物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)

1、rorlsinlrmvlvvmlrprmv 剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體. （任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組） 剛體剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng). 剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng)：若剛體中所：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線于它們的初始位置間的連線. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng) . 轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛

2、體的平面運(yùn)動(dòng) . 剛體的一般運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+zmramfiitt)(2)(iiirmmiiiiiramfrmtt)(imiroitfra t22)()(iiiiirmrmmmjm 2iirmj 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 . 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律jm 2iirmj 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.注意注意單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2mrj

3、 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 niiirmj12質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布dmrjm2單位單位: :千克千克米米2（kgm2）lo ordr 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 oo 為為 處的處的質(zhì)量元質(zhì)量元 rrmddrrmrjddd22 討論：討論： 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化 .rd2l2lo o20231dmlrrjl轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒22/02121d2mlrrjl轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒2dmrdr l232djr dmlr d

4、r340122rjdjlr drr lrmlrdr。l2mr l212jmr則有由于ozrdrrl 2222225212121282155orrjdm rr dz r( rz) dzrmr225ojmrrzordzzm2cjjmd miririd xcyio 222112cosnni iiiiiijm rmrddr 221112cosnnniiiiiiiiim rm ddm r 1niiim x 0mm2a2ao22maj 圓圓 22cjjma 桿桿c2243mama ojjj 圓圓桿桿2296ma ozyxzxyjjj 對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于板面內(nèi)與oz軸交于

5、一點(diǎn)的兩相互正交軸ox和oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量212zxyjjjmr214xyjjmr 若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。即ijj1m l2mrzzjjj桿球2221221235mlm rmlr 例如：例如：有質(zhì)量為 ,長(zhǎng)為 的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為 ，半徑為 的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2m1mlr竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？ 例例1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與

6、一固定鉸鏈 o 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng). 由于此豎由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈o 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度和角角時(shí)的角加速度和角速度速度.lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得nfjmglsin21ml2lopnf式中式中231mlj ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義ds

7、in23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgjmglsin21ml2lopnf 例例2 有一半徑為有一半徑為r質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤, 以角速度以角速度0 0繞繞通過(guò)圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng). .若有一個(gè)與圓盤大小相若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗稱剎車片俗稱剎車片) )擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤, ,故而有正壓故而有正壓力力n n 均勻地作用在盤面上均勻地作用在盤面上, , 從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢. .設(shè)正設(shè)正壓力壓力n n 和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出和剎車片與圓盤間的摩

8、擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出. .試試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)? ? 解解: 在圓盤上取面積微元在圓盤上取面積微元, 面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小大小rlrnrfrfddd20rl drdffd剎車片剎車片面積微元所受摩擦力矩面積微元所受摩擦力矩rlrnrfrfddd2圓環(huán)所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩22202d2ddddrrnrlrrnrfrmrf圓盤所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩nrrrnrmmr32d2d022圓盤角加速度圓盤角加速度43mnjmrnmrt0043停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)0rl drdffdrcgmffcanxy* * 例

9、例3 如圖一斜面長(zhǎng)如圖一斜面長(zhǎng) l = 1.5m, 與水平面的夾角與水平面的夾角 = 5o. 有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端, 然后由頂端沿然后由頂端沿斜面向下滾動(dòng)斜面向下滾動(dòng), 一個(gè)物體是質(zhì)量一個(gè)物體是質(zhì)量 m1 = 0.65kg、半徑為、半徑為r1 的實(shí)心圓柱體的實(shí)心圓柱體, 另一物體是質(zhì)量為另一物體是質(zhì)量為 m2 = 0.13 kg 、半徑、半徑 r2 = r1 = r 的薄壁圓柱筒的薄壁圓柱筒. 它們分別由斜面頂端滾到斜它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間? 解解: 物體由斜面物體由斜面頂端滾下頂端滾下, 可視為質(zhì)可視為

