概率論與數(shù)理統(tǒng)計二維隨機變量的邊緣分布課件

1、第第3章章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布3.2 二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的邊緣分布 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的分布主要包含三個方面的信息的分布主要包含三個方面的信息:1. 每個分量的信息，即邊緣分布每個分量的信息，即邊緣分布;2. 兩個分量之間的關(guān)系程度，即相關(guān)系數(shù)兩個分量之間的關(guān)系程度，即相關(guān)系數(shù);3. 給定一個分量時，另一個分量的分布，即條件分給定一個分量時，另一個分量的分布，即條件分布布;本節(jié)先討論邊緣分布本節(jié)先討論邊緣分布第第3章章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布3.2.1 3.2.1 二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù) 設(shè)二

2、維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X，Y)具有分布函數(shù)具有分布函數(shù)F(x，y)X和和Y都是一維隨機變量，也各有對應(yīng)的分布函數(shù)都是一維隨機變量，也各有對應(yīng)的分布函數(shù)FX(x)和和FY(y)，依次稱為二維隨機變量，依次稱為二維隨機變量(X，Y)關(guān)于關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)易知易知 以上兩式說明，由聯(lián)合分布函數(shù)可以求出每個分以上兩式說明，由聯(lián)合分布函數(shù)可以求出每個分量的分布函數(shù)，量的分布函數(shù)，但由各個分量的分布函數(shù)不一定求出聯(lián)合分布函但由各個分量的分布函數(shù)不一定求出聯(lián)合分布函數(shù)數(shù)),(),(lim,)( xFyxFYxXPxXPxFyX),(),(lim,)(yFyxFyYXPyYP

3、yFxY 3.2.1 3.2.1 二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)【例【例3.8】設(shè)設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)FX(x)、FY(y) 解：解：由定義知由定義知同理可求得：同理可求得： yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2 ),(lim)(yxFxFyX )2)(arctan2(arctan1lim2 yxy xxx- ,21arctan1)2(arctan12 yyyFY- ,21arctan1)( 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律 設(shè)二

4、維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則 , YxXPxXPii,jjyYXPyYP 1,jjiyYxXP, 2 , 1,1 ipjij 1,ijiyYxXP, 2 , 1,1 jpiij3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律 設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則稱稱為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣分布律邊緣分布律；稱稱為為(X，Y) 關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣分

5、布律邊緣分布律, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,1 jpyYPpiijjj;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系:【補充例【補充例 】已知下列分布律求其邊緣分布律已知下列分布律求其邊緣分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 解解: 7473174733.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨

6、機變量的邊緣分布律【例【例3.9】設(shè)一只口袋中有設(shè)一只口袋中有5個球，有兩個球上標(biāo)有數(shù)個球，有兩個球上標(biāo)有數(shù)字字1，3個球上標(biāo)有數(shù)字個球上標(biāo)有數(shù)字0，現(xiàn)從中，現(xiàn)從中(1) 有放回地摸兩個有放回地摸兩個球，球，(2) 無放回地摸兩個球無放回地摸兩個球.并以并以X 表示第一次摸到的表示第一次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字，以球上標(biāo)有的數(shù)字，以Y 表示第二次摸到的球上標(biāo)有的表示第二次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求數(shù)字，求(X，Y)的聯(lián)合分布律及其兩個邊緣分布律的聯(lián)合分布律及其兩個邊緣分布律 解：解：(1) (X，Y)所有可能取值為：所有可能取值為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則 同理同理 0,

7、0 YXP0|00 XYPXP2595353 ,25652531, 0 YXP,2560, 1 YXP2541, 1 YXP3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律于是于是(X，Y)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散型隨機變量的邊緣分布律(2) (X，Y)所有可能取值仍然為：所有可能取值仍然為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則同理同理 于是于是(X，Y

8、)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 0|000, 0 XYPXPYXP1034253 10342531, 0 YXP,1030, 1 YXP12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX1011, 1 YXP 比比看比比看 對于兩種情況，對于兩種情況，X，Y的邊緣分布是相同的，的邊緣分布是相同的，但但(X，Y)的分布不同，說明由聯(lián)合分布可得到邊的分布不同，說明由聯(lián)合分布可得到邊緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯(lián)合分緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯(lián)合分布布3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機變量的邊緣分布律二維離散

9、型隨機變量的邊緣分布律12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x，y)，概率密度為，概率密度為f(x，y).因為因為由分布函數(shù)定義知，由分布函數(shù)定義知，X是一個連續(xù)型隨機變量，是一個連續(xù)型隨機變量，且其概率密度為且其概率密度為同樣有同樣有所以所以,Y也是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度也是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為為 3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型

10、隨機變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 xXdxdyyxfxFxF),(),()(dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()( yYdydxyxfyFyF),(),()(3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 稱稱 為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣邊緣概率密度概率密度 稱稱 為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣邊緣概率密度概率密度dxyxfyfY ),()(dyyxfxfX ),()(3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度【例【例3.10】設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X

