概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章隨機(jī)向量及其獨(dú)立性ppt課件

1、3.4隨機(jī)向量的函數(shù)的分布隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 設(shè)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量,z = (x, y)是一個(gè)是一個(gè)知的二元函數(shù)知的二元函數(shù),假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)(X, Y)取值為取值為(x, y)時(shí)時(shí), 隨隨機(jī)變量機(jī)變量Z取值為取值為z = (x, y),那么稱那么稱Z是二維隨是二維隨機(jī)變量的函數(shù)機(jī)變量的函數(shù),記作記作Z = (X, Y)問題問題: 知知(X, Y)的分布的分布, 求求Z = (X, Y)的分布的分布.一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(Y

2、X.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 例例1 1概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等價(jià)于等價(jià)于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01

3、252353124121122121122122的的分分布布律律分分別別為為所所以以YXYX ,例例2 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與與 Y 的分布律為的分布律為XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律的分布律.)()(),(jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0由于由于 X 與與 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 0

4、54. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0解解Z=X+Y的一切能夠的取值是的一切能夠的取值是0,1,2,nYXPnZP., 2 , 1 , 0),(, 2 , 1 , 0),(,的的分分布布律律求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量分分布布律律分分別別為為，其其是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量已已知知YXZmmqmYPkkpkXPYX 例例3nkknYkXP0,nkknYPkXP0,.2 , 1 , 0, )()(0nknqkpnZPnk,.2 , 1 , 0, )()(0nknqkpnkX, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立nYXPnZP nkknYkXP0,證明證明).(),(),

5、(,2121 YXYXYX則則，是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)由前面的例題可知由前面的例題可知, 2 , 1 , 0,!)(, 2 , 1 , 0,!)(2121 mmemYPkkekXPmk ,.2 , 1 , 0 , )()()(0 nknYPkXPnYXPnk例例4)!(!)(21021knekenYXPknknk )!(!210)(21knkeknknk knknkknknne 210)()!( !121 ,)(!121)(21nne ,.2 , 1 , 0n)(21 YX例例5設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分

6、布. 我們可以按照前面的方法來求解，也可以我們可以按照前面的方法來求解，也可以換一種方法換一種方法. 回想第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量回想第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋所作的直觀解釋:同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù),每次實(shí)驗(yàn)中每次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 假設(shè)假設(shè)X B(n1,p),那么那么X 是在是在n1次獨(dú)立反次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每次實(shí)驗(yàn)中每次實(shí)驗(yàn)中A出出現(xiàn)的概率都為現(xiàn)的概率都為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)

7、出現(xiàn)的次數(shù).每次實(shí)驗(yàn)中每次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p.于是于是Z是以是以n1+n2，p為參數(shù)的二為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).解解. iiXmin的的次次數(shù)數(shù)是是次次試試驗(yàn)驗(yàn)，其其中中試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)做做了了如如果果第第驗(yàn)驗(yàn)同同學(xué)學(xué)重重復(fù)復(fù)進(jìn)進(jìn)行行同同一一個(gè)個(gè)試試下下每每個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)同同學(xué)學(xué)，在在相相同同的的條條件件設(shè)設(shè)全全班班有有.,21次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)進(jìn)進(jìn)行行了了全全班班同同學(xué)學(xué)一一共共是是設(shè)設(shè)每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功的的概概率率nmmmmp Z試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功總總次次數(shù)數(shù)).,(pmB續(xù)續(xù).Z 21的的概概率率分分布布的的總

8、總次次數(shù)數(shù)計(jì)計(jì)算算全全班班同同學(xué)學(xué)試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功nXXX 則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立服服從從二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布如如果果,., 2 , 1),( 21niiXXXnipmBX 從問題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，從問題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，更容易了解更容易了解. 更普通地，更普通地，).,(21pmmmBZn 二、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布二、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1. 知知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ假設(shè)假設(shè)Z為延續(xù)型隨機(jī)變量為延續(xù)型隨機(jī)變量,那么在那么在f(z)的延續(xù)的延續(xù)點(diǎn)處點(diǎn)處)( )(zFzfZZ zyx

9、dxdyyxf),(),( .),0(), 0( , 222的概率密度的概率密度求求且均服從且均服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)(), 0( yyfNYY例例6X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立).(),(zfzFZZ設(shè)設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為的分布函數(shù)和概率密度分別為0)(,0 zFzZ時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22YXZ )(,0zZPzFzZ 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx z

10、rdrdrr 2exp21222222exp1z 其其它它 , 00,2exp1)(22zzzFZ 其它其它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分分布布的的瑞瑞利利服服從從參參數(shù)數(shù)為為RayleighZ 例例7 知知(X,Y) f(x, y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對(duì)對(duì)任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X