10、質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成.cgmffcanxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程cmafmgfsin轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律jrffraac角量、線量關(guān)系角量、線量關(guān)系2sinrjamgmajmrmgra22sin3sin21ga 2sin2ga 112 alt 實(shí)心圓拄實(shí)心圓拄222 alt 空心圓筒空心圓筒。mgnfccxhcmgnfccxhc 解：解：1）沿光滑斜面，圓柱體僅作滑動(dòng)；沿水平面達(dá)到純滾動(dòng)前作滑滾運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)方程為：動(dòng)力學(xué)方程為：2021212cmg hrmvmgmamgrmr由以上三式解得：由以上三式解得：022cvg hragg r 002

11、2ccvva tg hrgttgt rcvr0233g hgtgvr22200022011232935185vvv tatgxhrggvg 例例 5 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 a 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為 r、質(zhì)、質(zhì)量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 c，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為 的物的物體體 b 上上. 滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)擦力可略去不計(jì). 問(wèn)：（問(wèn)：（1） 兩物體的線加速度為多少？?jī)晌矬w的線加速度為多少？

12、 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2） 物體物體 b 從從bmcm 再求線加速度及再求線加速度及繩的張力繩的張力. 靜止落下距離靜止落下距離 時(shí)，時(shí)，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為它們間的摩擦力矩為fmyamabcambmcmabcambmcmt1ft2fapoxt1fnfamyot2fbpbmamfat1amfgmbt2bjrfrft1t2ra 解解 （1）隔離物體分）隔離物體分別對(duì)物體別對(duì)物體a、b 及滑輪作及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，受力分析，取坐標(biāo)如

13、圖，運(yùn)用牛頓第二定律運(yùn)用牛頓第二定律 、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程動(dòng)定律列方程 . t2ft1fcpcf2cbabmmmgma2cbabat1mmmgmmf2)2(cbabcat2mmmgmmmf如令如令 ，可得，可得0cmbabat2t1mmgmmff（2） b由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2/22cbabmmmgymayvabcambmcmt1ft2f （3） 考慮滑輪與軸承間的考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩摩擦力矩 ，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定律fm結(jié)合（結(jié)合（1）中其它方程）中其它方程jmrfrfft1t2amfat1amfgmbt2bra jmrfrfft1t

14、2t2fbpbmapt1fnfamt2ft1ffm2/)/(cbafbat1mmmrmgmmf2)2(cbafcabt2mmmrmgmmmf2/cbafbmmmrmgmaabcambmcmt1ft2fjmrfrfft1t2amfat1amfgmbt2bra iiiiiiirmrml)(2v 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理122121ddjjltmlltt112221djjtmtttjtlmd)(dddjl oirimivz 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 非剛體非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律角動(dòng)量守恒定律是自然界

15、的一個(gè)基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量?jī)?nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量. 守恒條件守恒條件0m若若 不變，不變， 不變；若不變；若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變.jjlj 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1221djjtmtt 若若 ，則，則 .0m常量jl討論討論exinmm 在在沖擊沖擊等問(wèn)題中等問(wèn)題中l(wèi)常量常量三三 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 有許多現(xiàn)象都可以用角有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明. 它是自然它是自然界的界的普遍適用普遍適用的規(guī)律的規(guī)律.花樣滑冰花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水跳水運(yùn)動(dòng)員跳水飛輪飛輪12航天器調(diào)姿航天器

16、調(diào)姿解解: 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒)(212211jjjj)(212211jjjj 例例1 兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 j1 和和 j2 的圓盤的圓盤 a和和 b. a 是機(jī)器上的飛輪是機(jī)器上的飛輪, b 是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤盤. 開始時(shí)開始時(shí), 他們分別以角速度他們分別以角速度1 和和2 繞水平軸轉(zhuǎn)繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng). . 然后然后, ,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下. .嚙合為嚙合為一體一體, , 其角速度為其角速度為 , , 求求齒輪嚙合后齒輪嚙合后兩圓盤的角速度兩圓盤的角速度. 解解: 碰撞前碰撞前 m 落

