電路與電子技術-正弦穩(wěn)態(tài)分析ppt課件

1、1第第5章章 正弦穩(wěn)態(tài)分析正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1 基爾霍夫定律的相量式基爾霍夫定律的相量式5.2 歐姆定律的相量式歐姆定律的相量式 , 阻抗及導納阻抗及導納5.3 簡單交流電路的計算簡單交流電路的計算5.4 交流電路的功率交流電路的功率5.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸5.6 正弦電路中的諧振正弦電路中的諧振5 25.1 基爾霍夫定律的相量式基爾霍夫定律的相量式在交流電路中，對任何一瞬時而言，基爾霍夫定律都成立，用瞬時值表示為對圖5.1中的節(jié)點A而言，應有 i1-i2+i3=0 0:0:uKVLiKCL（5.1） 3圖5.1 節(jié)點電流i1i2i3A4由于在正弦交流電路中，所有激勵和響應都

2、是同頻率的正弦時間函數，因此可以用相應的相量表示為根據復數運算法則可知：各正弦電流旋轉相量的虛部的代數和等于所有旋轉相量的代數和的虛部，于是上式可改寫成 0)Im()Im()Im(321tjmtjmtjmeIeIeI0)Im(321mmmIII5顯然, 上式就是節(jié)點電流瞬時值的相量式。推廣后的一般表示式為 式(5.2)表明流入電路中任一節(jié)點電流相量的代數和恒等于0。同理可得到基爾霍夫電壓定律的相量式： （5.3） 0I （5.2） 0U65.2 歐姆定律的相量式歐姆定律的相量式 , 阻抗及導納阻抗及導納1. 單參數交流電路的歐姆定律及阻抗元件C和L上的電壓電流瞬時值關系式為可見它們不存在類似電

3、阻元件具有的歐姆定律的關系。R、L、C用相量式表示的歐姆定律為 dtdiLudtduCiLC及RUIIRURRR或:（5.4） 7上三式各分母項都具有阻礙電流通過的作用，它們的單位都是歐姆。為了統(tǒng)一表示上述關系，引入復數Z，稱為復數阻抗，簡稱復阻抗。對于不同的電路，復阻抗具有不同的意義。例如對電阻元件有Z=R，對電容元件有Z=-jXC，對電感元件有Z=jXL，于是式(5.4) 、(5.5)和(5.6)可統(tǒng)一表示為 LLLLCCCCjXUIIjXULjXUIIjXUC或或:ZIUZUI或（5.7） 82. 多參數交流電路的歐姆定律及阻抗實際電路往往由若干不同性質的元件組成。下面以圖5.2所示的R

4、LC串聯電路為例，推導出它們的歐姆定律的相量式及阻抗表達式。9 圖5.2 RLC串聯電路(a) 電路圖； (b) 相量模型圖RuiLuRuLuCRjXL j XCUCULURUI(a)(b)10由KVL知 u=uR+uL+uC相量式為把式(5.4)、(5.5)和(5.6)代入上式，得到式中,CLRUUUUZIjXRIXXjRIjXIjXIRIUCLCL)()()()(（5.8） jXRZXXXCL（5.9） 11有時需要把復阻抗寫成指數形式：Z=R+jX=zej （5.10）式中, RXXRzarctan22（5.11）12圖5.3 阻抗三角形zXRI13由式(5.11)知, R、X及z 三者

5、的關系可用直角三角形表示，如圖5.3所示。該三角形稱為阻抗三角形。這里小寫字母z表示復阻抗的模、簡稱阻抗；是復阻抗的輻角，或稱為阻抗角。若電壓相量是 , 電流相量是 , 則復阻抗ujUeU)(iujIeIjjzeeIUIUZiu)(5.10)14式中, 當電抗值不同時，電路呈現出以下三種不同的特征：(1) 當X0時，表明感抗大于容抗，電路呈現電感性，0，此時電壓相位超前于電流。(2) 當X0時，表明容抗大于感抗，電路呈現電容性，0，此時電流相位超前于電壓。 (3) 當 X=0時，表明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，電壓與電流同相，=0，此時電路如同純電阻電路一樣，這樣的情況稱為諧振。有關諧

