產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)

1、5.35.3 產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)數(shù)廣師Ray_xing 5.3.1 5.3.1 求逆法求逆法 求逆法是基于概率積分反變換的法則，是從許多種離散分布中獲得采樣值的基本方法。求逆法的基本步驟如下： 計(jì)算所要的隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù) F（X）； 在X的取值范圍內(nèi)，置F（X）= R。由于X是一個(gè) 隨機(jī)變量，因此R也是一個(gè)隨機(jī)變量，可以證明，R是區(qū)間（0，1）上的均勻分布； 解方程 F（X）= R，用R來(lái)表示X，即是求F（X）的逆； 產(chǎn)生所要的在（0，1）上的均勻分布隨機(jī)數(shù) 并由下式計(jì)算所要的隨機(jī)變量： 。1,R111XXFR 若X為一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)為F（X），記

2、 為F（X）的反函數(shù)， U為0，1均勻分布隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量 同X具有相同的分布函數(shù)。事實(shí)上，我們有：1( )xFy1( )xYFU1()()( )( )()xxxP YyP FUyP UFyFyP xy1( )xx F u23,., ,.iR RR算法： 1）產(chǎn)生U 2）例5.3：產(chǎn)生服從負(fù)指數(shù)的隨機(jī)數(shù)x。負(fù)指數(shù)密度函數(shù)：( )(0)xf xex其分布函數(shù)： x( )01,0 xxxFedxex 易得F（x）的反函數(shù)為： 設(shè)U為0，1( )1ln(1)xxF1ln(1)xu 即為所求的隨機(jī)數(shù)。又因U是0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，所以（1-U）也是0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，故上式可以簡(jiǎn)化為 1

3、lnxu 均勻分布，則例5.4 產(chǎn)生服從集合分布的隨機(jī)數(shù)幾何分布的密度函數(shù)為：1(),1,1,2,.,kf xkpqp qkn 其分布函數(shù)為：11( )1xixiF xpqq 設(shè)U是0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，令( ) 1xF xqu 可求得ln(1)/lnxuq又因（1-u）也是0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，上式可簡(jiǎn)化為ln/lnxuq 求逆法的優(yōu)點(diǎn)顯而易見(jiàn)，但是在實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往會(huì)遇到一些困難。問(wèn)題在于分布函數(shù)的反函數(shù)難以求得，或者計(jì)算反函數(shù)的工作量過(guò)大，以至于無(wú)法實(shí)現(xiàn)。 5.3.2 5.3.2 舍選法舍選法 舍選法的實(shí)質(zhì)是從許多均勻分布的隨機(jī)數(shù)中選出一部分，使其成為具有給定分布的隨機(jī)數(shù)，它可生產(chǎn)

4、任意有界的隨機(jī)變量。假設(shè)要生成隨機(jī)變量X服從1/4到1之間的均勻分布，一種方法是：1） ：產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)R2） ：若R1/4，接受X=R；否則舍去R，轉(zhuǎn) 回 13） ：重復(fù)該過(guò)程至結(jié)束設(shè)某一隨機(jī)數(shù)變量的密度函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)xb 或x1解：計(jì)算f(x)的最大值11( )()0(1)/0( ) ( )1,( )|(1)/(2)2rsdf xrsdxxdxdxr T srxMf xxrsrsr 求解步驟： 1）根據(jù)r,s，求f(x)的最大值M2）產(chǎn)生0，1均勻分布隨機(jī)數(shù)R1， R2。3）檢驗(yàn) 是否成立。若成立R1為Beta分布的隨機(jī)數(shù)，否則轉(zhuǎn)2。111211()( )|(1)( ) ( )rsx R