17、在落在 a點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21m)2( ghv 例例2 一雜技演員一雜技演員 m 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一端落到蹺板的一端 a, 并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員 n 彈了起來(lái)彈了起來(lái).設(shè)蹺板是勻質(zhì)的設(shè)蹺板是勻質(zhì)的, 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 , 蹺板可繞中部蹺板可繞中部支撐點(diǎn)支撐點(diǎn) c 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng), 演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為 m. 假定假定演員演員 m 落在蹺板上落在蹺板上, 與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞 .問(wèn)演員問(wèn)演員 n 可彈起多高可彈起多高 ?mll/2cabmnh 碰撞后

18、的瞬間碰撞后的瞬間, m、n具有相同的線速度具有相同的線速度 m、n和蹺板系統(tǒng)和蹺板系統(tǒng)角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒21m)(2gh v2mnluuu22m21121222mllmlmujlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122mv演員演員 n 達(dá)到的高度達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2cabmnh 例例3 質(zhì)量很小長(zhǎng)度為質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l 的均勻細(xì)桿的均勻細(xì)桿, 可繞過(guò)其中心可繞過(guò)其中心 o 并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) . 當(dāng)細(xì)桿靜止于當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)水平位置時(shí), 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直

19、落在距點(diǎn) o 為 l/4 處處, 并背離點(diǎn)并背離點(diǎn)o 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn) a 爬行爬行. 設(shè)小蟲與細(xì)桿設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m. 問(wèn)問(wèn): 欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v 解解: 碰撞前后系統(tǒng)角碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒220)4(1214lmmllmvl 7120vl0712 v角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理tjtjtlmddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgddddttrfsfrfwddm

20、w 21dmw力矩的功力矩的功1 力矩作功力矩作功 mtmtwpdddd2 力矩的力矩的功率功率orvfxvfoxrtfrddddwm21222121d21jjmw3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221iiikmev4 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21dmw 合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 .22221)(21jrmiii2111ddddjtj質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能之和。此結(jié)論稱為能之和。此結(jié)論稱為柯尼希定理柯尼希定理。 22211122

21、2kiiciiiiemvmvmv特別地：特別地：作作的剛體動(dòng)能的剛體動(dòng)能為為221122kccemvj質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd質(zhì)量質(zhì)量 m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量mrjd2jl vmp 力力力矩力矩fm質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)定律amf轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律jm 質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量定理動(dòng)量定理00dvvmmtftt角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理00dllt

22、mtt動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律恒量iiimfv, 0恒量iijm, 0力的功力的功barfwd力矩的功力矩的功0dmw動(dòng)能動(dòng)能2/2kvme 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2/2kje 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理動(dòng)能定理2022121vvmmw動(dòng)能定理動(dòng)能定理2022121jjw重力勢(shì)能重力勢(shì)能mghe p重力勢(shì)能重力勢(shì)能cpmghe 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒恒量pkee只有保守力作功時(shí)只有保守力作功時(shí)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒恒量pkee只有保守力作功時(shí)只有保守力作功時(shí)vovoomptr

23、圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì) 例例4 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的子彈射入豎直竿底端，使竿的偏轉(zhuǎn)角的子彈射入豎直竿底端，使竿的偏轉(zhuǎn)角為為90 . 問(wèn)子

24、彈的初速率為多少問(wèn)子彈的初速率為多少 ?mm 解解: 把子彈和竿看作一個(gè)系把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng)統(tǒng) . 子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒量守恒ov 例例4 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點(diǎn)的竿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為 a 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問(wèn)子彈的初速率為多少問(wèn)子彈的初速率為多少 ?vmm 解解: 把子彈和竿看作一個(gè)系把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng)統(tǒng) . 子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒量守恒)31(22malmamvoamv3