6、振問題將在后面討論。 iuIUz（5.13） 15例5.1電路如圖5.2(b)所示，已知其中R=4，XL =3，XC =6 ，電源電壓 =1000V，試求電路的電流相量及各元件上的電壓，并畫出相量圖。 解 復阻抗為Z=R+j(X L-X C)=4+j(3-6)=4-j3=5-36.9 電流為各元件上的分電壓為UAZUI9 .36209 .3650100VRIUR9 .362016各元件的相量和為VXI jUVXI jUCCLL1 .531209069 .36209 .126609039 .3620VjjjUUUUCLR0100)9672()4836()4864(1 .531209 .12660

7、9 .368017 圖 5.4 例5.1相量圖(a) 電壓電流相量關系； (b) 各電壓相量； (c) 阻抗三角形36.9UI36.90100UCULURU 36.9(a)(b)(c)435183. 導納 比較方便。下面按圖5.5所示的RLC并聯電路，引出導納的概念及關系式。 19圖5.5 RCL并聯電路RuiiRiLiCL20設外加正弦電壓為 u=Um sin(t+u) 若各支路電流分別為iR、iL和iC，則總電流i為 i=iR+iL+iC 上式對應的相量式為 因為CLRIIIICCLLRjXUIjXUIRUI,21得到即UYUjBGUBBjGUCLjRXUjXUjRUICLCL)()()1

8、(1(5.14)YUI(5.15)22式(5.15)是歐姆定律的又一種相量表示式。式(5.14)中幾個符號的名稱和關系如下，其單位都是西門子(S)。電導電感電納電容電納RG1LXBLL11CXBCC123電納復導納 Y=G-jB復導納Y不是相量，所以符號上不加“”，只用大寫字母表示。CLBBBCL124復導納的指數形式表示為式中,由式(5.17)可知，G、B和y三個量的關系也可用直角三角形表示，稱為導納三角形，如圖5.6所示。 jyejBGY （5.16）GBBGyarctan22 （5.17）25圖5.6 導納三角形BGyU26就一段無源支路而言，既可以用復阻抗表示，也可以用復導納表示。一段

9、無源支路在同樣電壓下取得相同電流時，復導納與復阻抗互為倒數，即有從式(5.18)可以看出:=- （5.19）即阻抗角和導納角等值異號。ZY1275.3 簡單交流電路的計算簡單交流電路的計算1. 阻抗串聯電路如圖5.7所示，有n個復阻抗串聯。28圖5.7 阻抗串聯電路Z2Z1ZnUI1U2UnU29若每個阻抗元件的參數是 Z 1=R1+jX1 Z 2=R2+jX 2 = Z n=Rn+jX n每個阻抗元件都應服從歐姆定律的相量形式，即有nnZIUZIUZIU221130從式(5.20)知總電阻、總電抗和總復阻抗分別為R=R 1+R 2+ :+R n=X=X 1+X 2+ :+X n=Z=Z 1+

10、Z 2+ :+Z n= 串聯電路中各元件上的電壓分別是nkkR1nkkX1nkkZ1 （5.21）nnnnnnZZZZUZIUZZZZUZIUZZZZUZIU.212212212111 （5.22）31 例5.2 電路如圖5.8所示，已知電流相量 =50A，電容電壓UC=25V，阻抗Z1=(7.07+j12.07) 。求電路的總阻抗Z與端電壓 。解 電路中的容抗為電路中的總阻抗為電壓相量為UI5525IUXCC451007. 707. 707.1207. 751jjjZjXZCVIZU455005451032圖5.8 例5.2電路圖Z1UCUCI332. 阻抗并聯電路 有n個阻抗并聯，如圖5.

