列車餐飲價(jià)格問題

1、濰坊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)論文實(shí)訓(xùn)題目：列車餐飲價(jià)格問題學(xué)生姓名、專業(yè)、班級：1、xxx 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一班2、xxx 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一班3、xxx 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一班指導(dǎo)教師：xxx20011年12月目錄1 摘要32 問題重述33問題分析與假設(shè)|3 3.1模型假設(shè)3 3.2符號說明44 問題分析45 模型建立與求解56 模型結(jié)果分析與檢驗(yàn)117 模型討論與改進(jìn)128 參考文獻(xiàn)129 附錄13列車餐飲價(jià)格問題摘要：從現(xiàn)實(shí)出發(fā)綜合考慮各種因素的條件下，以最大效益為目標(biāo)，首先應(yīng)該考慮食物價(jià)格和食物的銷售量。根據(jù)需求規(guī)律：在假設(shè)其他因素既定的條件下，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與

2、價(jià)格之間存在著反向的依存關(guān)系。收益函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，這樣把離散函數(shù)近似看成連續(xù)函數(shù)利用求導(dǎo)法則可求出最大值，但是由于無法統(tǒng)計(jì)調(diào)查相應(yīng)的價(jià)格對應(yīng)的銷售量，只能用主觀的滿意度進(jìn)行計(jì)算，并將盒飯和方便面價(jià)格分成七種不同的價(jià)格機(jī)制，每種價(jià)格機(jī)制對應(yīng)著滿意度，考慮到滿意度：列車乘客對食物的滿意程度，并假設(shè)只要對此種食物滿意就必須買這種食物。購買商品的人數(shù)=列車總?cè)藬?shù)*滿意度，再根據(jù)收益函數(shù)求出各種價(jià)格的收益。從現(xiàn)實(shí)情況可知兩種食物的售價(jià)所對應(yīng)的價(jià)格機(jī)制k相差不能超過1，如盒飯售價(jià)在為第2種價(jià)格機(jī)制時(shí)，方便面的售價(jià)只能是第1、2、3三種價(jià)格機(jī)制；同理可求出相應(yīng)的收益并求出最大的收益?？紤]到乘客長時(shí)間乘車后

3、，產(chǎn)生疲勞的心情，對方便面這種油膩的食物會(huì)比較反感，因此乘客更愿意傾向于購買盒飯，當(dāng)然由于經(jīng)濟(jì)原因，部分乘客還是選擇方便面因此可以主觀估計(jì)出購買方便面和盒飯占總購買人數(shù)的百分比，同理可求出相應(yīng)的收益并求出最大的收益。關(guān)鍵字： 滿意度 價(jià)格機(jī)制 收益 問題重述長途列車由于時(shí)間漫長，列車需要為旅客提供一些服務(wù)，提供一天三餐是最主要的服務(wù)。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價(jià)格也略高。以T238次哈爾濱到廣州的列車為例，每天早餐為一碗粥、一個(gè)雞蛋及些許咸菜，價(jià)格10元；中午及晚上為盒飯，價(jià)格一律15元。由于價(jià)格偏貴，乘客一般自帶食品如方便面、面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價(jià)格也偏貴，

4、如一般售價(jià)3元的方便面賣5元。當(dāng)然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，適當(dāng)提高價(jià)格是正常的。但高出的價(jià)格應(yīng)有一個(gè)限制，不能高得過頭。假如車上有乘客1000人，其中500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人；另外，車上還可提供每餐100人的方便面。請你根據(jù)實(shí)際情況設(shè)計(jì)一個(gè)價(jià)格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。問題分析與假設(shè)1 乘客在車上買方便面和買盒飯的行為獨(dú)立。2 午餐和晚餐的情況是一樣的。3 乘客不會(huì)出現(xiàn)都自帶食物的偶然性。4 早餐情況不考慮。5 假設(shè)盒飯的價(jià)格和滿意度的關(guān)系如下。6 每一量火車的貨物成本是一樣的。 價(jià)格和滿意度表價(jià)格方便面33.544.555

5、.56盒飯910.51213.51516.518滿意度量化100%95%80%70%60%40%30%滿意度非常滿意很滿意比較滿意基本滿意不太滿意不滿意很不滿意 符號說明：盒飯價(jià)格：方便面價(jià)格：購買盒飯的人數(shù)：購買方便面的人數(shù)：提供的盒飯的人數(shù)：提供的方便面人數(shù)：收益 問題說明此問題是最優(yōu)化問題，首先應(yīng)該考慮食物價(jià)格和食物的銷售量。根據(jù)需求規(guī)律：在假設(shè)其他因素既定的條件下，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價(jià)格之間存在著反向的依存關(guān)系，即，商品的價(jià)格P上升，需求量Q減少；商品的價(jià)格P下降，需求量Q增加。收益函數(shù)R=P*Q是非單調(diào)函數(shù)，這樣把離散函數(shù)近似看成連續(xù)函數(shù)利用求導(dǎo)法則可求出最大值，

