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文檔簡介

1、7 7. .4 4空空間間曲曲面面和和空空間間曲曲線線本節(jié)以兩種方式來討論空間曲面:(1)已知曲面的形狀,建立這曲面的方程;(2)已知一個三元方程,研究這方程的圖形。7 7. .4 4. .1 1 球球面面與與柱柱面面(一一)球球面面 空間中與一定點等距離的點的軌跡叫球球面面。求球心在點),(zyxM,半徑為 R 的球面方程。設(shè)),(zyxM為球面上的任一點,則有RMM,即Rzzyyxx222)()()(,化簡得:當0zyx時,即球心在原點的球面方程為 2222Rzyx。 2222)()()(Rzzyyxx。 球面上所有點的坐標都滿足方程,反之,不在球面上的點,其坐標都不滿足方程,因此,方程是

2、球面的方程。oxyz( 二二 ) 柱柱 面面 動直線 L 沿給定曲線 C 平行移動所形成的曲面,稱為柱柱面面。動直線 L稱為柱面的母母線線,定曲線 C 稱為柱面的準準線線。 現(xiàn)在來建立以xoy平面上的曲線C: . 0, 0) ,(zyxF為準線,以平行于z軸的直線 L 為母線的柱面方程。 在柱面上任意取一點) , ,( zyxM,過點 M 作平行于z軸的直線,交xoy坐標面于點) 0 , ,(yxM,由柱面的定義可知點M必在準線 C 上。故點M的坐標滿足方程0) ,(yxF,由于點 M 與點M有相同的橫坐標和縱坐標,故點 M 的坐標也滿足方程0) ,(yxF。yXZoL)0 ,(yxM),(z

3、yxMC以二次曲線為準線的柱面稱為二二次次柱柱面面。例如:xyzoxyoz方程222ayx表示圓柱面;方程Pxy22表示拋物柱面; 方程12222bxay表示雙曲柱面。xyoz7 7. .4 4. .2 2 空空間間曲曲線線(一一)空空間間曲曲線線的的一一般般方方程程 空間曲線L可以看作兩個曲面1與2的交線。若曲面1與2的方程分別為0) , ,(zyxF與0) , ,(zyxG,則其交線L的方程為 0),(0),(zyxGzyxF 方程組稱為空間曲線的一一般般方方程程。xyzoaaaxyzo注注意意:表示空間曲線的方程組不是唯一的。例如02222zRzyx或0222zRyx也表示同一個圓,一般

4、地,用兩個方程的組合代替方程之一,仍表示同一曲線。 此曲線亦可用方程組0122zyyx( 0 , 0 , 0zyx)表示。x xy yz zo o例 7方程組1422zyx表示在1z平面上的圓。 方程組0422zyx表示在xoy平面上的圓。(二二)空空間間曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 空間曲線L上動點 M 的坐標zyx,也可以用另一個變量的 t函數(shù)來表示, 即 )()()(tzztyytxx t 當取定一個值時,由方程組就得到曲線上一點的坐標,通過的 t變動,可以得到曲線上所有的點,方程組稱為曲線的 L參數(shù)方程參數(shù)方程,為 t參數(shù)參數(shù)。解解:取t 時間為參數(shù),t 經(jīng)過質(zhì)點的位置為) , ,(z

5、yxP,作面xoyPQ ,垂足為) 0 , ,(yxQ,則從P到P所經(jīng)過的角t,上升的高度為vtQP ,即質(zhì)點的運動方程為:xyzPoPQ sincosvtztrytrx 也可以用其它變量作參數(shù);例如令t ,則螺旋線方程為 sincosbzryrx這時vb,而參數(shù)為。此方程稱為圓柱螺旋線方程圓柱螺旋線方程。(三三)空空間間曲曲線線在在坐坐標標面面上上的的投投影影1空空間間曲曲線線在在平平面面上上的的投投影影的的概概念念L1L2 2投投影影曲曲線線的的方方程程的的求求法法消去z,得0),(1yx,它表示母線平行于z軸的柱面方程。 特殊地,以L 曲線為準線,母線平行于z軸的柱面稱為空間L 曲線關(guān)于