11、，Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為為求邊緣概率密度求邊緣概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：f(x，y)的非零區(qū)域如圖的非零區(qū)域如圖: 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfdyyxfxfX ),()( 其它其它 , 010 ,2xxdxyxfyfY ),()( 其其它它 , 010 ,01 ,11ydxydxyy 其其它它 , 010 ,101 ,1yyyy 其它其它 , 010 ,xdyxx).()(., 0, 6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和和邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)的的邊邊緣緣概概率率密密度度求求關(guān)關(guān)于于其其他他具具有有聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度和和設(shè)設(shè)隨隨

12、機機變變量量 解解:yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1( 其其他他,d010,d62yxyxx【補充例】【補充例】 其其他他, 010),(62xxxdxxfxFxXX )()( ., 0, 10),(6)(2其其他他由由于于xxxxfX 其他其他, 110,)(600,0020 xdxxxdxxdxxx 其他其他, 110,230, 032xxxx【例【例3-11】設(shè)，試求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度設(shè)，試求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度fX(x)和和fY(y) 解：解：由于的概率密度為由于的概率密度為且且 ),(yxf212122112221212222)()()(2)

13、( xxyyxy )()(2)()1(21exp1212222212121212221 yyxx所以所以故故XN(1, 12)，同理，同理dyyxfxfX ),()(dyxyex )()1(21exp1212112222)(2212121 ，則則有有令令)(1111222 xytdteexftxX 22)(12212121)( 即即 yeyfyY,21)(22222)(2 即即YN( 2, 22) 我們看到二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一我們看到二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù) ，亦即對于給，亦即對于給定的，不同的定的，不同的 對應(yīng)不

14、同的二維正態(tài)對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實再次分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實再次表明，單由關(guān)于表明，單由關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布，一般來說的邊緣分布，一般來說不能確定隨機變量不能確定隨機變量X和和Y的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布222121, .,21為為任任意意實實數(shù)數(shù)其其中中nxxx概念推廣概念推廣,),(221121nnnxXxXxXPxxxF (1) n維隨機變量的維隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的的分分布布函函數(shù)數(shù)維維隨隨機機變變量量),(21nXXXn有有實實數(shù)數(shù)使使對對于于任任意意若若存存在在非非負負函函數(shù)數(shù)nnxxxxxxf,),(2121.),(

15、),(2121度度函函數(shù)數(shù)的的概概率率密密為為則則稱稱nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(212121(2) n維隨機變量的概率密度函數(shù)維隨機變量的概率密度函數(shù).),(121分分布布函函數(shù)數(shù)邊邊緣緣的的關(guān)關(guān)于于維維隨隨機機變變量量稱稱為為XXXXnn),()(111 xFxFX(3) n維隨機變量的邊緣分布函數(shù)維隨機變量的邊緣分布函數(shù)),.,()( iiXxFxFi.),(21分分布布函函數(shù)數(shù)邊邊緣緣的的關(guān)關(guān)于于維維隨隨機機變變量量稱稱為為inXXXXn.),(121的的邊邊緣緣概概率率密密度度關(guān)關(guān)于于稱稱為為XXXXn,),(),(2121密密度

16、度的的概概率率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf (4) n維隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)維隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)nixfiXi,.,3 , 2),( 類類似似可可定定義義., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求邊緣分布律并求邊緣分布律的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律和和試寫出試寫出的素數(shù)的個數(shù)的素數(shù)的個數(shù)是能整除是能整除的正整數(shù)的個數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是能整除是能整除設(shè)設(shè)一個值一個值十個值中取十個值中取等可能地在等可能地在一整數(shù)一整數(shù)FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112: 布律布律的聯(lián)合分布

17、律與邊緣分的聯(lián)合分布律與邊緣分和和由此得由此得FD樣本點樣本點DF 課堂練習(xí)課堂練習(xí)43211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 10110410210310121098765432112232424340111121112樣本點樣本點DF或?qū)⑦吘壏植悸杀硎緸榛驅(qū)⑦吘壏植悸杀硎緸镈kp4321101104102103Fkp210101107102或?qū)⑦吘壏植悸杀硎緸榛驅(qū)⑦吘壏植悸杀硎緸?一只硬幣一面寫上一只硬幣一面寫上1，另一面寫上，另一面寫上2，將硬幣，將硬幣拋拋3次次,以以X記前兩次所得數(shù)字之和記前兩次所得數(shù)字之和,以以Y記后兩次所記后兩次所得數(shù)字之差得數(shù)字之差(第第2次減去第次減去第3次次).試求試求X和和Y的聯(lián)合分的聯(lián)合分布律，以及邊緣分布律布律，以及邊緣分布律.樣本點樣本點XY解：解： 先將試驗的樣本空間及先將試驗的樣本空間及X,YX,Y取值的情況列出如下：取值的情況列出如下：111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0 課堂練習(xí)課堂練習(xí)X和和Y的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示：的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示：X所有可能