向?qū)W生展示數(shù)學之美

1、向?qū)W生展示數(shù)學宅美初中數(shù)學課外活動a摘體會新的數(shù)學課程標準，提出了義務教冇階段數(shù)學課程的總體目標，即：通過義務教冇階段 數(shù)學學習，學牛能夠獲得適應未來社會?；詈瓦M一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學 事實、數(shù)學活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學思想方法和必耍的應用技能；初步學會運用數(shù)學的思 維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活屮和其他學科學習屮的問題，增強應用數(shù)學的 意識；體會數(shù)學與h然及人類社會的密切關系，了解數(shù)學的價值，增進對數(shù)學的理解和學好 數(shù)學的信心；具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力，在情感態(tài)度和一般能力方面都能得到充分發(fā) 展。這表明新課標體系已革新了傳統(tǒng)課程體系，山過去的以學科中心逐漸轉(zhuǎn)向以

2、學生為本的 軌道上來。初屮數(shù)學教師必須以新課標為指導，著力構(gòu)建以人為本的數(shù)學課程體系，自覺遵 循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律,積極引導學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋 與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方 面得到進步和發(fā)展。只有教師盡快適應新課標，并將新課標貫穿于實際教學屮，才能為學生 的學習和終身發(fā)展奠定堅實的基礎。在教學過程屮，如何讓學住掌握知識，提高能力，培養(yǎng)良好的情感態(tài)度是新課程實施過 程中的核心問題。筆者認為：如來要使學牛學好數(shù)學，必須要讓學綸熱愛數(shù)學；要使學牛熱 愛數(shù)學，必須給學生展示數(shù)學z美。數(shù)學是研究客觀世界數(shù)雖關系和空間形式

3、的科學。數(shù)學 美即是蘊藏于它所特有-的抽象概念、公式符號、命題模型、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、推理論證、思維方法 之中的簡單、和諧、嚴謹、奇界等形式，它是數(shù)學創(chuàng)造的自山形式，它揭示了規(guī)律性，是一 種科學的真實美。數(shù)學中美的因素是多方面的、具體的、意義深刻的，其主要表現(xiàn)在以下四 方面：一、簡單性。簡單性是美的特征，也是數(shù)學美的基本內(nèi)容。數(shù)學的簡單美具有形式簡潔、秩序、規(guī)整 和高度統(tǒng)一的特點，還具有數(shù)學規(guī)律的普遍性和應用的廣泛性。例如，眾所周知的三角形、 平行四邊形、梯形的面積公式，形式簡潔規(guī)整，應用廣泛普遍。在梯形的面積公式s=l/2 （a + b） h （a為上底，b為下底，h為高）中，當a=0吋變成三角形的

4、面積公式；當心）時， 變成平形四邊形的面積公式，這種既有區(qū)別乂有聯(lián)系、既對立乂統(tǒng)一、從量變到質(zhì)變的辯證 方法在數(shù)學中處處可見。其思維方法引入深思。在解決數(shù)學問題的過程屮，把看似復雜的問題，化歸到最簡程度，是展示數(shù)學美的重要 方法。例1：19世紀，法國數(shù)學家劉卡在一次國際會議期間，當來自各國數(shù)學家出席的宴會結(jié)束時, 向在場的人們提出如卜-有名的“劉卡問題”：每天中午，某航運公司有一艘輪船從巴黎開往紐約。與此同時，該公司還有一艘船從 紐約開往巴黎。假定該公司的所有輪船，在航途中以同速勻速前進，所花的時間正好是7 天7夜，并且在大西洋中行駛同一彳亢線，兩船交錯時彼此都能看見.那么今天中午從巴黎 開出

5、的輪船到達紐約時，將會遇到多少艘自己公司對面開來的輪船？為尋找解決問題的思路，我們無妨把問題約簡到最簡程度：假使所花的時間是一天一夜，其余條件都不變。我們可進行如下思考：船出發(fā)，會遇到該公司昨天開出的期一條船, 途屮會辿到與此船同時開出的另一條船，到達時會遇到從對面剛出發(fā)的第三條船。所以， 途中（包括出發(fā)時和到達時）共遇對面開來的三條船。用這樣的思路，完全可以解決“劉卡問題”。為把問題解決肓觀化，我們述可以用“運行圖”來解答。依題意畫圖如下：圖中，兩斜線交點表示，從巴黎6號出發(fā)的船，在13號到達紐約時，與對面開來相遇 的船,共13艘。例2：均分溶液4個容積相同的量杯分別盛滿4種不同的液體，還有

