帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的休假可中止的M-M-1工作休假排隊(duì)

1、帶關(guān)閉和啟動(dòng)期休假可中止的M/M/1工作休假排隊(duì)潘小春，朱翼雋（江蘇大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013）摘要: 考慮帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的休假可中止的M/M/1單重工作休假排隊(duì).服務(wù)員在休假期間并未完全停止工作而是以較低的速率為顧客服務(wù).同時(shí),引入一種新的策略:如果在工作休假期間,顧客數(shù)達(dá)到一定的數(shù)量,服務(wù)員可中止工作休假而轉(zhuǎn)入正規(guī)忙期.這種休假策略稱為休假可中止.運(yùn)用擬生滅過(guò)程和矩陣幾何解方法給出了該模型的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的分布和逗留時(shí)間的LST,并證明了隊(duì)長(zhǎng)和逗留時(shí)間的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu).關(guān)鍵詞: 工作休假;休假可中止;關(guān)閉和啟動(dòng)期;擬生滅過(guò)程;矩陣幾何解中圖分類號(hào):O226 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: AThe M/

2、M/1 Queue with Close-down and Set-up period and Single-working Vacation and Vacation interruptionLIU Hai-yan, ZHU Yi-jun,WANG Feng-jia(Faculty of science ,Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)Abstract: Considering an M/M/1 queue with close-down and set-up period and single-working vacation an

3、d vacation interruption. The server works at a lower rate during the working vacation rather than stops working. Meanwhile, a new policy is introduced: the server can come back from the vacation to the normal working level once some indices of the system, such as the number of customers , add to a c

4、ertain value in the vacation period. The server may come back from the vacation without completing the vacation. Using quasi-birth-death process and matrix-geometric solution method, the steady-state distributions for queue size and the LST of sojourn time are obtained. Additionally, the structure o

5、f stochastic decomposition of the queue size and the sojourn time are proved.Key words: working vacation; vacation interruption; close-down and set-up period; quasi birth and death process; matrix-geometric solution. 1 引言工作休假是一種半休假策略，它是由Servi和Finn（2002）引進(jìn)的：在休假期間內(nèi)服務(wù)員不是完全停止為顧客服務(wù)而是以低速服務(wù)，稱這樣的休假策略稱為工作休假。

6、Servi和Finn1研究了多重工作休假的M/M/1排隊(duì)，得到了系統(tǒng)中顧客數(shù)分布的PGF和逗留時(shí)間的LST，并且把結(jié)果用于光纖通信網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)關(guān)路由器的性能分析中。在工作休假之后的一個(gè)新熱點(diǎn)是休假可中止的工作休假。文獻(xiàn)2-5分別研究了M/M/1、M/G/1、GI/M/1、GI/Geom/1休假可中止的多重工作休假排隊(duì)。2009年汪文飛6利用分塊矩陣表示出嵌入馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣，運(yùn)用矩陣幾何解的方法求得到達(dá)時(shí)刻隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布，而且證明了其可以分解為三個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布的和。_收稿日期:2011-基金項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70571030,10571076）作者簡(jiǎn)介:潘小春（1984-

7、),男,碩士研究生.研究方向:排隊(duì)論. Email:379089774朱翼雋(1945-),男,安徽歙縣人,教授,博士生導(dǎo)師.研究方向:排隊(duì)論和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò). Email:yjzhu文獻(xiàn)7通過(guò)應(yīng)用矩陣幾何解的方法得到了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)和逗留時(shí)間的分布，而且給出的特例驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性。本文在文獻(xiàn)7基礎(chǔ)上把工作休假擴(kuò)展為休假可中止的工作休假，如果休假期間的服務(wù)速率退化為零,就得到經(jīng)典的帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的M/M/1的單重休假排隊(duì)例如在火車站的售票過(guò)程中，即使在節(jié)假日也要留有一定的售票員待崗。如果是重要節(jié)日如春節(jié)、國(guó)慶節(jié)，那么購(gòu)票的人就相當(dāng)多，這時(shí)為了保證乘客的需求，就有必要引入自動(dòng)售票服務(wù)系統(tǒng)來(lái)提高工作效率，這

8、就是說(shuō)售票員是以（人工）休假服務(wù)速率服務(wù)完一個(gè)乘客后，他發(fā)現(xiàn)排隊(duì)等待的人太多，他就會(huì)啟動(dòng)自動(dòng)售票系統(tǒng)以更高的服務(wù)速率售票。可見(jiàn)休假可中止考慮了這一客觀事實(shí)因此所討論的模型具有很強(qiáng)的實(shí)際意義2 模型描述帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的休假可中止的M/M/1工作休假排隊(duì)描述如下：顧客到達(dá)間隔、正規(guī)忙期服務(wù)時(shí)間、工作休假服務(wù)時(shí)間、工作休假時(shí)間和啟動(dòng)時(shí)間分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布，系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)。有兩種可能的方式從工作休假轉(zhuǎn)入正規(guī)忙期:（1）工作休假期內(nèi)以速率完成一個(gè)服務(wù),并且系統(tǒng)中有顧客等待,則中止正在進(jìn)行的工作休假轉(zhuǎn)入正規(guī)忙期,若服務(wù)完成時(shí)系統(tǒng)中無(wú)顧客,則關(guān)閉系統(tǒng).新到達(dá)的顧客不能立即接受服務(wù),而是需經(jīng)歷一個(gè)