11、9所示。每個阻抗的參數分別是：Z 1=R 1+jX 1Z2=R2+jX 2 Zn=Rn+jX n每個阻抗元件上電壓電流關系都應服從歐姆定律，即34圖5.9 阻抗并聯電路IUZ1Z2Zn1I2InI35由KCL知nnZUIZUIZUI2211UYUYYYUZZZZUZUZUIIIInnnn).()1.11(.2121212136式中的Y為并聯電路總的復導納：Y=Y1+Y2+ :+Yn=當只有兩個復阻抗并聯時，有 nkkY1（5.24） 2121212111ZZZZZZYYY2121ZZZZZ（5.25） 373. 阻抗串并聯電路例5.3 如圖5.10(a)所示電路中，L=20 mH，C=10 F

12、，R1=50 ，R2=30 ， =1500V，=1000 rad/s。求各支路電流并畫出相量圖。 U38圖 5.10 例5.3電路圖(a) 電路； (b) 相量圖LCR2R11I2I63.426.62IUIU(a)(b)I1I39 解 容抗和感抗為 X L=L=10002010-3=20 并聯支路阻抗 Z2=R2+jL=30+j20 總阻抗 Z=Z1+Z 2=(40-j20)+(30+j20)=70 10010101000116CXC204010050)100(50)(111jjjjXRjXRZCC40各支路電流為 AjIjXRRIAjjIjXRjXIAZUICCC4 .6396. 0014.

13、 210050506 .2692. 1014. 210050100014. 270015011211414. 相量分析法的一般解題步驟應用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般步驟如下：(1) 將已知電壓、電流寫成相應的相量形式。為了運算或畫圖方便，一般選取初相為0的相量為參考相量； 若相量中初相均不為0，則可根據題意任選一個相量為參考相量。 (2) 把電路參數寫成相應的復阻抗或復導納形式，并畫出它們的相量模型電路圖。42一般串聯電路或僅含有兩條支路的并聯電路以復阻抗形式表示比較簡便，多支路并聯電路以復導納形式表示比較簡便。(3) 根據相量模型電路圖，應用基爾霍夫定律的相量式，列出相應的相量方程進行相量

14、運算。在運算中，若能畫出它們的相量圖，則可以幫助了解各相量之間的幾何關系，從而簡化計算過程。(4) 將求解出的相量式變換成相應的正弦函數的瞬時值表達式。435.復雜交流網絡的分析 交流復雜網絡的求解需要用第2章的所有定理和方法，例如支路電流法、網孔電流法、疊加原理、電壓源與電流源的等效變換以及戴維南定理等等。 445.4 交流電路的功率交流電路的功率5.4.1 基本元件的功率1. 電阻元件的功率設電阻元件R上的端電壓u為 u=Um sin(t+)則流過R的電流為 i=Im sin(t+) 45那么，電阻R上的瞬時功率p為p=ui=UmIm sin +2(t+) =UI1-cos2(t+) =U

15、I-UI cos(t+) 圖5.11所示。由于u和i同相, 因此瞬時功率恒為正，這表明電阻是個耗能元件。衡量電阻元件消耗功率的大小，用瞬時功率在一個周期的平均值，稱為平均功率或有功功率，單位是瓦（W）或千瓦（kW），用大寫字母P表示，即 UIdttUIUITpdtTPTT020)(cos11RURIUIP22（5.26） （5.27） 46圖 5.11 電阻元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖uRip，u，i0puiuipi0, u0, p0i0, u0, p0i0, u0, p023t(a)(b)472. 電感元件的功率 設電感元件中的電流和端電壓分別為i=Im sint和u=Um

16、sin(t+/2)，則電感元件的瞬時功率為如圖5.12所示。tUItIUttIUuipmmmm22sinsin21)2sin(sin48圖 5.12 電感元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖u，i，p0iupuLi23t(a)(b)49電感元件的平均功率（5.28）為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位是乏（var）或千乏（kvar），用字母QL表示，即 010TpdtTP2LLLIXIUQ（5.29） 50從第3章式(3.12)知電感的儲能為平均儲能為 tLILItILLitWL22222cos2121)sin2(2121)(（5.30） 221LIW

17、Lav513. 電容元件的功率對電容元件的分析過程和電感元件相同。設電容元件中的電流和端電壓分別為uC=UCm sint和iC=Imsin(t+/2)，則電容元件的瞬時功率為 tUItIUttIUuipmCmmmC22sinsin21)2sin(sin如圖5.13所示。52 圖 5.13 電容元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖u，i，p0iupuCi23t(a)(b)53電容元件的平均功率為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位也是乏（var），用字母QC表示，即010TpdtTP （5.31）2CCCIXIUQ （5.32）54由第3章式(3.6)知電