6、但是由于無法統(tǒng)計(jì)調(diào)查相應(yīng)的價(jià)格對應(yīng)的銷售量，只能用主觀的滿意度進(jìn)行核算。模型建立與求解確定價(jià)格和銷售量來求最優(yōu)解在成本一定的情況下只要考慮銷售就可以，不用考慮成本。有模型如下考慮買方便面和盒飯的比例和銷售的比例一樣時(shí)有：乘客對以下價(jià)格的滿意程度分別為價(jià)格機(jī)制1234567價(jià)格方便面33.544.555.56盒飯910.51213.51516.518滿意度量化100%95%80%70%60%40%30%從表中可以看出前五種都可以把方便面和盒飯銷售完，從而可得前五種第五種的銷售效率最高，（元）對于第6種， 對于第7種， 綜上所述，方便面定價(jià)5元，盒飯定價(jià)15元，收益最高?？紤]到乘客長時(shí)間乘車后，產(chǎn)

7、生疲勞的心情，對方便面這種油膩的食物會(huì)比較反感，因此乘客更愿意傾向于購買盒飯。（當(dāng)然由于經(jīng)濟(jì)原因，部分乘客還是選擇較為便宜的方便面）列車運(yùn)行時(shí)間超過一天； 兩種食物的售價(jià)對應(yīng)的價(jià)格機(jī)制k相差不能超過1，如盒飯售價(jià)在為四種價(jià)格機(jī)制時(shí)，方便面的售價(jià)只能是第三、四、五中價(jià)格機(jī)制；乘車時(shí)間不超過一天時(shí)，購買食物的乘客中，有購買的是方便面，購買的是盒飯； 乘車時(shí)間超過一天時(shí)，購買食物的乘客中，有購買的是方便面，購買盒飯。 當(dāng)一種食物保持第種價(jià)格機(jī)制不變、另一種食物提高到種價(jià)格機(jī)制時(shí)，因升價(jià)而減少的人全部打算購買。比如：盒飯保持第3種價(jià)格機(jī)制12元不變，而方便面由4元提升到4.5元時(shí)，購買方便面得人減少，

8、這部分人都轉(zhuǎn)而打算購買盒飯。對于列車運(yùn)行的第一天首先考慮兩種食物處于同一種價(jià)格機(jī)制時(shí),銷售利潤有Matlab給出算法。模型如下建立一個(gè)滿意度和價(jià)格關(guān)系的矩陣如附錄1所示，A = 9.0000 10.5000 12.0000 13.5000 15.0000 16.5000 18.0000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 1.0000 0.9500 0.8000 0.7000 0.6000 0.4000 0.3000可得對應(yīng)的價(jià)格下的購買食物的人數(shù)如附錄2B1 = 500 475 400 350 300 200 150（1）買盒飯的

9、人數(shù)如附錄3 N1 = 200 190 160 140 120 80 60買方便面的人數(shù)如附錄4N2 = 300 285 240 210 180 120 90總銷售額如附錄5Y1 = 2100 2345 2320 2340 2300 1870 1620（2）當(dāng)盒飯售價(jià)為第K種價(jià)格、方便面售價(jià)為第k+1種價(jià)格時(shí)打算購買盒飯的人數(shù)如附錄6M1 = 215 235 190 170 180 110打算購買方便面的人數(shù)如附錄7M2 = 285 240 210 180 120 90總銷售額如附錄8Y2 = 2150 2500 2730 2795 3250 2355（3）當(dāng)方便面售價(jià)為第k種價(jià)格，盒飯售價(jià)為

10、第K+1種價(jià)格時(shí)購買盒飯的人數(shù)如附錄9D1 = 190 160 140 120 80 60購買方便面的人數(shù)如附錄10D2 = 310 315 260 230 220 140總銷售額如附錄11Y3 = 2295 2270 2290 2250 1820 1630綜合（1）、（2）、（3）得到:第一天中利潤最大的價(jià)格方案為：方便面5.5元，盒飯15元。對于列車運(yùn)行兩天的情況（1*）兩種食物處于同一種價(jià)格機(jī)制時(shí),銷售利潤此時(shí)買盒飯人數(shù)如附錄12N1 =375.0 356.2500 300.0000 262.5000 225.0000 150.0000 112.5000買方便面人數(shù)如附錄13N2 = 1

11、25.0000 118.7500 100.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000銷售額如附錄14Y1 = 1.0e+003 * 2.1000 2.4500 2.8000 3.0938 3.3750 2.7500 2.2500（2*）當(dāng)盒飯售價(jià)為第K種價(jià)格、方便面售價(jià)為第k+1種價(jià)格時(shí)，買盒飯人數(shù)如附錄15 M1 = 381.2500 375.0000 312.5000 275.0000 250.0000 162.5000 買方便面人數(shù)如附錄16M2 = 118.7500 100.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000總銷售額如