5、r sRMf xRRrs 例：用舍選法生成具有下面密度的隨機(jī)數(shù)3( )20 (1) ,01f xxxx分析：由于隨機(jī)變量在（0，1）上取值，不妨取( )1,01g xx確定C使得3( )/ ( ) 20 (1)f x g xxxc求微分32( )20(1)3 (1) 0( )d f xxxxdx g x得最大值點(diǎn)于是14x 313135( )/( )20( )( )4464f xg xc于是有3( )256(1)( )27f xxxcg x 舍選法只用到了密度函數(shù)f(x)，所以比較方便簡(jiǎn)單，但其效率低。算法： 1）生成隨機(jī)數(shù) 和 1u2u2）如果3211256(1)27UUU，停止迭代，令1x

6、u，否則返回1。生成一個(gè)X步驟1的平均迭代次數(shù)為：13564c 5.3.3 5.3.3 組合法組合法在本節(jié)中我們要用到凸組合的概念，它的定義如下：設(shè)1x、2x、kx是nR中點(diǎn)集X的k個(gè)點(diǎn)，若存在1、2、k滿足0j，01kjj，使1 12 2kkxxxx也屬于X，則稱x為1x、2x、kx（對(duì)于1、2、k）的凸組合。 組合法的主要思想是這樣的，當(dāng)我們要生成的隨機(jī)數(shù)數(shù)列服從的分布函數(shù)F可以用其它分布函數(shù)1F，2F，的凸組合表達(dá)，并且jF遠(yuǎn)比F時(shí)，我們可以先生成服從jF的隨機(jī)數(shù)數(shù)列，然后再的隨機(jī)數(shù)數(shù)列。F要簡(jiǎn)單利用這些隨機(jī)數(shù)數(shù)列得到服從具體來(lái)說(shuō)，我們假定對(duì)所有x，( )F x可以寫成：1( )( )m

7、jjjF xp F x這里0jp ，11mjjp，每一個(gè)jF是一個(gè)分布函數(shù)，f，則假定它可以寫成1( )( )mjjjf xp fx這里jf是其密度函數(shù)。在離散情況下，組合法依同樣若x為密度函數(shù)然適用。 有時(shí)我們能給出組合法的幾何解釋，例如對(duì)于X上一個(gè)具有密度 的連續(xù)隨機(jī)變量，我們可將 下的面積分為 、 、區(qū)域，對(duì)應(yīng)于將 分解為凸組合表示，然后我們可以認(rèn)為第一步是選一個(gè)域，而第二步則是從所選域?qū)?yīng)的分布中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。ff1p2pf例例 雙指數(shù)（或拉普拉斯）分布具有密度函數(shù) ，( ) 0.5xf xex為實(shí)數(shù)。由圖5.5可見(jiàn)，除了因子0.5之外，( )f x可以看成是由兩個(gè)背靠背的指數(shù)函數(shù)組成。

8、我們可把( )0.5xf xe表示為：(,0)(0, )( ) 0.5( ) 0.5( )xxf xe Ixe Ix這里AI表示集合A的指示函數(shù)，它定義為：1( )0AIx如xX其他于是，( )f x可看作1(,0)( )( )xf xe Ix和2(0, )( )( )xf xe Ix的凸組合，1( )f x和2( )fx都是密度函數(shù)，且120.5pp因此，我們可用1( )f x2( )fx和的組合來(lái)產(chǎn)生X。R2，如果10.5R ，則令2lnXR 返回。同樣，10.5R ，則令2lnXR返回。首先產(chǎn)生兩個(gè)在0，1 上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)R1，若圖5.5 雙指數(shù)分布的概率密度函數(shù) 5.3.4 5

9、.3.4 經(jīng)驗(yàn)分布法經(jīng)驗(yàn)分布法 經(jīng)驗(yàn)分布法又稱為表搜索法，主要用于產(chǎn)生離散分布的隨機(jī)數(shù)，也可通過(guò)離散近似抽樣產(chǎn)生連續(xù)分布的隨機(jī)數(shù)?，F(xiàn)實(shí)中很多隨機(jī)現(xiàn)象的理論分布往往是不知道的，而其經(jīng)驗(yàn)分布常常是可以得到的，為了仿真這些隨機(jī)現(xiàn)象，通常根據(jù)它們的經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)產(chǎn)生抽樣值。下面介紹用經(jīng)驗(yàn)分布法來(lái)產(chǎn)生離散分布隨機(jī)數(shù)的方法。設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的取值ix的概率為ip，即iiP Xxp（i = 1，2， ，k）且01iip01ip 將0，1區(qū)間劃分為k個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度分別等于 、 、 。令 ， ，i = 1，2， ，k。其中 稱為累積分布函數(shù)，即 ， + ?，F(xiàn)任取0，1上均勻分布的隨機(jī)變數(shù) ，若 ，則 。這是因?yàn)?/p>