6、一個容積相同的空量杯。請你不借 用其它用具，把4種不同的液體分成4杯成分相同的液體。（量杯上有刻度，且任兩種液體 混和后能自動呈均勻狀態(tài)）【講析】：在此題屮，我們著重訓練一種重要的數(shù)學思維方法，即我們在研究某種較復 雜的過程時，往往要把這個過程約減到最簡程度，而乂不失其一般性。在這種狀況下，往往 能找到解決較復雜問題的方法。i我們先來研究三個杯了，兩種溶液的情況：ii再考慮山個杯子，三種溶液的情況：（1）用i法把兩杯先均勻分開。（2）兩杯混合液各倒1/3入空杯。（3）用第三杯溶液把其余三杯添滿。ill如果是四種溶液五個杯子的情況，可根據(jù)ii法先把三種溶液均分在三個杯了內(nèi)，然 后各倒1/4入空杯

7、。最后，把第四種溶液均分在四個杯子中即可。二、和諧性。各種白然形態(tài)，特別是動植物的生態(tài)以及人類的許多造物形態(tài)都有蘊含豐富的數(shù)學關 系，有豐富的對稱美、和諧美。作為反映和研究客觀規(guī)律的數(shù)學科學，集中反映了這種美的 特征。數(shù)學美的和諧性是指數(shù)學內(nèi)容與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備和數(shù)學所表現(xiàn)出的均衡對稱。例:蜂窩結(jié)構(gòu)蜜蜂的蜂窩構(gòu)造非常精巧、適用而且節(jié)省材料。蜂房由無數(shù)個大小相同的房孔組成，房 孔都是正六角形，每個房孔都被具它房孔包圍，兩個房孔之間只隔著一堵蠟制的墻。令人驚 訝的是，房孔的底既不是平的，也不是圓的，而是尖的。這個底是由三個完全和同的菱形組 成。有人測量過菱形的角度，兩個鈍角都是109°

8、而兩個銳角都是70°。令人叫絕的是，世 界上所有蜜蜂的蜂窩都是按照這個統(tǒng)一-的角度和模式建造的。蜂房的結(jié)構(gòu)引起了科學家們的極大興趣。經(jīng)過對蜂房的深入研究，科學家們驚奇地發(fā)現(xiàn), 相鄰的房孔共用一堵墻和一個孔底，非常節(jié)省建筑材料；房孔是正六邊形，蜜蜂的身體基本 上是圓柱形，蜂在房孔內(nèi)既不會有多余的空間乂不感到擁擠。蜂禽的結(jié)構(gòu)給航天器設計帥們很大啟示，他們在研制時，采用了蜂禽結(jié)構(gòu)：先用金屬制 造成蜂窩，然后再用兩塊金屬板把它夾起來就成了蜂窩結(jié)構(gòu)。這種蜂窩結(jié)構(gòu)強度很高，重量 乂很輕，還有益于隔音和隔熱。因此，現(xiàn)在的航天飛機、人造衛(wèi)星、宇宙飛船在內(nèi)部大量采 丿ij蜂窩結(jié)構(gòu)，衛(wèi)星的外壷也兒乎全部

9、是蜂窩結(jié)構(gòu)。因此，這些航犬器乂統(tǒng)稱為“蜂窩式航犬 命o蜂窩化石三、嚴謹性。嚴謹性是數(shù)學的獨持之美。它表現(xiàn)在數(shù)學定義準確地揭示了概念的木質(zhì)屬性；數(shù)學結(jié)論 存在且唯一，對錯分明，不模棱兩可；數(shù)學的邏輯推理嚴密，從它的公理開始到演繹的最后 一個環(huán)節(jié)不允許有一句假話，即使錯一個符號也不行。此外，數(shù)學結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)調(diào)完備，數(shù)學 圖形美麗和諧，數(shù)學語言生動嚴密等等都表現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性。這樣，對它所推出的結(jié)論的 正確性人們確信無疑，達到盡善盡美，令人陶醉的境界。數(shù)學美的這種嚴謹性，要求數(shù)學工 作者具有實事求是，謙虛謹慎，孜孜不倦地追求真理的美徳，這正是數(shù)學美的倫理價值所在。在數(shù)學活動中讓學生感受數(shù)學嚴謹之美筆者

