礦大高數(shù)92二重積分的計算(2)課件

1、1 在直角坐標系下用平在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(d故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分.),(lim),(iiniiDfdyxf 10直角坐標系下的計算公式2xyoxdxxydyyddxdy第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算法二重積分的計算法2如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x , ba直角坐標系下的計算公式直角坐標系下的計算

2、公式)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 3為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD應用計算應用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,dxxAdyxfDba)(),(得得zyx)(xAaxb),( yxfz)(2xy)(1xy4axbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xydyyxfdxxxba)()(),(21 dxxAdyxfDba)(),()()(21),()(xxdyyxfxAdxxAdyxfDba)(),(dxdyyxfbaxx ),()()(

3、215.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D6若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.721 ydy y1 10 1 2 0 1 2 xxy x解法解法1 1. . I21dxdyyx21 dx2132121xdxx89xyx1221解法解法2 2. . Idxyx21dy2221yyx213212ydyy89y1xy2例例1. 1. 計算計

4、算,DdyxI 其中其中D D是直線是直線 , , 及及 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. . 21xy,xy 8Dxy2例例2. 計算計算,Ddyx其中其中D 是拋物線是拋物線 與直線與直線 xy2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 2 xy214oyx解解: 為計算簡便為計算簡便 , 先先x 后后y ，則，則xdyxDdyx21yd2122212ydyxyy2152)2(21ydyyy21623461234421yyyy845y2y2y2 xy9例例3. 計算計算,sinDydxdxx其中其中D 是直線是直線 0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知

5、, 先對先對 x 積分積分 積不出積不出,Dydxdxxsinxyd00sinxxd0cosx20sinxdxxx10求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形. dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 1033221026ydey).21(61e 例例4. 11xy 1例例 5 5 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如

6、圖積分區(qū)域如圖12822 yx2D22例例6 6. . 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020 xxydyxfxdydyxfxdI),(),(解解: : 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成: :yxo21D221xy 221DDD選取先對選取先對x積分，則積分，則將將DdxdyyxfI),(xdyxf),(20yd28 yy213解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 14例例8.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍立體的體積.xyzRRo解解: 設兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為:dxdyxRVD22822022xRdyxRdxxR