積分變換法求解定解問題(1)課件

1、1 在復變函數(shù)理論中，我們曾用拉普拉斯變換法求解在復變函數(shù)理論中，我們曾用拉普拉斯變換法求解常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，常微分方程經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進行反演就得到了原來常微分方程解出代數(shù)方程，再進行反演就得到了原來常微分方程的解的解2 積分變換法積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法對于多個自變量的線性偏微分方程，可以通過實施積解方法對于多個自變量的線性偏微分方程，可以通過實施積分變換來減少方程的自變量個數(shù)，直至化為常微分方程，這就分變換來減少方程的自變量個數(shù)，直至化為常微分方程，這就

2、使問題得到大大簡化，再進行反演，就得到了原來偏微分方程使問題得到大大簡化，再進行反演，就得到了原來偏微分方程的解積分變換法在數(shù)學物理方程（也包括積分方程、差分的解積分變換法在數(shù)學物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途尤其當泛定方程及邊界條件均方程等）中亦具有廣泛的用途尤其當泛定方程及邊界條件均為非齊次時，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨為非齊次時，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進行易于求解利用積且顯得具有固定的程序

3、，按照解法程序進行易于求解利用積分變換，有時還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變分變換，有時還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的量法不能得到的3 特別是特別是對于無界或半無界的定界問題對于無界或半無界的定界問題，用積分變換來，用積分變換來 求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題求解，最合適不過了（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：用積分變換求解定解問題的步驟為：第一第一：根據(jù)自變量的：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件變化范圍和定解條件確定選擇適當確定選擇適當 的的積分變換積分變換；對于自變量在對于自

4、變量在 (,) 內(nèi)變化的定解問題內(nèi)變化的定解問題（如無界域的坐標變量）（如無界域的坐標變量）常采用常采用傅氏變換傅氏變換，而自變量在，而自變量在 4(0,)內(nèi)變化的定解問題（如時間變量）常采用內(nèi)變化的定解問題（如時間變量）常采用拉氏變換拉氏變換 第二第二：對方程取積分變換，將一個：對方程取積分變換，將一個含兩個自變量含兩個自變量的偏微分方的偏微分方程化為程化為一個含參量一個含參量的常微分方程；的常微分方程；第三第三：對定解條件取相應的變換，導出常微分方程的定解條件；：對定解條件取相應的變換，導出常微分方程的定解條件；第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；，即為

5、原定解問題的變換；第五第五：對所得解取：對所得解取逆變換逆變換，最后得，最后得原定解問題的解原定解問題的解5 用用分離變量法求解有限空間的定解問題分離變量法求解有限空間的定解問題時，所得時，所得到到 的的本征值譜本征值譜是分立的，所求的解可表為對分立本征是分立的，所求的解可表為對分立本征值求和的值求和的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)對于無限空間，用分離變量法對于無限空間，用分離變量法求解定解問題時，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求解定解問題時，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為求的解可表為對連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分對連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分因此，對于因此，對于無限空間的定解無限空間的

6、定解問題，傅里葉變換是一種很問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法本節(jié)將通過幾個例子說明運用傅里葉適用的求解方法本節(jié)將通過幾個例子說明運用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個重要的解的公式基本方法，并給出幾個重要的解的公式 6下面的討論我們假設待求解的函數(shù)下面的討論我們假設待求解的函數(shù) u及其一階導數(shù)是有限的及其一階導數(shù)是有限的 .15.1.1 弦振動問題弦振動問題例例15.1.1 求解無限長弦的自由振動定解問題求解無限長弦的自由振動定解問題（假定假定：函數(shù)：函數(shù) u及其及其一階導數(shù)是有限一階導數(shù)是有限的，以

7、后不再特別指出的，以后不再特別指出 這一定解問題在行波法中已經(jīng)介紹，這一定解問題在行波法中已經(jīng)介紹， 讀者可以比較行波解讀者可以比較行波解 法和傅氏解法）法和傅氏解法）72000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux 【解解】 應用傅里葉變換，即用應用傅里葉變換，即用 i xe遍乘定解問題中的各式，遍乘定解問題中的各式，并對并對空間變量空間變量x積分積分（這里把時間變量看成參數(shù)），按照傅（這里把時間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對傅氏變換對： 8ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t

