第6章 應(yīng)力應(yīng)變分析

1、第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析PPAAAA應(yīng)力分析：應(yīng)力分析：研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)目的：目的：1）為判斷受力構(gòu)件哪一點(diǎn)，什么方向最危險(xiǎn)；）為判斷受力構(gòu)件哪一點(diǎn)，什么方向最危險(xiǎn)； 2）為復(fù)雜受力情況下的強(qiáng)度計(jì)算作好準(zhǔn)備。）為復(fù)雜受力情況下的強(qiáng)度計(jì)算作好準(zhǔn)備。第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析xyzxyxzxyzyxyzzxzy 圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)截取一無限小正圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)截取一無限小正六面體稱為六面體稱為。1）單元體尺寸無限小，可代表一點(diǎn)； 2）有三組互相垂直的面，其上應(yīng)力代表了三組互相平行的面上應(yīng)力，大小相等，方向相反；3）當(dāng)單元體應(yīng)力確定，其它平面上的應(yīng)力可用截面法根據(jù)靜

2、力平衡方程求出。描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：9個(gè)應(yīng)力分量 6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量 第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析單元體利用單元體的理由：利用單元體的理由：第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析 若所取單元體各面上只有正若所取單元體各面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，此單元體稱應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，此單元體稱為為。123 只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力的只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力的截面稱為截面稱為。 主平面上的正應(yīng)力稱為主平面上的正應(yīng)力稱為。 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力，按其一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力，按其代數(shù)值排列代數(shù)值排列：321第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析0031or000321oro

3、r123、 均不為零FFxxxxxx0nFdA x y xy yx n y y x x xy xy yx yx x y yx xy x y yx xy sin)cos(dAxy cos)cos(dAx cos)sin(dAyx sin)sin(dAy00 FdA cos)cos(dAxy sin)cos(dAx sin)sin(dAyx cos)sin(dAy0 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx 2sin2cos22xyyxyx22)2sin2cos2()2( xyyxyx22)2cos2sin2(xyyx2

4、222)2()2(xyyxyx y y x x xy xy yx yx 1,xxyD 2(,)yxyDCx xy y yx x xy y yx n 2 D 單元體與應(yīng)力圓之間的一一對應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)面對應(yīng)點(diǎn)面對應(yīng)倍角對應(yīng)倍角對應(yīng)轉(zhuǎn)向一致轉(zhuǎn)向一致0tan2主應(yīng)力公式：主應(yīng)力公式：22maxmin22xyxyxy主平面方位：主平面方位：y y x x xy xy yx yx 1D2DCx xy y yx x xy y yx 022xyxymaxminn 2 D y y x x xy xy yx yx 1n1 1 2 2 例例試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力試用圖解法求圖

5、示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。的方位。MPa50MPa30MPa30解：已知,50MPax,30MPax,30MPayo1B2B1D2DC50303030,501OB;3011DB,302OB;3022DB取: 連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析o1B2B1D2DC503030301A2A13,10OC503040)()(2221121DBCBr,6050101MParOC,4050103MParOC, 0202,75. 0403021110CBDBtg,87.3620,43.180MPa50MP

6、a30MPa3011330=18.43MPa50)4060(21)(2131max第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析MPa20例試用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力、并在單元體上標(biāo)出主應(yīng)力的方位。解：已知, 0 x,20MPax, 0y, 01OB;2011DB, 02OB;2022DB取: 連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。o1B2BC1D2D2020第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析MPa20o1B2BC1D2D1A2A132020, 0OC20r,201MPar ,203MPar, 02MPa20)2020(21)(2131max,90

7、20 4500=45201133第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析12xyz3123第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析yxyzxyxzxzyxyzzxzy123三向應(yīng)力圓三向應(yīng)力圓123123123123第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析123maxmin231max最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力123 最大剪應(yīng)力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45角。第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析PPEE1 1 2 2 3 3 1 1123221333121()1()1()EEE 1 1 2 2 3 3 1E2E

8、3EOR1122331111Ex y z xy xz yx yz zy zx xyxyyzyzzxzxGGG1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析111()xxyyyxxyxyzxyEEGE 000zzxzy12EG 這表明，對于各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)這表明，對于各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析例例邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模