10、我們有1p2pkp00L 0iijjLpiL11Lp212Lpp1iiLLiXx1iiiiP LLpP Xx綜上所述，產(chǎn)生離散分布的隨機(jī)數(shù)主要步驟如下：iL1）編制如表5.3所示的表格，并存入計(jì)算機(jī)內(nèi)。 為了縮短搜索時(shí)間，累積分布函數(shù) 可按， 排列計(jì)算；12kppp2）產(chǎn)生0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)r；3）進(jìn)行表搜索，若 ，則 。1iiLLiXx例：在研究消防隊(duì)工作人員和消防員可能備選的調(diào)度策略的仿真中，收集到了消防隊(duì)接到報(bào)警后的響應(yīng)時(shí)間的5個(gè)觀測(cè)值（min），數(shù)據(jù)如下：2.76 1.83 0.80 1.45 1.24 在收集更多的數(shù)據(jù)之前，希望以這5個(gè)觀測(cè)值為基礎(chǔ)的響應(yīng)時(shí)間分布建立一個(gè)初始仿真

11、模型。 首先，可以假設(shè)響應(yīng)時(shí)間X的范圍為0=X=c (c是未知的，但我們用觀測(cè)值的最大值作為其估計(jì)值 ) c 將觀測(cè)數(shù)據(jù)由小到大排列，假定每個(gè)間隔的概率為1/n，n表示觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。由此，可以得到經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的估計(jì)值( )F xi i 區(qū)間區(qū)間概率概率1/n1/n累積概率累積概率i/ni/n斜率斜率a ai i1 10.20.20.20.24.004.002 20.20.20.40.42.202.203 30.20.20.60.61.051.054 40.20.20.80.81.901.905 50.20.21.01.04.654.65iixxx)1(ix80. 0024. 180. 0 x4

12、5. 124. 1 x83. 145. 1 x76. 283. 1 x0.51.03.02.52.01.5x1.00.80.60.40.2F(x)0R1=0.71X1X X1 1=1.45+1.90=1.45+1.90(0.71-0.60)=1.66(0.71-0.60)=1.66第i條線段的斜率是： 因此，當(dāng) i-1/nR=i/n時(shí)，計(jì)算累積分布函數(shù)的逆： 11/iiixxan111( )()iiiXFRxa Rni i 區(qū)間區(qū)間概率概率1/n1/n累積概率累積概率i/ni/n斜率斜率a ai i1 10.20.20.20.24.004.002 20.20.20.40.42.202.203

13、30.20.20.60.61.051.054 40.20.20.80.81.901.905 50.20.21.01.04.654.65iixxx)1(ix80. 0024. 180. 0 x45. 124. 1 x83. 145. 1 x76. 283. 1 x0.51.03.02.52.01.5x1.00.80.60.40.2F(x)0R1=0.71X1X X1 1=1.45+1.90=1.45+1.90(0.71-0.60)=1.66(0.71-0.60)=1.66 5.3.5 5.3.5 近似法近似法 近似法是指一種利用一些定理或公式來(lái)近似地產(chǎn)生所需隨機(jī)數(shù)的方法，這種方法一般用于分布函數(shù)比較復(fù)雜，難以對(duì)其求解的情況，如正態(tài)分布。下面主要介紹用該方法產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題。1、利用中心極限定理設(shè)12,n 為n個(gè)的在0，1區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)，它們相互獨(dú)立，則有11,1,22niiinin22211,1,121212niiinnin根據(jù)中心極限定理111