10、采用以下兒種方法：1、分析思維訓練，例：中國民間趣題:李白街上走，提壺去打酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？題意：李白不等壺中酒t就上街買酒。先遇一個酒店，便買灑將壺中灑增加一倍，有看 到一處花景，便賞花飲酒喝去一斗。如此三次，恰好把壺屮酒喝干。李白壺屮原有多少酒？此題可用逆推法易得結(jié)論2、邏輯趣味訓練，例：說謊部落迷題（i）某海島上有兩個土著部落。一個部落的人只說謊話；另一部落的人則很誠實，不說謊話。 他們相距很近，兩個部落的人經(jīng)?；ハ啻T。一犬，一個游客上了海島來到某一部落。他想知道這究競是哪個部落。一進村，正好碰 見一個人。游客問：“這是你的部落

11、嗎？ ”對方回答：“不是?！庇慰妥屑毾肓讼?，很快判斷出他來到的這個地方是哪個部落。他是如何判斷的？【講析】：如果游客到的是誠實的部落，遇到的是誠實的人，回答應為“是”。若遇到來 串門的說謊者，他不會說實話，回答也只能為“是”。這樣，游客若來到誠實部落不管遇見 誰，都不可能得到“不是”的冋答。只有游客來到說謊部落時，這個部落的人冋答“不是”, 而來串門的誠實部落的人也會回答“不是”。因此斷定，游客來到的是說謊部落。說謊部落迷題（ii）某海島上有兩個土著部落，一個部落的人總是說謊話，而另一個部落的人總是說真話。 一位旅行者來到這個島上，遇見一高一矮兩個土著居民。旅行者問高個子：“你是說真 話的人嗎

12、？ ”高個了回答：“奧匹甫?！甭眯姓呱虾uz前學過幾天土著話，但記不清“奧匹 甫”的意思是“是”還是“不是”，但肯定是兩者之一。旅行這乂問矮個子：“高個子說的'是' 是還是'不是'？ ”矮個子回答他說的是'是'，但他是個說謊者，千萬別相信他?！甭眯姓呃Щ罅耍珎€子的話能信嗎？【講析】：不論遇到誰，用“你是說真話的人嗎？ ”提問，回答總是一樣的，就是“是”。 這樣可斷定“奧匹甫”是“是”的意思。而矮個子的人回答正確，故矮個子是誠實的人，誠 實的人不說謊，故矮個了說高個子是“說謊者”也是正確的。3、悖論，例：理發(fā)師悖論一個男理發(fā)師的招牌上寫著：城里所

13、有不自己刮胡子的男子都由我來刮，我也只給這些 人刮胡子。誰給理發(fā)師刮胡子呢？【講析】：悖論在科學發(fā)展史上占冇重要的位置。以下兒題介紹兒個著名的悖論，使讀者 對這方面的知識有所認識，提高讀者對現(xiàn)代數(shù)學所具有的美妙、多樣、甚至幽默性質(zhì)的鑒賞 力。所謂悖論，可以這樣來描述，當你為解決某個問題遵循著一條無懈可擊的推理思路往前 走的吋候，不需多久，忽然發(fā)現(xiàn)自己己陷入才盾之中而不可自拔。這種問題就是悖論。從古希臘起至今，悖論一直給人們帶來很大的樂趣。更重要的是，最偉大的數(shù)學家總是 極嚴肅地對待悖論，因為對它的研究不斷推動著科學的發(fā)展。這個理發(fā)師悖論是伯特蘭德羅素提出的?，F(xiàn)在來考慮此悖論中的問題：誰來給理發(fā)