25、02233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)地球?yàn)橄到y(tǒng) ，機(jī)械能守恒，機(jī)械能守恒 .2233malmamv 例例5 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒, 棒的一端可繞通過(guò)棒的一端可繞通過(guò)o點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng), 棒棒的另一端有質(zhì)量為的另一端有質(zhì)量為 m 的小球的小球. 開開始時(shí)始時(shí), 棒靜止地處于水平位置棒靜止地處于水平位置a. 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò)當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò) 角到達(dá)位置角到達(dá)位置 b,

26、 棒的棒的角速度為多少角速度為多少? 解解: : 取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng)取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng), , 在棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中在棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒, , 設(shè)設(shè) a a 位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)位置為重力勢(shì)能零點(diǎn). .pbkbpakaeeeeolm,mabgmgmsin21l2kb21je0pkaaeepbkbpakaeeee2223431mlmlmlj)sinsin2(pbmgllmgesin23mgl21)sin(23lgolm,mabgm21jjjgmsin21l22230sin32mlmgl sa1a2myxo： 平面運(yùn)動(dòng)可任意選取基點(diǎn)，分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)可任意選取基點(diǎn)，分解

27、為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而擇有關(guān)，而，或者說(shuō)，或者說(shuō)。 所以提平面圖形的角速度，無(wú)需指明是相對(duì)哪個(gè)基所以提平面圖形的角速度，無(wú)需指明是相對(duì)哪個(gè)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。dadavvv12()aoovoarr12ii2()odarrvdarcacavvvii12()baoavbarrvbabavvv221222()babaaovvvvrrii12()caoavcarrv122()ccaovvvrr定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法s設(shè)有一個(gè)

28、平面圖形s角速度為，圖形上點(diǎn)a的速度為va，如圖。在va的垂線上取一點(diǎn)c (由va到ac的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取ac va / ，則cavvac0cavvacncvavca該點(diǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，或簡(jiǎn)稱為速度瞬心。 vaa圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。 三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法cavavbbdvdc確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1) 平面圖形沿一固定表面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)c就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法vc(2) 已知圖形內(nèi)

29、任意兩點(diǎn)a和b的速度的方向，速度瞬心c的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上。 三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法abocvaabvb (3) 已知圖形上兩點(diǎn)a和b的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線ab，則速度瞬心必定在連線ab與速度矢va和vb端點(diǎn)連線的交點(diǎn)c上。 三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法abvbvacabvbvac (4)某瞬時(shí)，圖形上a、b兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等) 三 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法ovaabvb另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。

30、解： ab作平面運(yùn)動(dòng)2sin30aaavvvacllcos303bavbclv2malvmcvavavbb30cvmm瞬心在c點(diǎn)a3a2a4a1va2va3va4vo解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即a1各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與a點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。2422aavvrvovrv10avo322avrv459090o1obad 解：ab作平面運(yùn)動(dòng)，oa和o1b都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，c點(diǎn)是ab桿作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vavbvdcab32 ,23 23 5,24oalabbclacl dcl2avoal2233 22aabvlaclbabv

31、bcl52dabvdcl例10 直桿ab與圓柱o相切于d點(diǎn)，桿的a端以 勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑 ，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求 時(shí)圓柱的角速度。scmva60cmr1060 解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，設(shè)其角速度為 。1crdcvd31 ab圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，則2cavabdo1cdv2cab22acvdcvadab即aadvvrrv3333亦即avr333故sradrva2103603aavarvblvlvcavaaaab245sin aabbvcbv aavarabaanbaatbaatnbababaaaaalvlaaabnba222 xy45sin45