8、exu x tUt e簡化表示為簡化表示為 ( , )( , )u x tUtF對其它函數(shù)也作傅氏變換，即為對其它函數(shù)也作傅氏變換，即為( )( ) ( )( )xxFF9于是原定解問題變換為下列于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題常微分方程的定解問題222200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解為上述常微分方程的通解為ii( , )( )( )atatUtAeBe10代入代入初始條件初始條件可以定出可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa這樣這樣iiii1111( , )( )( )( )(

9、 )22i22i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeeaaatata 11最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作并作逆傅氏變換逆傅氏變換應用應用延遲定延遲定理和積分定理得到理和積分定理得到11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 這正是前面學過的的達朗貝爾公式這正是前面學過的的達朗貝爾公式.例例15.1.212 為了說明為了說明傅氏變換法解非齊次方程傅氏變換法解非齊次方程特別簡便，特別簡便， 我們特舉一我們特舉一強迫弦振動強迫弦振動問題：問題：求解無限長弦的強迫振動方程的初值問題求解無限長弦的強迫振動方程的初值問題200( ,

10、), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 【解】【解】根據(jù)與例根據(jù)與例15.1.1 相同的方法，相同的方法，作傅氏變換作傅氏變換13 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x tUtf x tFtxx FFFF我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題常微分方程的問題222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt 14上述問題的解為上述問題的解為 01( )( , )( , )sin()d( )cos()sin()tUtFa t

11、ata taa 利用利用傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì)有有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf FF故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F15i()i()1sin()2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatxata 161

12、5.1.2 熱傳導問題熱傳導問題例例15.1. 3 求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題200, (,0)|( ) txxtua uxtux 【解】【解】 作傅氏變換作傅氏變換， ( , )( , )u x tUtF ( )( )x F定解問題變換為定解問題變換為22( , )0( ,0)( )Ua UtU 17常微分方程的初值問題的解是常微分方程的初值問題的解是 22( , )( )a tUte 再進行逆傅里葉變換，再進行逆傅里葉變換，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交換積

13、分次序交換積分次序22i ()1( , )( )d d2a txu x tee 18引用積分公式引用積分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用積分公式，即以便利用積分公式，即得到得到22()41( , )( )d2xa tu x teat 19例例15.1.4 求解無限長細桿的有源熱傳導方程定解問題求解無限長細桿的有源熱傳導方程定解問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 【解】【解】 利用利用 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF對定解問題作對定解問題作傅氏變換傅氏變換，得到常微

14、分方程的定解問題，得到常微分方程的定解問題 2022( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU上述問題的解為上述問題的解為2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 為了求出上式的逆變換，利用下面為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式傅氏變換的卷積公式，即，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF則則 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF21而積分而積分 222i211dexp242atxxea tat即為即為 222121exp42atxea tatF最后得到定解問題的解為最后得到定解問題的解為2222()()t4

15、 ()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 2215.1.3 穩(wěn)定場問題穩(wěn)定場問題 我們先給出求半平面內(nèi)我們先給出求半平面內(nèi) (0)y 拉普拉斯方程的第一拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換邊值問題的傅氏變換 系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進行比較）行比較）例例 15.1.5 定解問題定解問題x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 23 【解】【解】 對于變量對于變量 x作作傅氏變換傅氏變換，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xF

16、FF定解問題變換為常微分方程定解問題變換為常微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy24因為因為 可取正、負值，所以可取正、負值，所以常微分定解問題的通解常微分定解問題的通解為為 | | |( , )( )( )yyU x yCeDe因為因為 lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解為常微分方程的解為| |( , )( )yUyFe設設 | |( , )yGye25根據(jù)傅氏變換定義，根據(jù)傅氏變換定義， | |ye的的傅氏逆變換傅氏逆變換為為0| |iii22011111ddd 222ii()yxyxyxye

17、eeey x y xxy再利用再利用卷積公式卷積公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到原定解問題的解原定解問題的解為為22( )( , )d()yfu x yxy26容易看出與格林函數(shù)解出的結果具有相同的表示式容易看出與格林函數(shù)解出的結果具有相同的表示式例例15.1.6 如果定解問題為下列第二邊值問題如果定解問題為下列第二邊值問題x0 (,0)( ,0)( ) lim( , )0 xxyyyuuxyuxf xu x y 【解】【解】 令令 ( , )( , ),yx yux yv即即 0( , )( , )dyyu x yxv27容易得到容易得到 ( , )x yv滿