11、+Y的概率的概率密度為密度為dxxzxfzfZ),()( 例例7 知知(X,Y) f(x, y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對(duì)對(duì)任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),( )(yxz 令令dydzyyzfba),( dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率的概率密度為密度為 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推論推論 設(shè)設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度分別

12、為的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 假設(shè)假設(shè)X和和Y獨(dú)立獨(dú)立, 那么那么 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的普通公式兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的普通公式. .的的概概率率密密度度求求電電阻阻其其他他它它們們的的概概率率密密度度均均為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)串串聯(lián)聯(lián)聯(lián)聯(lián)接接和和兩兩電電阻阻在在一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單電電路路中中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的的概概率率密密度度為為由由題題意意知知 R dxxzfxfzfYXR)()()(例例8 . , 0,100,5010)(其其他他xxxf

13、 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf 100100 xzxzox被積函數(shù)被積函數(shù)的非零域的非零域 100 xz10 xz10(10,10)(10,20)20 dxxzfxfzfYXZ)()()(zox10100 xz10 xz)20,10()10,10(20,010時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zdxxzxzfzZ 050)(105010)(,0210時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zdxxzxzfzZ 101050)(105010)( dxxzfxfzfYXZ)()()(,200時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) zz. 0)( zfZ ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzz

14、zzzzfR例例9.)1 , 0( 的的概概率率密密度度分分布布，求求上上服服從從均均勻勻相相互互獨(dú)獨(dú)立立，均均在在與與若若YXZYX 解解 其它其它, 010, 1)(),1 , 0(xxfUXX 其其它它, 010, 1)(),1 , 0(yyfUYY 其其它它, 010, 1)(xzxzfY 1010 xzxzox11 dxxzfxfzfYXZ)()()(0 xz1xz)1 , 1()2, 1(2. 0)(,20 zfzzZ時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng),10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzdxzfzZ 01)(,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) zzdxzfzZ 21)(11被積函數(shù)的非零域被積函數(shù)的非零域 其其它它 , 021 ,210

15、,)(zzzzzfZ知知X, Y 相互獨(dú)立且均服從規(guī)范正態(tài)分布，相互獨(dú)立且均服從規(guī)范正態(tài)分布，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解2221)(),1 , 0(xXexfNX 2221)(),1 , 0(yYeyfNY dxxzfxfzfYXZ)()()(例例10 dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx 2)(222 21 dxeezxz 222)(4 21 )(2zxt 令令dteetz 22 214 4221ze 2142ze 22)2(2 221ze z,假設(shè)假設(shè)X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有一樣的分布具有一樣的分布N(0,1),那么那么Z=X+Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0,

16、2).).,( ,).,(),(, 222121222211NZYXZNYNXYX 且且有有仍仍然然服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立且且一一般般地地，設(shè)設(shè) 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合依然服從正態(tài)分布組合依然服從正態(tài)分布.一個(gè)重要的結(jié)論一個(gè)重要的結(jié)論3.5極大極小值的分布極大極小值的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y), 求求M=max(X,Y) 及及 N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù).M=max(X,Y)FM(z) = PMz = P

17、max(X,Y)z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z) FY(z) 類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =Pmin(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 推論推論的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為及及則則),min(),max( 2121nnXXXNXXXM )()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它它們們的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為變變量量個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)是是設(shè)設(shè))(1 )(1)(1 1)(2

18、1minzFzFzFzFnXXX 則則分布函數(shù)分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同的相互獨(dú)立且具有相同的若若, )(, 21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .,(ii),(i),21如如圖圖所所示示并并聯(lián)聯(lián)串串聯(lián)聯(lián)連連接接的的方方式式分分別別為為聯(lián)聯(lián)接接而而成成統(tǒng)統(tǒng)由由兩兩個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的子子系系設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)LLL例例1 1XY1L2LXY2L1L密密度度分分別別為為已已知知它它們們的的概概率率的的壽壽命命分分別別為為設(shè)設(shè),21YXLL,0, 00,e)( xxxfxX 0, 00,e)(yyyfyY.0, 0的概率密度的概率密度的壽命的壽命方式寫出方式寫

19、出試分別就以上兩種聯(lián)接試分別就以上兩種聯(lián)接且且其中其中ZL ,0, 00,e)( xxxfxX 0, 00,e)(yyyfyY串聯(lián)情況串聯(lián)情況(i),21工工作作就就停停止止系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有一一個(gè)個(gè)損損壞壞時(shí)時(shí)由由于于當(dāng)當(dāng)LLL的的壽壽命命為為所所以以這這時(shí)時(shí) L).,min(YXZ , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由 , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(1 1)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的壽命為的壽命為所以這時(shí)所以這時(shí) L).,max(YXZ 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz并聯(lián)情況并聯(lián)情況(ii), 21停停