9、啟動(dòng)期,啟動(dòng)期結(jié)束后進(jìn)入一個(gè)正規(guī)忙期以速率接受服務(wù),正規(guī)忙期結(jié)束后進(jìn)入工作休假.（2）若某次工作休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)內(nèi)有顧客在場(chǎng),正在進(jìn)行的服務(wù)速率由轉(zhuǎn)換到,開始一個(gè)正規(guī)忙期;一次工作休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)內(nèi)無(wú)顧客,也關(guān)閉系統(tǒng),新到達(dá)的顧客也必須經(jīng)歷一個(gè)啟動(dòng)期,啟動(dòng)期結(jié)束后進(jìn)入正規(guī)忙期接受服務(wù),一個(gè)正規(guī)忙期結(jié)束后進(jìn)入工作休假.稱這樣的休假機(jī)制為休假可中止的工作休假策略。假定到達(dá)間隔、正規(guī)忙期的服務(wù)時(shí)間、工作休假期的服務(wù)時(shí)間、工作休假時(shí)間和啟動(dòng)時(shí)間是相互獨(dú)立的,服務(wù)規(guī)則是FIFO設(shè)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù), 表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài)定義則是具有狀態(tài)空間的馬爾可夫過(guò)程。其中狀態(tài)表示系統(tǒng)處于工作休假期且系統(tǒng)中有

10、個(gè)顧客;狀態(tài)表示系統(tǒng)處于啟動(dòng)期且系統(tǒng)中有個(gè)顧客; 狀態(tài)表示系統(tǒng)處于關(guān)閉期;表示系統(tǒng)處于正規(guī)忙期且系統(tǒng)中有個(gè)顧客將狀態(tài)按字典序排列, 過(guò)程的生成元矩陣可寫成其中由的形式知, 為擬生滅過(guò)程,在此模型中,矩陣方程 （1）的最小非負(fù)解起著重要作用,稱為率陣。定理 1 當(dāng)矩陣方程（1）有最小非負(fù)解 （2）其中證明 由于均為上三角陣,那么也是上三角的,即將代入（1）式,得到下述方程組 （3）為了得到（1）式的最小非負(fù)解，在（3）式的第6個(gè)方程中，我們?nèi)。硪桓鶠?），在第1個(gè)方程中，得到，由第2個(gè)方程，將它們代入第3個(gè)方程，得到，由第4個(gè)方程得到，將、代入第5個(gè)方程，得到。定理 2 QBD過(guò)程正常返當(dāng)且僅

11、當(dāng).證明 根據(jù)Neuts8中的定理3.1.1. QBD過(guò)程正常返當(dāng)且僅當(dāng)?shù)淖V半徑且方程組有正解這里 （4）顯然是不可約，非周期，有限狀態(tài)的生成元。因此有正解，所以正常返當(dāng)且僅當(dāng)。注意到且,上述關(guān)系意味著3 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布當(dāng)時(shí),設(shè)為擬生滅過(guò)程的穩(wěn)態(tài)極限,平穩(wěn)分布記為定理3 當(dāng)時(shí), 的聯(lián)合概率分布為 （5）這里證明 用矩陣幾何解方法8， （6）且 把（4）式中的代入上述方程中,得到方程組取,且把和代入（6）,得到（5）。最后,常數(shù)因子由正規(guī)化條件確定。同時(shí)，由（5）式可知,穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)處于四種狀態(tài)的概率分別為服務(wù)員處于關(guān)閉期服務(wù)員處于啟動(dòng)期4 隊(duì)長(zhǎng)和逗留時(shí)間的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)定理 4 當(dāng),系統(tǒng)中的顧客數(shù)可

12、分解成兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和,其中是經(jīng)典無(wú)休假的M/M/1排隊(duì)中穩(wěn)態(tài)下的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)且服從參數(shù)為的幾何分布,由單重休假可中止的工作休假引起的附加隊(duì)長(zhǎng)服從修正的幾何分布 (7)其中證明 由（5）式知, 的概率母函數(shù)可寫成可以證明。因此，確是一個(gè)PGF.把展成的冪級(jí)數(shù)，我們得到附加顧客數(shù)的分布，最后我們給出（7）式。注1 定理4的結(jié)果表明附加隊(duì)長(zhǎng)可寫成四個(gè)隨機(jī)變量的混合：，其中在集合上分別服從參數(shù)為和的幾何分布。由定理4中的分解結(jié)構(gòu),我們有下列均值公式定理 5 當(dāng),逗留時(shí)間可分解成兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和: ,是對(duì)應(yīng)無(wú)休假M(fèi)/M/1排隊(duì)系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)逗留時(shí)間,服從參數(shù)的指數(shù)分布；附加延遲有修正的指數(shù)分布，其

13、LST為其中證明 系統(tǒng)中的顧客數(shù)的PGF與逗留時(shí)間的LST之間的經(jīng)典關(guān)系9由定理4，系統(tǒng)中的顧客數(shù)的PGF如下所示： （8）在（8）中取，記，注意到把上述結(jié)果代入（8）式，我們有容易驗(yàn)證，因此，是一個(gè)LST，定理5得證。由容易得到注2 從上面的等式知，我們發(fā)現(xiàn)Little公式在帶關(guān)閉和啟動(dòng)期的休假可中止的M/M/1工作休假排隊(duì)仍然成立。5 數(shù)值例子在上面的分析中，我們得到了穩(wěn)態(tài)下平均隊(duì)長(zhǎng)與逗留時(shí)間的表達(dá)式下面我們將通過(guò)四個(gè)圖來(lái)考察平均隊(duì)長(zhǎng)與平均逗留時(shí)間隨工作休假服務(wù)率和啟動(dòng)率的變化趨勢(shì)參考文獻(xiàn):1 Servi L D,Finn S GM/M/1 queue ith working vacati

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