12、附錄17Y2 = 1.0e+003 * 2.1500 2.5000 2.7938 3.0750 3.2750 2.9063（3*）當(dāng)盒飯售價(jià)為第K+1種價(jià)格、方便面售價(jià)為第k種價(jià)格時(shí)購買盒飯的人數(shù)如附錄18D1 = 356.2500 300.0000 262.5000 225.0000 150.0000 112.5000 購買方便面的人數(shù)如附錄19D2 = 143.7500 175.0000 137.5000 125.0000 150.0000 87.5000 總銷售額如附錄20Y3 = 1.0e+003 * 2.4000 2.7500 3.1000 3.4500 2.9750 2.5063綜

13、上（1*），（2*），（3*）得，盒飯15元，方便面4.5元。綜上所述制定的價(jià)格方案為：第一天盒飯每盒15元，方便面5.5元，第二天盒飯15元，方便面4.5元。 模型結(jié)果分析和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀懻摵透倪M(jìn)在上面的模型的建立中是從主觀的角度來進(jìn)行定價(jià)以及主觀的滿意度來分析的，考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的價(jià)格機(jī)制問題先確定價(jià)格的種類，然后分別求解出最優(yōu)解來，模型改進(jìn)時(shí)避免從主觀的角度進(jìn)行分析，而從列車收益的角度進(jìn)行分析，因?yàn)槊恳活D飯解決的問題是以一樣的，盒飯與方便面不妨我們就以午餐為例來進(jìn)行計(jì)算建立模型。根據(jù)需求規(guī)律：在假設(shè)其他因素既定的條件下，盒飯與方便面的需求量（乘客的購買量）與價(jià)格之間存在著反向的依存關(guān)系，即，商

14、品的價(jià)格上升，需求量減少；商品的價(jià)格下降，需求量增加，單獨(dú)考慮盒飯的，價(jià)格與需求之間的關(guān)系，分為兩種情況(一) 價(jià)格與銷售量是線性的，設(shè)價(jià)格為，銷售為。最低價(jià)格為，銷售量為。最高價(jià)格為，銷售量為，價(jià)格與銷售量之間的函數(shù)表達(dá)式：由于列車上食物的成本每次基本上是一樣的，即使不一樣，也就因?yàn)榈貐^(qū)上差異，我們不考慮這方面的因素。建立模型。用來表示出它的收益，建立收益與價(jià)格的關(guān)系：求導(dǎo)數(shù)求出最優(yōu)解，把它代入,求出最優(yōu)解。舉個(gè)例子，當(dāng)最低價(jià)格為5元時(shí)，恰好全部銷售出去，當(dāng)20元時(shí)，銷售為50份，在MATLAB中的輸入程序如下：得到的最優(yōu)解為當(dāng)=9.1666元，=1260.4元，B = 17/2, 9, 1

15、9/2, 10 A = 5015/4, 1260, 5035/4, 1250得出結(jié)果由于在火車上收錢不方便那價(jià)格就定為9元與9.5元分別值為x1=input('Please input x1=:');y1=input('Please input y1=:');x2=input('Please input x2=:');y2=input('Please input y2=:');x=x1:0.01:x2;y=(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1;plot(x,y)Y=x.*y;plot(x,

16、Y)syms x;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1);f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1) x3=fix(z)-0.5;x=x3;Y3=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x4=fix(z);x=x4;Y4=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2

17、-y1)/(x2-x1)*x1)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)B=x3,x4,x5,x6A=Y3,Y4,Y5,Y6圖1：賣的盒飯數(shù)目與價(jià)格之間的關(guān)系圖2.銷售額與價(jià)格之間的關(guān)系(二) 考慮價(jià)格與銷售不是線性的，而是凹函數(shù)，任何一個(gè)函數(shù)都可以用三角函數(shù)來表示出來，為了方便起見我們不妨設(shè)為正弦曲線，模型說明和上面的一樣，設(shè)價(jià)格為，銷售為。最低價(jià)格為，銷售量為。最高價(jià)格為，銷售量為，價(jià)格與銷售量之間的函數(shù)表達(dá)式：建立模型。用來表示出它的收益，建立收益與價(jià)格的關(guān)系：求出的值來，代入就可以求出具體的值。舉個(gè)更

18、實(shí)際的例子，當(dāng)最低價(jià)格為5元時(shí)，恰好全部銷售出去，當(dāng)20元時(shí)，銷售為50份，在MATLAB中的輸入程序：得到的結(jié)果為 11/2, 6, 13/2, 7對應(yīng)的收益為： 1382.6869649276273222719436792871-1037.0152236957204917039577594654*sin(.95671741231906830567985919821785e-1*pi), 1382.6869649276273222719436792871-1037.0152236957204917039577594654*sin(.956717412319068305679859198217

19、85e-1*pi), 1300-975*sin(3/40*pi), 1400-1050*sin(1/10*pi)程序：x1=input('Please input x1=:');y1=input('Please input y1=:');x2=input('Please input x2=:');y2=input('Please input y2=:');x=x1:0.01:x2;y=(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2;plot(x,y) Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y= x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x3=fix(z)-0.5;t=x3;Y3=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x4=fix(z);t=x4;Y4=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x5=fix(z)+0.5;x=x5;