32、sin45cos45cosatbabnbaabaaaaaa 2222,22aatbaaabvlaavlaa 2222aatbaabvlalla ao1ob3200=3vavb0 oavaab03robvabb ao1ob20215ratb naataanbatbanaataanbaatbaanbatbatanabnbaaaaaa t200203,rraratana 2022rabaabnba 201223rbovabnb nbanatanbtbaaaaa 60cos30cos30cos60cos 飛輪質(zhì)量飛輪質(zhì)量60 kg,直徑直徑d=0.50 m閘瓦閘瓦與輪間與輪間=0.4;飛輪質(zhì)量分布在外

33、層飛輪質(zhì)量分布在外層圓周圓周,要求在要求在t=5 s內(nèi)制動(dòng)內(nèi)制動(dòng),求求f力大小力大小.解解: :221000220ss6053t 1000r/min f0.50m0.75m 對(duì)飛輪對(duì)飛輪2215kg m24djm fmj 其中其中fn2fdmn 對(duì)制動(dòng)桿對(duì)制動(dòng)桿fnf0.51.25nf 52f100 nf ab質(zhì)量質(zhì)量為為m的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下,求夾角為求夾角為時(shí)時(shí),質(zhì)心速度及桿的角速度質(zhì)心速度及桿的角速度bc解解: :質(zhì)心不受水平方向作用質(zhì)心不受水平方向作用,做自由下落運(yùn)動(dòng)做自由下落運(yùn)動(dòng)!由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒: 22111cos222lmgmvj vv

34、bvn由相關(guān)速度由相關(guān)速度:sinsin2nlvv 桿對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量桿對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:212mlj 2121cos13singl 231cossin13sinvgl 著地時(shí)著地時(shí),兩桿瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸為兩桿瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸為a(b) 解解: :ba由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒: 212222hmgj 221223cvmlmghl 則則3chvg 得得vch 如圖，兩根等重的細(xì)桿如圖，兩根等重的細(xì)桿ab及及ac，在，在c點(diǎn)用鉸鏈點(diǎn)用鉸鏈連接，放在光滑水平面上，設(shè)兩桿連接，放在光滑水平面上，設(shè)兩桿由圖示位置由圖示位置無(wú)初速地開始運(yùn)動(dòng)，無(wú)初速地開始運(yùn)動(dòng)，求鉸鏈求鉸鏈c著地時(shí)的速度著地時(shí)的速度 軸心降低軸心降低h過(guò)程

35、中機(jī)械能守恒過(guò)程中機(jī)械能守恒 解解: :bhv212pmghj 其中圓柱體對(duì)軸其中圓柱體對(duì)軸p的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 222322pmrmrjmr pvr 23vgh t由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律: trj 22mrar mgtma 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律: 13tmg 如圖，圓柱體如圖，圓柱體a的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，在其中部繞以細(xì)，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端繩，繩的一端b固定不動(dòng)，圓柱體初速為零地下落，當(dāng)其軸心降固定不動(dòng)，圓柱體初速為零地下落，當(dāng)其軸心降低低h時(shí)，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力時(shí)，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力 純滾動(dòng)時(shí)圓柱角速度由機(jī)械能守恒純滾動(dòng)時(shí)圓柱角速度由機(jī)械能守恒: :解解: :vc0c0h22220011222m rm ghjm r 0243ghr 與墻彈性碰撞與墻彈性碰撞, ,質(zhì)心速度反向質(zhì)心速度反向, ,角速度不變角速度不變, ,此后受摩擦力作用此后受摩擦力作用經(jīng)時(shí)間經(jīng)時(shí)間t 達(dá)純滾動(dòng)達(dá)純滾動(dòng): :vc0c0vctct由動(dòng)量定理由動(dòng)量定理 0tf tmrr 由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理 0ctfr tj 2233tghr 純滾動(dòng)后機(jī)械能守恒純滾動(dòng)后機(jī)械能守恒: :221322tm rm gh 9hh 如如圖，實(shí)心圓柱體圖，實(shí)心圓柱體從高度為從高度為h的斜坡上從靜止純滾動(dòng)地到達(dá)的斜坡上從靜止純滾動(dòng)地到達(dá)水平