6、xoy面的投影柱面,此投影柱面與xoy面的交線稱為L 曲線在xoy面上的投影曲線。 同樣可以定義L 曲線關(guān)于yoz面、xoz面的投影柱面和投影曲線。 設(shè)空間L 曲線的一般方程為 0),(0),(zyxGzyxF, 同樣,從L 曲線的方程中分別消去yx 與,得到柱面方程0),(2zy與0),(3zx, 因為柱面方程是由zL 消去曲線得到的,所以L 曲線上點的前兩個坐標yx,必滿足該方程,因此柱面過L 曲線,故方程0),(1yx所表示的柱面就是L 曲線關(guān)于xoy面的投影柱面。 而方程 0z 0),(1yx就是L 曲線在xoy面上的投影曲線的方程。則 0 x0),(2zy與 0y 0),(3zx分別

7、是L 曲線在yoz平面和xoz平面上的投影曲線的方程。xyzo 如果在曲線L的方程中,出現(xiàn)有一個缺 z 項的方程時,那么此方程所表示的曲面正巧是經(jīng)過曲線L且母線平行于 z 軸的柱面,它就是曲線L關(guān)于xoy平面 的投影柱面,這樣就可省略消去 z 的過程。LCM1 1錐錐面面的的定定義義 已知一條定曲線 C 及不在 C 上的一定點 M,動直線 L 過點 M 沿 C 移動所形成的曲面稱為錐面錐面。動直線 L稱為錐面的母線母線,點 M 稱為錐面的頂點頂點。曲線 C 稱為錐面的準線準線。2.錐面的的方程錐面的的方程其頂點為),(zyxM,則通過頂點),(zyxM和準線 C上的點1M),(ZYX的母線方程

8、為 zZzzyYyyxXxx,其中點),(zyxM是母線上的任意一點。當點),(1ZYXM在曲線 C 上移動時,點),(zyxM就是錐面上的點。因為),(1ZYXM是準線上的點,所以滿足方程. 0),(, 0),(21ZYXFZYXF將它與母線方程聯(lián)立,消去ZYX和 ,即得錐面的方程。1MMMxyzo若錐面方程是關(guān)于x、y、z的二次式,則稱之為二次二次錐面錐面。xyzocz 1M(一一)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的定定義義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面,這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。(二二)旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面的的方方程程xzyLo 設(shè)在yoz平面上L 曲線的方程為

9、00),(xzyF,將軸繞曲線 zL旋轉(zhuǎn)一周,得到一個旋轉(zhuǎn)曲面。 設(shè)) , ,(zyxM為旋轉(zhuǎn)曲面上的任意一點,過點 M 作平面垂直于 z 軸,交 z 軸于點) , 0 , 0(zP,交曲線L于點) , , 0(zyM。 由于點M可以由點M繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而得,故有zz , PMPM, (1) 22yxPM,yPM , 22yxy, (2)又M在曲線L上,0) ,(zyF。xzyoMMLoP將(1) , (2)代入0) ,(zyF,即得旋轉(zhuǎn)曲面方程: 0) z ,(22yxF。 同理,曲線L繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為:0),(22zxyF。 欲求曲線L:00),(xzyF繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的

10、旋轉(zhuǎn)曲面方程,只要將0) ,(zyF中的y換成22yx 而 z 保持不變,即得旋轉(zhuǎn)曲面方程。 解:yoz平面上的直線)0(aayz繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 將 z 保持不變,y 換成22yx, 則得)(22yxaz, 該方程表示的曲面稱為圓圓錐錐面面,點o稱為圓錐的頂點。 即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為)(2222yxaz,例 11求直線0)0(xaayz繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面方程。xyzo例 12求拋物線0)0(22xppzy,繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解:在方程中pzy22中,將2y換成22yx,而 z 保持不變,得pzyx222,即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。xyzo該曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面。例 13求橢圓 . 012222xbzay繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。xzyoaba解:在方程12222bzay中, 將2y換成22yx,而 z 保持不變,得122222bzayx,即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 該曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢球球面面。例 14求雙曲線 012222ybzax,分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程。解:繞z軸所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)單單葉葉雙雙曲曲面面, 其方程為122222bzayx。 繞x軸所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋旋

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