14、師刮胡子呢？若他的胡了是別人給他刮的，但按照他招牌上所言，凡是不是自己刮胡了的人都由理發(fā) 師來刮，這樣他的胡子應由他理發(fā)師一一自己來刮。若真是這樣的話，根據(jù)招牌所言, 理發(fā)師只給不給自己刮胡子的人刮胡子，又作何解釋呢？理發(fā)師的胡子自己刮不對，自己不刮也不對。理發(fā)師掛出的招牌就是一個悖論。鱷魚悖論希臘哲學家喜歡講一個鱷魚的故事：鱷魚從一位母親懷里搶走了一個小孩。母親苦苦哀 求，請鱷魚放了孩子。鱷魚說：“你只要回答我一個問題：我會不會吃你的小孩？你若答對 了，我就把孩子還給你；你若答錯了，我就吃掉這個孩子?！蹦赣H回答：“啊，啊？你是要吃 掉我的孩子的?！甭牭侥赣H的回答，鱷魚懵了，母親的回答是錯還是

15、對，他是該吃掉這個孩 子還是該放呢？【講析】：鱷魚怎樣想呢？我若把孩子吃掉，就說明母親猜對了，猜對了，就應該把孩 子還給她，但若把孩子還給她，乂分明是她猜錯了，她猜錯了，我就應該把她的孩子吃掉, 吃掉孩子，分明是她猜對了于是，鱷血陷入了一個邏輯怪圈之中。梵學者的預言梵學者自稱能預見未來。一天，他同女兒蘇娜發(fā)生爭論： 蘇娜：你是個大騙子，爸爸，你根本不能預見未來。梵學者：我肯定能。我預測過很多事情，從不出差錯。蘇娜：那好，馬上來驗證一下。說著，蘇娜在一張紙上寫了 一句話“幾分鐘后你將寫個不字?！睂懲旰?，蘇娜把紙 條折起來，壓在水晶球下。蘇娜：我這里寫了一件事情。幾分鐘后它可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。

16、你若預見它發(fā)生， 就寫一個“是”字，你若預見它不發(fā)生，就寫一個“不”字。爸爸，你能猜準這件事，那你 就不是騙子?！奔毾胂耄鸿髮W者能贏嗎？【講析】：這個悖論可以寫成最簡單的形式。規(guī)則：只能用“是”或“不”回答問題。問題：你下句話要講“不”，是不是？若回答“是”，表明你同意問題結(jié)論。而問題結(jié)論是你要講“不”，為什么你要說“是” 呢？若回答“不”，表明你不同意問題結(jié)論。而問題結(jié)論是你要講“不”，既然你已講了 “不” 表明問題結(jié)論是對的，既然問題結(jié)論對，為什么你要說“不”呢？這樣，回答“不”也不對，“是”也不對。這個問題無法回答。介紹的兒個悖論到此為止。若讀者冇某種疑惑，某種質(zhì)問，從而產(chǎn)生某種興趣，我

17、們 的目的就達到了。兒乎所有的數(shù)學家都研究過一些悖論，提出過一些發(fā)人深省的問題。正是由于人們対 悖論的研究，導致了二十世紀數(shù)學的重耍成果哥德爾不完備定理的產(chǎn)生。諳讀者在這方 面去尋求新的知識吧。四、奇異性。數(shù)學中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出了一種獨特的令人驚訝 的奇異美。好似天工巧設，出神入化，給人一種奇異的美感。數(shù)學美的奇異性，還表現(xiàn)在學牛對一個數(shù)學問題強烈的解決欲望。如：讓學生觀察上圖，能否發(fā)現(xiàn)其中的矛盾，激發(fā)學生解決問題的強烈欲望。向?qū)W牛介紹我國數(shù)學發(fā)展的歷史，介紹我國古代數(shù)學家的杰出成就和現(xiàn)代數(shù)學家對數(shù)學 發(fā)展的巨大貢獻，既激發(fā)了學生的學習興趣，也對他們進行了愛國

