（三條缺一不可）（三條缺一不可）3. .D可為可為單單連通域，也可為連通域，也可為復(fù)復(fù)連通域；連通域；當(dāng)當(dāng)D為復(fù)連通域時(shí)，為復(fù)連通域時(shí)，L包括包括D的所有正向邊界的所有正向邊界. .機(jī)動(dòng)

4、機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束推論推論: 正向閉曲線正向閉曲線 L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積 LxyyxAdd21格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓橢圓 20,sincos: byaxL所圍面積所圍面積 LxyyxAdd21 2022d)sincos(21ababab 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束二、格林公式簡單應(yīng)用二、格林公式簡單應(yīng)用【例【例1】設(shè)設(shè) L 是分段光滑的閉曲線是分段光滑的閉曲線, 證明證明0dd22 yxxyxL【證證】 令令,22xQyxP 則則yPxQ 利用格林公式利用格林公式

5、, 得得yxxyxLdd22 022 xx Dyxdd00 1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分BOABOAL xyoLABD LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L 為上半為上半24xxy 從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0).【解解】 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AO它與它與L 所圍所圍圓周圓周區(qū)域?yàn)閰^(qū)域?yàn)镈 , 則則【例【例3】計(jì)算】計(jì)算yAxoLD原式原

6、式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx3648 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束,dd2 Dyyxe其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形閉域 . 【解解】 令令, 則則2, 0yexQP yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 有有 Dyyxedd2 Dyyexd2yexOAyd2 yeyyd102 )1(211 exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye 有多種取法有多種取法, ,則選最簡單的則選最簡單的2. 簡化二重積

7、分簡化二重積分【例【例4】 計(jì)算計(jì)算機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束,dd22 Lyxxyyx其中其中L L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線的分段光滑正向閉曲線. .【解】【解】令令22222)(yxxyxQ 設(shè)設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)镈, ,)0 , 0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)D 由格林公式知由格林公式知0dd22 Lyxxyyx,22yxyP 22yxxQ yP yxoL【例【例5】計(jì)算計(jì)算,)0 , 0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)D 由于由于P,Q在在 (0,0)點(diǎn)無定義，不滿足格林公式條件點(diǎn)無定義，不滿足格林公式條件機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

8、 結(jié)束結(jié)束記記 L 和和 l 所圍的區(qū)域?yàn)樗鶉膮^(qū)域?yàn)?, dsincos2022222 rrr 2 在在D 內(nèi)作圓周內(nèi)作圓周,:222ryxl 取逆時(shí)取逆時(shí)針方向，針方向，1D對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域1D應(yīng)用格應(yīng)用格林公式林公式 得得 Lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd lLyxxyyx22dd lLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx為了使用格林公式為了使用格林公式 1)(DdxdyyPxQ. 0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 LDydxxdydxdy23. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【

9、解解】 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件 1LQdyPdx 2LQdyPdx Gyxo1L2LBA等等式式的的任任意意兩兩條條曲曲線線到到點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)以以及及內(nèi)內(nèi)任任意意指指定定的的兩兩個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)定定義義：如如果果對(duì)對(duì)于于, ,21LLBAGBAG機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【定理定理2

10、】 設(shè)設(shè)D 是是單連通域單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿D 中中任意光滑閉曲線任意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQxP(2) 對(duì)對(duì)D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP LyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)則以下四個(gè)條件等價(jià):在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回

11、返回 結(jié)束結(jié)束根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),xQyP 則則2) 求曲線積分時(shí)求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡化計(jì)算可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求可用積分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):Dyx ),(00及動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn),),(Dyx yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為 yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可可添加輔助線添加輔助線;取定點(diǎn)取定點(diǎn)

12、1) 計(jì)算曲線積分時(shí)計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;yx),(yx【說明】【說明】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例7】【解解】,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 10100ydydx.21 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束yyxxyxdd22 是某個(gè)函數(shù)的全微分是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求并求出這個(gè)函數(shù)出這個(gè)函數(shù). 【解解】,22yxQyxP 則則xQyxyP 2由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxud

13、dd22 ),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02 yyxyd02 2221yx 利用曲線積分與路徑無關(guān)利用曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)設(shè)【注注】所取起點(diǎn)不同，所所取起點(diǎn)不同，所求函數(shù)的最后結(jié)果求函數(shù)的最后結(jié)果中的常數(shù)可能不同中的常數(shù)可能不同. .【例【例8】驗(yàn)證驗(yàn)證機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【解解 】 不定積分法不定積分法(求原函數(shù)的方法求原函數(shù)的方法)由于由于ydyxdxxydu22 故故(1) 2xyxu (2) 2yxyu 由由(1)式得式得)(2222yyxdxxyu )(為為待待

14、定定函函數(shù)數(shù)y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得)(2yyxyu 結(jié)合結(jié)合(2)式得式得yxyyx22)( Cyy )( 0)( Cyxyxu 2),( 22機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束22ddyxxyyx 在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 【證證】 令令2222,yxxQyxyP 則則)0()(22222 xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù) ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxyoxy yyxyx022d)0 ,( x)0 , 1(),(yx【例

15、【例9】驗(yàn)證】驗(yàn)證機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束oxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1(y)0(arctan xxy還可用不定積分法還可用不定積分法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【解解】【例【例10】 Lxxdymxyedxmyye)cos()sin（求求.,0),cos1(),sin(:增增加加的的方方向向tttayttaxL myexQx cosxP Lxxdymxyedxmyye)cos()sin（ABOAxxdymxyedxmyye)cos()sin（aadymaye20)cos(.sin222maaea如圖如圖與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束四、小結(jié)四、小結(jié)1. 格林公式格林公式 LyQxPdd2. 等價(jià)條件等價(jià)條件在在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ 在在 D 內(nèi)有內(nèi)有yQxPuddd DyxyPxQdd LyQxPdd對(duì)對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 L 有有0dd LyQxP在在 D 內(nèi)有內(nèi)有設(shè)設(shè) P, Q 在在 單連通域單連通域D 內(nèi)具有