9、量為模量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的作用，求鋼塊的應(yīng)力應(yīng)力 x 、 y 、 z 和應(yīng)變和應(yīng)變 x 、 y 、 z 。Pxyzxyz解：解： 由已知可直接求得：,2aPAFNy, 0z, 0 x第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析Pxyzxyz,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析例97已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁nn 截面上 k 點(diǎn)沿30方向的線應(yīng)變 30。nnk1m1m2mAB2001507575

10、kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223bhQbbhhbhQbISQnnzzn89)8/3()4/(123*nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223MPabhQn1125. 030020086000989nnk1m1m2mAB2001507575kkNP1230MPaMPaxyx1125. 0, 0,130-6030-60MPaxxx847. 0234260sin60cos2230MPaxxx153. 02342)120sin()120c

11、os(2260nnk1m1m2mAB2001507575kkNP123030-6030-60,847. 030MPaMPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1Edxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzdV )()(dzdzdydydxdxdV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydz第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析單元體單位體積的改變單元體單位體積的改變dVdV變形前：變形前：變形后：變形后：)1 (321 dV略去高階小量略去高階小量321dVdVd

12、V代入廣義胡克定律代入廣義胡克定律dxdydzdV 變形前：變形前：變形后：變形后：)1 (321 dVdVdVdV)(21321E第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析令令)(31321m)21 (3EKKmm稱為，K 稱為。體積應(yīng)變?nèi)◇w積應(yīng)變?nèi)Q于三個(gè)主決于三個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)應(yīng)力的代數(shù)和，與三主和，與三主應(yīng)力之間的應(yīng)力之間的比值無關(guān)。比值無關(guān)。純剪切狀態(tài)：純剪切狀態(tài)：321, 0, 可見可見剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變剪應(yīng)力并不引起體積應(yīng)變，對于非主應(yīng)力單元體，對于非主應(yīng)力單元體，其體積應(yīng)變可改寫為其體積應(yīng)變可改寫為0)(21zyxE 第一不變量：第一不變量：)(21321E第六章第六章

13、應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析321zyx某點(diǎn)正應(yīng)力之和為常數(shù)某點(diǎn)正應(yīng)力之和為常數(shù)應(yīng)變能：應(yīng)變能：構(gòu)件在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力在構(gòu)件在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力在相應(yīng)的位移上作功，此功將轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能力儲(chǔ)存在相應(yīng)的位移上作功，此功將轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能力儲(chǔ)存在構(gòu)件中，把構(gòu)件因發(fā)生彈性變形而儲(chǔ)存的能量稱為構(gòu)件中，把構(gòu)件因發(fā)生彈性變形而儲(chǔ)存的能量稱為應(yīng)變能。應(yīng)變能。應(yīng)變能密度（比能）：應(yīng)變能密度（比能）：單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能。單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能。第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析dxdzdy dxdydzlddFdWdVN21)(21d(l)2121dxdydzdxdydzdVd

14、VVdxdydz )(21)(21dxdydzdxdydzdV21dxdydzdVdVdVV第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析)(21332211V)(221133221232221E第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析12xyz3yxyzxyxzxzyxyzzxzy)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxV22222221)(221zxyzxyxzzyyxzyxGE 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud 狀態(tài)狀態(tài)1受平均正應(yīng)力受平均正應(yīng)力 m作用，因各向均勻受力，故只有作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱

15、為體積改變，而無形狀改變，相應(yīng)的比能稱為。 狀態(tài)狀態(tài)2的的體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：0)()()(213212mmmE 狀態(tài)狀態(tài)2無無體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為體積改變，只有形狀改變，相應(yīng)的比能稱為。 第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+ud2321222)(6213221)323(21EEEVmmmV2321133221232221)(621)(221EEVVVVd)()()(61213232221EVd第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析例例邊長為邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性

16、模的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為量為E 、泊桑比為、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體積作用，求鋼塊的體積應(yīng)變應(yīng)變 V 和形狀改變比能和形狀改變比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x第六章第六章 應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)分析 x y z,2aPyx)0(10yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例910證明彈性模量證明彈性模量E 、泊桑比

17、、泊桑比 、剪切、剪切彈性模量彈性模量G 之間之間的關(guān)系為的關(guān)系為 。)1 (2EG 3 1證明：證明： 純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為純剪應(yīng)力狀態(tài)比能為212121Gu321, 0,用主應(yīng)力計(jì)算比能用主應(yīng)力計(jì)算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu21uu 22121EG)1 (2EG第五章第五章 桿件的變形與剛度計(jì)算桿件的變形與剛度計(jì)算98 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析 任意方向的線應(yīng)變?nèi)我夥较虻木€應(yīng)變KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 對對 的影響的影響KA