18、容的儲能為平均儲能為5.4.2 二端網絡的功率和功率因數圖5.14(a)所示為一線性無源二端網絡。tCUCUtUCCutWC22222cos2121)sin2(2121)(221)(CutWCav（5.33） 55圖 5.14 無源二端網絡的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖u，i，p0P=UIcosupiNui23(a)(b)t56為討論問題簡便起見，設i=Im sint u=Um sin(t+)則二端網絡的瞬時功率為p=ui=2UmIm sint sin(t+) =UIcos(1-cos2t)+sin sin2t =UI cos(1-cos2t)+UI sin(sin2t) （5.34

19、）式(5.34)表明二端網絡的瞬時功率為2個分量的疊加。第一項始終為正，它表示二端網絡從電源吸取的功率(其實就是電路中所有電阻R上消耗的功率之和)，其平均值為 57上式是計算正弦交流電路有功功率的一般公式。cos稱為功率因數; 角稱為功率因數角，其大小由電路的參數、頻率和結構決定。對于純電阻電路，=0，cos=1，P=UI；對于純電容或純電感電路，=/2，cos=0，P=0；一般情況下，01，cos1，PUI。式（5.34）的第二項表示二端網絡中的電抗元件與電源之間能量交換的速率，其振幅為UI sin，它表示二端網絡與外電路能量交換的規(guī)模，定義其為無功功率，用Q表示：cos)cos1 (cos

20、120UIdttUITPPTR（5.35） sinUIQ （5.36） 58電路中總的無功功率等于各電感元件和各電容元件的無功功率的代數和，即在交流電路中，把電壓有效值與電流有效值的乘積UI稱為視在功率或設備容量，用字母S表示，單位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，即 S=UI （5.38） XIXXIXIXIQQQCLCLCL2222)(（5.37） 59二端網絡的有功功率P與視在功率S的關系為 P=UI cos=S cos （5.39） 一般交流用電設備，如發(fā)電機、變壓器等都是按照安全運行規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN運行的，所以把UN和IN的乘積稱為額定視在功率，用SN表示，即S N=

21、U NI N （5.41）SPcos（5.40）60SN表示了電源設備可能提供的最大有功功率，該功率也稱為額定容量，簡稱容量。有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間的關系可用圖5.15的三角形表示，該三角形稱為功率三角形。 61圖5.15 功率三角形SQP62從功率三角形可看出P=UI cos=S cosQ=UI sin=S sinS2=P 2+Q 2S=arctan PQ（5.42）22QP 635.4.3 復功率把功率三角形放在復平面里，用復數來表示的功率稱為復功率，用 表示:例5.4電路如圖5.16所示，電源頻率為50 Hz，電壓為220 V，求：(1) 電路的功率因數cos，電路消耗的

22、有功功率P，無功功率Q； (2) 在電路a , b端并入一個80 F的電容后，電路的功率因數。 IUIeUeUIeUIejUIjQPSiuiujjjj )()()sin(cos（5.43） S64圖5.16 例5.4電路圖Cab4 j20 16 U65解 (1) 電路的阻抗為Z=4+16+j20=20+j20=20 45 功率因數為cos=cos45=0.707設電源電壓相量 =2200V, 則電路的電流為有功功率P為P=IU cos=7.782200.707=1210 W無功功率Q為Q=UI sin=7.782200.707=1210 var2UAZUI4578. 745220022066(

23、2) 并入一個80 F的電容后，電容的阻抗為電路的總阻抗變?yōu)楣β室驍礳os為cos=cos11.3=0.984010805014. 3212116jfCjCjZC3 .1189.438 . 843402016)40)(216(4jjjjjZ675.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸如圖5.17所示電路，設負載Z=R+jX，電源為 =U 00，電源的內阻抗為Z 0=r 0+jX 0。 0U68圖5.17 電路模型圖0UZ0ZLI69由電路圖知電流的有效值為負載獲得的功率為 )()(00000XxjrRUZZUI20200)()(xxrRUIRXXrRURIP)()(2020270由上式可知

