概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二維隨機(jī)變量的邊緣分布課件

1、第第3章章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.2 二維隨機(jī)變量的邊緣分布二維隨機(jī)變量的邊緣分布 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布主要包含三個(gè)方面的信息的分布主要包含三個(gè)方面的信息:1. 每個(gè)分量的信息，即邊緣分布每個(gè)分量的信息，即邊緣分布;2. 兩個(gè)分量之間的關(guān)系程度，即相關(guān)系數(shù)兩個(gè)分量之間的關(guān)系程度，即相關(guān)系數(shù);3. 給定一個(gè)分量時(shí)，另一個(gè)分量的分布，即條件分給定一個(gè)分量時(shí)，另一個(gè)分量的分布，即條件分布布;本節(jié)先討論邊緣分布本節(jié)先討論邊緣分布第第3章章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.2.1 3.2.1 二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù) 設(shè)二

2、維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)具有分布函數(shù)具有分布函數(shù)F(x，y)X和和Y都是一維隨機(jī)變量，也各有對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)都是一維隨機(jī)變量，也各有對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)FX(x)和和FY(y)，依次稱為二維隨機(jī)變量，依次稱為二維隨機(jī)變量(X，Y)關(guān)于關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)易知易知 以上兩式說(shuō)明，由聯(lián)合分布函數(shù)可以求出每個(gè)分以上兩式說(shuō)明，由聯(lián)合分布函數(shù)可以求出每個(gè)分量的分布函數(shù)，量的分布函數(shù)，但由各個(gè)分量的分布函數(shù)不一定求出聯(lián)合分布函但由各個(gè)分量的分布函數(shù)不一定求出聯(lián)合分布函數(shù)數(shù)),(),(lim,)( xFyxFYxXPxXPxFyX),(),(lim,)(yFyxFyYXPyYP

3、yFxY 3.2.1 3.2.1 二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)【例【例3.8】設(shè)設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)FX(x)、FY(y) 解：解：由定義知由定義知同理可求得：同理可求得： yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2 ),(lim)(yxFxFyX )2)(arctan2(arctan1lim2 yxy xxx- ,21arctan1)2(arctan12 yyyFY- ,21arctan1)( 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律 設(shè)二

4、維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則 , YxXPxXPii,jjyYXPyYP 1,jjiyYxXP, 2 , 1,1 ipjij 1,ijiyYxXP, 2 , 1,1 jpiij3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為的分布律為PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，則，則稱稱為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣分布律邊緣分布律；稱稱為為(X，Y) 關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣分

5、布律邊緣分布律, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,1 jpyYPpiijjj;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系:【補(bǔ)充例【補(bǔ)充例 】已知下列分布律求其邊緣分布律已知下列分布律求其邊緣分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 解解: 7473174733.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨

6、機(jī)變量的邊緣分布律【例【例3.9】設(shè)一只口袋中有設(shè)一只口袋中有5個(gè)球，有兩個(gè)球上標(biāo)有數(shù)個(gè)球，有兩個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字字1，3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字0，現(xiàn)從中，現(xiàn)從中(1) 有放回地摸兩個(gè)有放回地摸兩個(gè)球，球，(2) 無(wú)放回地摸兩個(gè)球無(wú)放回地摸兩個(gè)球.并以并以X 表示第一次摸到的表示第一次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字，以球上標(biāo)有的數(shù)字，以Y 表示第二次摸到的球上標(biāo)有的表示第二次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求數(shù)字，求(X，Y)的聯(lián)合分布律及其兩個(gè)邊緣分布律的聯(lián)合分布律及其兩個(gè)邊緣分布律 解：解：(1) (X，Y)所有可能取值為：所有可能取值為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則 同理同理 0,

7、0 YXP0|00 XYPXP2595353 ,25652531, 0 YXP,2560, 1 YXP2541, 1 YXP3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律于是于是(X，Y)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律(2) (X，Y)所有可能取值仍然為：所有可能取值仍然為：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)則則同理同理 于是于是(X，Y

8、)的分布律和邊緣分布律如下：的分布律和邊緣分布律如下： 0|000, 0 XYPXPYXP1034253 10342531, 0 YXP,1030, 1 YXP12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX1011, 1 YXP 比比看比比看 對(duì)于兩種情況，對(duì)于兩種情況，X，Y的邊緣分布是相同的，的邊緣分布是相同的，但但(X，Y)的分布不同，說(shuō)明由聯(lián)合分布可得到邊的分布不同，說(shuō)明由聯(lián)合分布可得到邊緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯(lián)合分緣分布，但由邊緣分布卻不一定能確定聯(lián)合分布布3.2.2 3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二維離散

9、型隨機(jī)變量的邊緣分布律12/53/5PY = yj2/54/256/2513/56/259/250PX = xi10 YX 12/53/5PY = yj2/51/103/1013/53/103/100PX = xi10 YX 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x，y)，概率密度為，概率密度為f(x，y).因?yàn)橐驗(yàn)橛煞植己瘮?shù)定義知，由分布函數(shù)定義知，X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為且其概率密度為同樣有同樣有所以所以,Y也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為為 3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型

10、隨機(jī)變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 xXdxdyyxfxFxF),(),()(dyyxfxfX ),()(dxyxfyfY ),()( yYdydxyxfyFyF),(),()(3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 稱稱 為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于X的的邊緣邊緣概率密度概率密度 稱稱 為為(X，Y)關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣邊緣概率密度概率密度dxyxfyfY ),()(dyyxfxfX ),()(3.2.3 3.2.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度【例【例3.10】設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X

