證明數(shù)列不等式之放縮技巧及縮放在數(shù)列中的應用大全

1、證明數(shù)列不等式之放縮技巧以及不等式縮放在數(shù)列中應用大全證明數(shù)列型不等式，其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧，充滿思考性和挑戰(zhàn)性。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s.一、利用數(shù)列的單調(diào)性例1證明：當時，. 證法一：令，則,所以當時，.因此當時，于是當時， 證法二：可用數(shù)學歸納法證.(1)當n = 6時，成立. (2)假設(shè)當時不等式成立，即 則當n=k+1時， 由(1)、(2)所述，當n6時，.二、借助數(shù)列遞推關(guān)系例2.已知.證明：.證明：，.例3. 已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項數(shù)列滿足=l， (1) 試比較與的大小，并說明

2、理由； (2) 設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當n2時,Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1) 因為所以,因為所以與同號，因為，即（2）當時，所以，所以.例4. 已知不等式其中為不大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列的各項為正且滿足.證明：，.證明：由得：, , , ,以上各式兩邊分別相加得：，=， .3、 裂項放縮例5.求證: 解析:因為,所以又 當時,當時,當時,所以綜上有.例6.已知，求證：證明：由于 例7. 已知，數(shù)列的首項.(1) 求證：；(2) 求證：時.證明： ，都大于0，.（2） ，.故,又，. , . 四、分類放縮

3、例8.當時，求證:證明:當時不等式顯然成立.例9. 已知.證明：對任意整數(shù)，有.分析：不等式左邊很復雜，要設(shè)法對左邊的項進行適當放縮，使之能夠求和。 而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：，因此，可將保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對進行分類討論，（1）當為偶數(shù)時， （2）當是奇數(shù)時，為偶數(shù)，.所以對任意整數(shù)，有。 五、利用函數(shù)單調(diào)性（導數(shù)）放縮例10. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當n2時,.分析：第（1）問用數(shù)學歸納法證明

4、；第（2）問利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。證明：()先用數(shù)學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立；（2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,因為0<x<1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0. 因為,所以,即>0,從而() 因為

5、 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= , 因為, n2, 所以 <<= 由 兩式可知: . 例11.求證：. 證明:先構(gòu)造函數(shù)有,從而因為 所以高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)，且多是在壓軸題中出現(xiàn)。放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強，形式復雜，運算要求高，往往能考查考生思維的嚴密性，深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能。本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用。一、 放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例1. 滿足：（1） 用數(shù)學歸納法證明：（2） ，求證：解：(1)略(2

6、) 又 ， 迭乘得： 點評：把握“”這一特征對“”進行變形，然后去掉一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法，似乎是不可能的,為什么？值得體味！二、放縮后裂項迭加例2數(shù)列，其前項和為求證：解：令，的前項和為當時， 點評:本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項不變，從第四項開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。例3.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為（1）用表示出（2）若在上恒成立，求的取值范圍（3）證明：解：（1）（2）略（3）由（II）知：當令且當令即將上述n個不等式依次相加得整理得點評：本題是2010湖北高考理科第21題。近年，以函數(shù)為背景建立一個不等關(guān)系，然后對變量進行代換、變形，形成裂項迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢，應特別關(guān)注。當然，此題還可考慮用數(shù)學歸納法，但仍需用第二問的結(jié)論。三、 放縮后迭乘例4.（1） 求（2