24、，若r不變，僅改變X，則為了獲得最大功率，應使X+X0=0即 X=-X0 這時電路變?yōu)榧冸娮桦娐?，其功率為在X=-X0的條件下，改變R使負載獲得最大傳輸功率的條件應該是 從而可得出R=r0。RrRUP202)(0dRdP71綜上所述，負載獲得最大功率的條件是 R=r 0 及X=-X0 （5.44）用復數形式可以寫成Z=Z*0 （5.45）即負載阻抗為電源內阻抗的共軛值時（或稱負載阻抗與電源或信號源相匹配，這種匹配也稱為共軛匹配），負載可獲得最大傳輸功率，其最大功率為 020max4rUP（5.46） 72 例5.5 如圖5.18(a)所示，若ZL中的RL和XL均可改變，則ZL等于多少時，負載才

25、能獲得最大功率? 最大功率為多少？ 圖 5.18 例5.5電路圖2 2 j2 ZL200 VZLZ0ocU(a)(b)73 解 首先可求出ZL端口的戴維南等效電路，如圖5.18(b)所示。等效內阻抗為等效電源為所以，ZL獲得最大功率的條件是 ZL =Z* 0=1.2-j0.4 4 . 02 . 1222)22(2)22/(20jjjjZVjUoc56.2694. 8222202074ZL獲得的最大功率為 WRUPoc65.162 . 1494. 84202max755.6 正弦電路中的諧振正弦電路中的諧振5.6.1 串聯電路的諧振在圖5.19所示的RLC串聯電路中，電路的總阻抗為)1(CLjR

26、Z76圖5.19 RLC串聯電路RLSUCU77當L-1/(C)=0時，Z=R，阻抗角=0，電壓與電流同相。這種狀態(tài)稱為串聯諧振，其特點如下：(1) 阻抗為純電阻，且為最小值。設諧振時的阻抗為Z0，則 (2) 電流為最大值。設諧振時的電流為 ，則 0I220XRZZRUZUZUI0078(3) 諧振頻率為諧振時有則 LCfLC21100或CL001LC10（5.47） 79(4) 電感和電容上的電壓相等，且為激勵源電壓的Q倍。由于調諧時因此CL001UjQCRUjCI jUUjQURLjLRUjLI jUCL000000011（5.48）80其中,5.6.2 并聯電路的諧振在圖5.20所示的

27、RLC并聯電路中，其回路導納Y為 RCLCRRLQ001)(1222222LRLCjLRRLjRCjY81圖5.20 RLC并聯電路CRLSILICI82(1) 回路導納為純電阻性，且為最小值。設諧振時的導納為Y0，則Y=Y 0=G-jB=由于Y0為最小值，因此Z0為最大值。當電路的品質因數Q= 很大時，有Z=Z 0= (2) 電壓為最大值。設諧振時的電壓為U 0，則由于IS恒定，Z0為最大，因此U0為最大值。222LRRRCL/RCLSSIZYIU00083(3) 諧振頻率為 由于諧振時 因此可求出 2201LRC0222LRLC2201LRLC84(4) 電感和電容上的電流大小、相位相反，

28、且為激勵電流的Q倍。由于因此當Q值較大時，有SCSLSCIjQIIIIjQCjUI)1 (0CLIIjQI85習題習題5 1. 試求題圖5.1所示各電路的輸入阻抗Z和導納Y。86題圖 5.140 j40 40 j40 CCRR1 1 j j 1 j j2 (a)(b)(c)(d)87 2. 已知題圖5.2所示電路中 =20A，求電壓 ，并作出電路的相量圖。 ISU題圖 5.24 j3 j5 SUI88 3. 電路如題圖5.3所示， 試求 和 ，并畫出表示它們關系的相量圖。題圖5.3,4510VUCLRCUIII,Uj3 j0.5 ULURICUCI894. 電路如題圖5.4所示，已知 =40A， =80+j200 V，=10 +3 rad/s，求電容C。IUR0.1 HLC20 UI題圖5.4905. 電路如題圖5.5所示，已知R=50 ，L=2.5 mH，C=5 F， =100 V，=10 +4 rad/s，求 和 , 并畫出相量圖。 ULRCIII I題圖5.5RLCUIRILICI