11、，Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為為求邊緣概率密度求邊緣概率密度f(wàn)X(x)和和fY(y) 解：解：f(x，y)的非零區(qū)域如圖的非零區(qū)域如圖: 其它其它, 0| , 10, 1),(xyxyxfdyyxfxfX ),()( 其它其它 , 010 ,2xxdxyxfyfY ),()( 其其它它 , 010 ,01 ,11ydxydxyy 其其它它 , 010 ,101 ,1yyyy 其它其它 , 010 ,xdyxx).()(., 0, 6),(2xFxfXxyxyxfYXXX和和邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)的的邊邊緣緣概概率率密密度度求求關(guān)關(guān)于于其其他他具具有有聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度和和設(shè)設(shè)隨隨

12、機(jī)機(jī)變變量量 解解:yyxfxfXd),()( xy 2xy Oxy)1 , 1( 其其他他,d010,d62yxyxx【補(bǔ)充例】【補(bǔ)充例】 其其他他, 010),(62xxxdxxfxFxXX )()( ., 0, 10),(6)(2其其他他由由于于xxxxfX 其他其他, 110,)(600,0020 xdxxxdxxdxxx 其他其他, 110,230, 032xxxx【例【例3-11】設(shè)，試求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度設(shè)，試求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度f(wàn)X(x)和和fY(y) 解：解：由于的概率密度為由于的概率密度為且且 ),(yxf212122112221212222)()()(2)

13、( xxyyxy )()(2)()1(21exp1212222212121212221 yyxx所以所以故故XN(1, 12)，同理，同理dyyxfxfX ),()(dyxyex )()1(21exp1212112222)(2212121 ，則則有有令令)(1111222 xytdteexftxX 22)(12212121)( 即即 yeyfyY,21)(22222)(2 即即YN( 2, 22) 我們看到二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一我們看到二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù) ，亦即對(duì)于給，亦即對(duì)于給定的，不同的定的，不同的 對(duì)應(yīng)不

14、同的二維正態(tài)對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實(shí)再次分布，它們的邊緣分布都是一樣的，這一事實(shí)再次表明，單由關(guān)于表明，單由關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)不能確定隨機(jī)變量不能確定隨機(jī)變量X和和Y的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布222121, .,21為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)其其中中nxxx概念推廣概念推廣,),(221121nnnxXxXxXPxxxF (1) n維隨機(jī)變量的維隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的的分分布布函函數(shù)數(shù)維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(21nXXXn有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)使使對(duì)對(duì)于于任任意意若若存存在在非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)nnxxxxxxf,),(2121.),(

15、),(2121度度函函數(shù)數(shù)的的概概率率密密為為則則稱稱nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(212121(2) n維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).),(121分分布布函函數(shù)數(shù)邊邊緣緣的的關(guān)關(guān)于于維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱為為XXXXnn),()(111 xFxFX(3) n維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)),.,()( iiXxFxFi.),(21分分布布函函數(shù)數(shù)邊邊緣緣的的關(guān)關(guān)于于維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱為為inXXXXn.),(121的的邊邊緣緣概概率率密密度度關(guān)關(guān)于于稱稱為為XXXXn,),(),(2121密密度

16、度的的概概率率是是若若nnXXXxxxf,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf (4) n維隨機(jī)變量的邊緣概率密度函數(shù)維隨機(jī)變量的邊緣概率密度函數(shù)nixfiXi,.,3 , 2),( 類類似似可可定定義義., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求邊緣分布律并求邊緣分布律的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律和和試寫(xiě)出試寫(xiě)出的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是能整除是能整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是能整除是能整除設(shè)設(shè)一個(gè)值一個(gè)值十個(gè)值中取十個(gè)值中取等可能地在等可能地在一整數(shù)一整數(shù)FDNNFFNNDDN 解解1098765432112232424340111121112: 布律布律的聯(lián)合分布

17、律與邊緣分的聯(lián)合分布律與邊緣分和和由此得由此得FD樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)DF 課堂練習(xí)課堂練習(xí)43211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 10110410210310121098765432112232424340111121112樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)DF或?qū)⑦吘壏植悸杀硎緸榛驅(qū)⑦吘壏植悸杀硎緸镈kp4321101104102103Fkp210101107102或?qū)⑦吘壏植悸杀硎緸榛驅(qū)⑦吘壏植悸杀硎緸?一只硬幣一面寫(xiě)上一只硬幣一面寫(xiě)上1，另一面寫(xiě)上，另一面寫(xiě)上2，將硬幣，將硬幣拋拋3次次,以以X記前兩次所得數(shù)字之和記前兩次所得數(shù)字之和,以以Y記后兩次所記后兩次所得數(shù)字之差得數(shù)字之差(第第2次減去第次減去第3次次).試求試求X和和Y的聯(lián)合分的聯(lián)合分布律，以及邊緣分布律布律，以及邊緣分布律.樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)XY解：解： 先將試驗(yàn)的樣本空間及先將試驗(yàn)的樣本空間及X,YX,Y取值的情況列出如下：取值的情況列出如下：111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0 課堂練習(xí)課堂練習(xí)X和和Y的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示：的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表所示：X所有可能