18、BCxyxyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 對對 的影響的影響KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y對對 的影響的影響x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改寫為改寫為2sin22cos22xyyxyx主應(yīng)變主應(yīng)變22)2()2(2xyyxyx主應(yīng)變（主應(yīng)力）的方位角主應(yīng)變（主應(yīng)力）的方位角yxxytg02第五章第五章 桿件的變形與剛度計(jì)算桿件的變形與剛度計(jì)算98 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析平面應(yīng)力

19、狀態(tài)下的應(yīng)變分析 任意方向的線應(yīng)變?nèi)我夥较虻木€應(yīng)變KABCxyxyd(x)Rd(R)coscos)()(xxdRdxcosxR2coscoscos)(xxxxRRd x 對對 的影響的影響KABCxyxyd(y)Rd(R)sinsin)()(yydRdysinyR2sinsinsin)(yyyyRRd y 對對 的影響的影響KABCxyxyyx yRd(R)cos)(xyyRdsinyRcossinsincos)(xyxyyyRRd x y對對 的影響的影響x yx ycossinsincos22xyyx cossinsincos22xyyx改寫為改寫為2sin22cos22xyyxyx主應(yīng)變

20、主應(yīng)變22)2()2(2xyyxyx主應(yīng)變（主應(yīng)力）的方位角主應(yīng)變（主應(yīng)力）的方位角yxxytg02第五章第五章 桿件的變形與剛度計(jì)算桿件的變形與剛度計(jì)算第五章第五章 桿件的變形與剛度計(jì)算桿件的變形與剛度計(jì)算第五章第五章 桿件的變形與剛度計(jì)算桿件的變形與剛度計(jì)算1 Mpa30Mpa30Mpa120Mpa40 1D2D3D12 23 13 xDyDMpa1302 Mpa303 Mpa3023 Mpa3012 Mpa5013 Mpa8013 Mpa80max 321 9102001125.025.025.0125.025.025.01610303013031035.0025.065.041105.

21、6 52105.2 42105.3 41max105.6 oxyMN LUuvMNLxyyyvvyxxyyyuxxvxxuujviuU),(yxuu ),(yxvv 點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫向向位位移移：N),(yxxuuxxuu點(diǎn)點(diǎn)的的縱縱向向位位移移：N),(yxxvvxxvv的的長長度度近近似似認(rèn)認(rèn)為為：NMuxxuuxNMxxuxMNMNNMMNxlim0 xxxxuxxlim0 xuyvxuyxxuxyvy同理可得：同理可得：oxyMN LUyxxyuvMNLxyyyvvyyuxxvxxuuyvxuyxxuxvxxuxxxvxyxy1tanxvxvxyyuyx同同理理可可得得：)2(lim00N

22、MLLMMNxyyxxy)(yuxv)(yuxvyvxuxyyxxuxyvyzwz)(yuxvxy)(zvywyz)(xwzuzxzkyjxikwjviuUzzyzxyzyyxxzxyx212121212121)(21TUUOxyjvi uUyxOoxiyjrMMUvuv uxiyj jviuU jviujvi u ijviiuijvii u uvu sincosjyixrjyixr vvu cossin sincosyxx cossinyxyxux 而xyyuxxxu sincosyuxu sin)sincos(cos)sincos(yvyuxvxu cossinsincos22xyyx)s

23、in(coscossin)(222 xyyxyx同理得 cossinsincos22xyyxx)sin(coscossin)( 222 xyyxyx。則：，分別記為，若將 yxx 2sin22cos22xyyxyx 2cos22sin22xyyxxyyx 、22xyyx 、1 1 2 2 3 3 1 )(1)(1)(1213331223211 EEE1 1 2 2 3 3 E1 E2 E3 OR3213211111 E332211212121 u)(31321 m令令：)(21)(21)(21213313223211 EEE)(221133221232221 Efvuu mmmmmmvu 212121)(mmmmEE Em ）（ 21mm 2322)21 ( 3mE 2321)(6)21 ( 3 E)(31133221232221 Euf)()()(61213232221 E 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料bs 0n0 bsbs ,1 2 pPP)(13211max E0 )(321 E0 23113m