空間向量在立體幾何中的應(yīng)用課件

1、研究我們進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的我們進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用應(yīng)用. .為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來表示直線和平面的們要用向量來表示直線和平面的“方向方向”。那么。那么如何用向量來刻畫直線和平面的如何用向量來刻畫直線和平面的“方向方向”呢？呢？直線的方向向量直線的方向向量直線的直線的方向向量方向向量空間直線的向量參數(shù)方程空間直線的向量參數(shù)方程）（為為起起點點作作向向量量以以，再再給給一一個個實實數(shù)數(shù)和和一一個個向向量量給給定定一一個個定定點點1atAPAtaA ）（，滿滿足足等等式式在在唯唯一一的

2、的實實數(shù)數(shù)上上的的充充要要條條件件是是存存在在直直線線，點點對對空空間間任任意意一一點點2atOAOPtlPO PlaA.當(dāng)任意當(dāng)任意t t R R，則，則P P軌跡為通過點軌跡為通過點A A且且平行于向量平行于向量a a的直線的直線l l；反之，在直；反之，在直線線l l上任取一點上任取一點P P，必存在一個實數(shù)，必存在一個實數(shù)t t，使使(1)(1)成立成立. .atl為為該該直直線線的的方方向向向向量量為為參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程；以以稱稱作作直直線線atAP 1.1.用向量表示直線或點在直線上的位置用向量表示直線或點在直線上的位置.321312al參參數(shù)數(shù)方方程程）都都叫叫空空間間

3、直直線線的的向向量量）（）（）（）（）可可變變形形為為，則則（上上取取如如果果在在OBtOAtOPAB OBAPla中點的向量表達式；中點的向量表達式；線段線段）（時，時，ABOBOAOPt 2121例例1 1已知點已知點A A(2(2，4 4，0)0)，B B(1(1，3 3，3)3)，以以AB AB 的方向為正向，在直線的方向為正向，在直線ABAB上建立上建立一條數(shù)軸，一條數(shù)軸，P P，Q Q 為軸上兩點，且分別為軸上兩點，且分別滿足條件（滿足條件（1 1）APAP：PBPB=1=1：2 2；（2 2）AQAQ：QBQB= =2 2，求點求點P P 和點和點Q Q 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。xyzO

4、APlBQAPPB2 解：由已知得解：由已知得)(2OAOPOPOB )3132OBOAOP 設(shè)設(shè)P(xP(x，y y，z),z),則則)3 , 3 , 1(31)0 , 4 , 2(32),( zyx1,311,35 zyx)1 ,311,35(P)6 , 2 , 0(Q同法可求得同法可求得2.2.用向量方法證明空間中有關(guān)平行的問題用向量方法證明空間中有關(guān)平行的問題，和和的的方方向向向向量量分分別別為為和和設(shè)設(shè)直直線線2121vvll，重重合合與與或或則則212121/vvlllll11vl22v（1 1）線線平行與向量的關(guān)系）線線平行與向量的關(guān)系（2 2）線面平行與向量的關(guān)系）線面平行與向

5、量的關(guān)系，則則的的一一個個方方向向向向量量為為一一直直線線共共面面，與與平平面面，已已知知兩兩個個不不共共線線向向量量vl21 vv12/ /,.llx yvxvyv 或兩個實數(shù)對，使)0(221 vvv （3 3）面面平行與向量的關(guān)系）面面平行與向量的關(guān)系共共面面，與與平平面面，已已知知兩兩個個不不共共線線向向量量 21vv./21 vv且且重重合合與與或或例2如圖，已知正方體ABCDABCD，點M，N 分別是面對角線AB 與面對角線AC的中點，求證：MN/側(cè)面AD；MN/AD；并且MN=.21DA ADCBCDABNM3.3.用向量方法證明兩直線垂直或兩直線成角的問題用向量方法證明兩直線垂

6、直或兩直線成角的問題，和和的的方方向向向向量量分分別別為為和和設(shè)設(shè)直直線線2121vvll. |,cos|cos,212121 vvvvll 則則（1 1）線線垂直、線線成角與向量的關(guān)系）線線垂直、線線成角與向量的關(guān)系設(shè)兩條直線所成的角為設(shè)兩條直線所成的角為(銳角銳角) )，則直線方向向量間，則直線方向向量間的夾角與的夾角與相等或互補相等或互補A1B1C1BCAMN1 1 111 111111.,1,90 ,2,. (1) (2) cos (3) .ABCABCABCCACBBCAAAMNABA ABNBA CBABC M 例如圖直三棱柱底面中棱、 分別是、的中點求的長；求的值；求證xyz.1

7、xyzOzyxCCCBCAC 如如圖圖空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系軸軸建建立立、所所在在直直線線為為、為為原原點點，解解：以以),1 , 0 , 1(),0 , 1 , 0( )1( NB依依題題意意得得.3)01()10()01(222 BN),2 , 1 , 0(),0 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),2 , 0 , 1( )2( 11BCBA依依題題意意有有A1B1C1BCAMNxyz, 3),2 , 1 , 0(),2 , 1, 1(1111 CBBACBBA.5,611 CBBA.30101cos111111 CBBACBBACBBA),2 ,21,21(),2 , 0

8、, 0( )3(1MC依依題題意意得得)0 ,21,21(),2 ,1 , 1(11 MCBA，0 0212111 MCBA.11MCBA ,ABCA B CAAABCA CABBCAB練習(xí)：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求證：.2/1,0,0, , 1cbcabaACcABbAAa設(shè)證明：設(shè)底面邊長為bacCCACBABCabBBABABacACAACAABCBCA向量法向量法,ABCA B CAAABCA CABBCAB練習(xí)：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求證：220() () 12A CABcabac bc aa baac b 2222(2) ()(2) ()221 10caab

9、baabbaaa bbab )()(abbacABBCABCBCA,ABCA B CAAABCA CABBCAB練習(xí)：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求證：)., 1, 0( ), 1 , 0( ), 0 ,3( ).0 , 1, 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 ,3(., 2hChBhACBAh系如圖建立空間直角坐標(biāo)高為設(shè)底面邊長為22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB (3,1, ),(3, 1,),(0, 2, )ABhA Ch BCh ABCBCA坐標(biāo)法坐標(biāo)法（二）用向量處理垂直問題（二）用向量處理垂直問題:,.ABCDA B C DCC BDA

10、FBDE例3在正方體中.E,F分別是的中點.求證：平面,DA DC DDxyzA 證明:如圖取分別為 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)YXZFE:,.ABCDA B C DCC BDA FBDE例3在正方體中.E,F分別是的中點.求證：平面( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0) 0,( 1,1, 2) (0,2,1) 0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDB DEDA FBDE 又平面XYZEFABCDAD

11、EFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練練 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：2133DCDE MNMDDEEN 證明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面幾何法呢？幾何法呢？ABCDP PE EXYZG解解1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)AC,AC交交BD于

12、點于點G,連結(jié)連結(jié)EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2APE依依題題意意得得G1 11 1( , ，( , ，0)0)2 22 211(1,0, 1),( ,0,)22PAEG EGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP PE EXYZ解解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0, 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)PAxDEyDB 設(shè)解得解得 x,2PADEDB 即PADEDB 于是、 、 共面11111112.-,:/A B C DA B C DA B DC B D例在 正 方 形中求 證平 面平 面11111:,