18、主義教育，增強了他們的 民族自尊心、自信心和自豪感。勾股定理教學詩歌古代數(shù)學里程碑，勾股定理放光輝。周髀算經(jīng)測天文，西周商高答周公；勾三股四徑隅五，由此定名垂千古。 （1） 巴比倫有泥板書，考證記載勾股數(shù)。（2） 古希臘人畢達氏，證明定理用割補。（3）印度文明佛教國，梵藏著作述“折竹”。（4） 要問誰家數(shù)第一，中華最早明勾股。龍的傳人黃皮膚，科學高峰摘明珠。（5）注：（1）我國放早的一部數(shù)學及天文著作周髀算經(jīng)記載了勾股定理。該書稱直立的竿為“股”，地 面上的日影為"勾”，桿頂，影端的長為“弦”。于是這個定理就記為：勾+股二弦這就是勾股定理名稱的來歷。周髀算經(jīng)是公元前一世紀的著作。該書

19、一開始，就記載了我國周朝初年（約公元前1100多年）周 公與當時學者商高關于言角三角形性質(zhì)的-段對話：圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折 環(huán)而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是“昔者，周公問丁商高f1：'竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不得 尺寸而度，請問數(shù)安從出？'商高f1 '數(shù)之法出于圓方， 雉以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。既方其外，半之一雉， 謂積畸。 ”請問古代伏潑是如何確定天地的度數(shù)的？耍知道人意是說，從前，周公問商高：“我聽說您精通f數(shù)， 天是不能用梯子攀登上去，地無法用尺子來測量，那么數(shù)是從哪里來的呢？ ”商高回答說：

20、“數(shù)的方法是從 研究圓形和方形中開始的，圓形由方形產(chǎn)生，方形則是由折成直角的矩尺產(chǎn)生的。在研究矩形前需耍知道 九九口訣。設想把一個矩形沿對角線切開，使得短直角邊（勾）的長為三，長直角邊（股）的長為四，斜 邊（弦）長則為五。以弦為邊長作一個正方形，并用四個上述半矩形（直角三角形）把它圍起來拼成一個 方形盤。從它的總面積四十九屮減去原來兩個被切開的矩形面積，便得最初所作正方形而積為二i五。由 此可知，勾三股四必有弦五，這種方法稱為“積矩”。后人把商高的一段話畫成圖形，稱為'弦圖”：容易知道，這實際上給出勾股定理的一種證明方法。（2）古代巴比倫用泥板書來記載文字（培燒過的黏土書板，書板冇大冇

21、小，小的只有幾平方英寸，最 人的和一般教科書人小差不多，屮心人約冇一英寸半厚）考古家對上面的文字做出成功的破譯。發(fā)現(xiàn)上面 有關勾般數(shù)的知識。（3）據(jù)西方國家記載，古希臘數(shù)學家畢達哥拉和他的學生們于公元前六吐紀在意大利南部的克羅之島 （croton）組成了一個學術性團體，這就是數(shù)學史上著名的畢達哥拉斯學派，他們在公元前550年，也是用割補的方法證明了這個定理。據(jù)說，為此還殺了 100頭牛，開了三天的隆重慶典大會，因此，國外稱這 個定理為“畢達哥拉斯定理”。盡管如此，他比商高提出并址明的時間晩了 550年。（4）印度梵藏著作中（公元七|比紀）記載了應用勾股定理的“折竹問題”：竹高十八尺，為風所折， 竹尖抵地、離跟六尺，求兩段之長。（5）勾股定理在周髀算經(jīng)屮沒有給出一般性的證明。到公元三世紀，三國時代的吳國人趙爽（字 君卿），在他的著作周髀算經(jīng)注后附了一個文獻一一勾股鬪方i員i，對勾股定理給出了嚴格而巧妙的 證明（在教材習題屮專門介紹了這種方法）。這種方法穿到兩方后，引起了很人注意。國外許多數(shù)學家都認 為這是“最省力的證明方法”。與古希臘的證明方法有“完全不同的色彩”。在國外，直到公元二十世紀， 巴斯達拉才給出類似的證法。勾股定理對世界數(shù)學發(fā)展冇巨人的影響，是我國古代數(shù)學的一項輝煌成果。在講授勾股定理時，教師 應在課外活動