18、足定解問題為滿足定解問題為x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyxyxf xx y vvvv則根據(jù)上述則根據(jù)上述穩(wěn)定場第一邊值問題公式穩(wěn)定場第一邊值問題公式22( )( , )d()yfx yxyv故得到故得到280002222221( )( , )( , )ddd()1d( )d()1( )ln()d( )yyyyyyfu x yxxfxfxyx v15.2 拉普拉斯變換解數(shù)學物理定解問題拉普拉斯變換解數(shù)學物理定解問題由于要作由于要作傅氏變換的函數(shù)傅氏變換的函數(shù)必須定義在必須定義在 ),(上，故當上，故當我們討論我們討論 半無界問題半無界問題時，就不能對變量時，就不能

19、對變量x作傅氏變換了作傅氏變換了 29由此本節(jié)介紹另一種變換法：由此本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法求解定解問題求解定解問題 15.2.1 無界區(qū)域的問題無界區(qū)域的問題例例15.2.1 求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (15.2.1)【解】【解】 先對時間先對時間 t作作拉氏變換拉氏變換 30 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x tF x pLL ( , )( , )( ,0) (17.2.2)tu xtpU x pu xL由此由

20、此原定解問題中的泛定方程原定解問題中的泛定方程變?yōu)樽優(yōu)?22222d11( )( , )0 (17.2.3)dUpUxF x pxaaa對方程對方程(15.2.3)實施傅氏逆變換來進行求解實施傅氏逆變換來進行求解.利用利用傅氏逆變換公式傅氏逆變換公式1222b xbebF31以及卷積定理以及卷積定理-1( ) ( )() ( )dFGf xgF得方程得方程(15.2.3)的解為的解為11( , )( )d( , )d22ppxxaaU x peFpea pa p (15.2.4)(15.2.4)式作式作拉氏逆變換拉氏逆變換,并查閱拉氏變換表，并查閱拉氏變換表， 32得得原定解問題原定解問題(1

21、5.2.1)的解的解為為222201()( , )( )expd421() ( , )expd d (17.2.5)4()2()txu x ta tatxfa tat 15.2.2半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 15.2.2 求定解問題求定解問題332 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt (15.2.6)【解】【解】首先作變量首先作變量 t的的拉氏變換拉氏變換 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (17.2.7) ()( ) tu xtU x pu xtpU x pu xqtQ pLL

22、L原定解問題即為原定解問題即為34222d( , ) 0 d(0, )( ) , ( , ) (17.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM易得到易得到(15.2.8)式的解為式的解為( , )( )( ) (17.2.9)ppxxaaU x pC peD pe( , ) (0)u x pMx ( )0 (17.2.10)D p 35又又 (0, )( ) (17.2.11)xUpQ p故故( , )( ) (17.2.12)pxaaU x pQ p ep 由于由于221411 (17.2.13)xpxaa teeptL36及拉氏變換的卷積定理及拉氏變換的卷積定理10 ( ) (

23、)( ) ()d (17.2.14)tF p G pfg tL最后最后,得得原定解問題的解原定解問題的解為為224()0( , )( )d (17.2.15)()xtatau x tqet15.2.2半無界區(qū)域的問題半無界區(qū)域的問題例例 15.2.2 求定解問題求定解問題372 (0,0)( ,0)0 , (0, )( )( , ) (0,0)txxxua uxtu xutq tu x tMxt 【解解】首先作變量首先作變量 t的的拉氏變換拉氏變換 ( , )( , ), ( , )( , )( ,0) (17.2.7) ( )( ) tu x tU x pu x tpU x pu xq tQ pLLL原定解問題即為原定解問題即為222d( , )0 d(0, )( ) , ( , ) (17.2.8)xUpU x pxaUpQ pU x pM38易得到易得到(15.2.8)式的解為式的解為( , )( )( ) (17.2.9)ppxxaaU x pC p eD p e因為因為 ( , ) (0)u x pMx 所以所以( ) 0 (17.2.10)Dp 又又 (0, )( ) (17.2.11)xUpQp故故39( , )( ) (17.2.12)p