最全的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

1、J與質(zhì)量大小、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)與質(zhì)量大小、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)演示程序：演示程序： 影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素2iirmJmrJd2 質(zhì)量離散分布的剛體質(zhì)量離散分布的剛體 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 dm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：lmdd質(zhì)量為線(xiàn)分布質(zhì)量為線(xiàn)分布smdd質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布Vmdd質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布5.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題例題1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；轉(zhuǎn)軸通

2、過(guò)棒的中心并和棒垂直；(2) 轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直。轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直。OAdxxlmrJd212dd322220lxxmrJll有有ml 將將代入上式，得：代入上式，得：20121mlJ 解：解：(1) 在棒上離軸在棒上離軸x處，取一長(zhǎng)度元處，取一長(zhǎng)度元dx（如圖所（如圖所示），如果棒的質(zhì)量線(xiàn)密度為示），如果棒的質(zhì)量線(xiàn)密度為 ，則長(zhǎng)度元的質(zhì)，則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為量為dm= dx，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端A并與棒垂直時(shí)并與棒垂直時(shí)OAldxx222001dd3lJrmxxml例題例題2）半徑為）半徑為R的質(zhì)量均勻分布的

3、細(xì)圓環(huán)，質(zhì)的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量均為量均為m，試分別求出對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與環(huán)面垂，試分別求出對(duì)通過(guò)質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Rdl例題例題3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為h的均質(zhì)圓盤(pán)的均質(zhì)圓盤(pán)對(duì)通過(guò)盤(pán)心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)通過(guò)盤(pán)心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。mrJdd2dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以 表示圓盤(pán)的質(zhì)量體密度表示圓盤(pán)的質(zhì)量體密度rrhVmd2dd解：如圖所示，將圓盤(pán)看成許多薄圓環(huán)組成。取解：如圖所示，將圓盤(pán)看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為任一半徑為r，寬度為，寬度為dr的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)

4、動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為hRrhrJJR40321d2dhRm2代入得代入得221mRJ J與與h無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)rhrJd2d3一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的實(shí)心圓柱體對(duì)其中的實(shí)心圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。例例4）求一質(zhì)量為）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤(pán)。其半徑為盤(pán)。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其體積：其體積：其

5、質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21（2 2）薄板的正交軸定理）薄板的正交軸定理 yxzJJJyxzo（1 1）平行軸定理）平行軸定理2mdJJCDdJCJDC常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2mrJ 2/2mrJ 2/ )(2221rrmJ2/2mrJ 2/2mrJ 12/2mlJ 5/22mrJ 3/22mrJ 取任一狀態(tài)取任一狀態(tài), ,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律JmglMsin21外231mlJ sin23lg例題例題1 1 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿

6、豎直放置的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置, ,其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈o o相連相連, ,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng). .當(dāng)其當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)受到微小擾動(dòng)時(shí), ,細(xì)桿將在重力的作用下由靜止細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈開(kāi)始繞鉸鏈o o轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng). .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線(xiàn)呈試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線(xiàn)呈角時(shí)的角加速度和角速度角時(shí)的角加速度和角速度. . Po)cos1 (23lg00dsin23dlgsin23 dddd ddlgttdsin23dlg初始條件為：初始條件為： =0， =0 例題例題2 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩。繩

7、的一端固定在滑輪邊勻圓盤(pán)）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。滑輪的角速度。 MmgahROT2T1221MRJRT對(duì)物體對(duì)物體m，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律，maTmg滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為Ra 解：對(duì)定滑輪解：對(duì)定滑輪M，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)于軸對(duì)于軸O，有，有物體下落高度物體下落高度h時(shí)的速度時(shí)的速度Mmmghahv242這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度RMmmgh

8、Rv24gMmma2以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為CmafF圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：CJRflF純滾動(dòng)條件為：純滾動(dòng)條件為：RaC圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：221mRJC例題例題3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均質(zhì)圓柱，在水的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線(xiàn)與圓柱中心軸線(xiàn)的垂直距離為的作用線(xiàn)與圓柱中心軸線(xiàn)的垂直距離為l，如圖所，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFac f解：

9、設(shè)靜摩擦力解：設(shè)靜摩擦力f的方向如的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立以上四式，解得：聯(lián)立以上四式，解得：mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可見(jiàn)由此可見(jiàn)，靜摩擦力向前。，靜摩擦力向前。時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)02 fRl，靜摩擦力向后；，靜摩擦力向后；時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)02 fRl例一靜止剛體受到一等于例一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不變力矩的的不變力矩的作用作用, ,同時(shí)又引起一阻力矩同時(shí)又引起一阻力矩M M1 1， M1M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數(shù)為

10、常數(shù)) )。又。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,J,試求剛體角速度試求剛體角速度變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a J |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以剛體為研究對(duì)象；）以剛體為研究對(duì)象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4）列方程：）列方程：JMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00分離變量：分離變量：例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)

11、，一端支以，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：求：1 1 ）當(dāng)桿與鉛直方向成）當(dāng)桿與鉛直方向成 角時(shí)的角加速度：角時(shí)的角加速度：2 2 ）當(dāng)桿過(guò)鉛直位置）當(dāng)桿過(guò)鉛直位置時(shí)的角速度：時(shí)的角速度： 3 ) 3 ) 當(dāng)桿過(guò)鉛直位置當(dāng)桿過(guò)鉛直位置時(shí)，軸作用于桿上的力。時(shí)，軸作用于桿上的力。已知已知：m，L求求： ， ，N解解：1） 以桿為研究對(duì)以桿為研究對(duì)象象 受力：受力： mg，N（不產(chǎn)生（不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩）對(duì)軸的力矩）建立建立OXYZ坐標(biāo)系坐標(biāo)系 ZNmgYX OLM建立建立OXYZOXYZ坐標(biāo)系（并以坐標(biāo)系（并以Z Z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）

12、軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (故取正值。故取正值。Fr沿沿Z軸正向，軸正向，rLg 2/32/00則則 L2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23兩邊積分：兩邊積分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？3）求）求N=？軸對(duì)桿的力，不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，但影響質(zhì)軸對(duì)桿的力，不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，但影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)解。心的運(yùn)動(dòng)，故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來(lái)解。ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求）求N=？CamgmNCXXmaNCYYmamgN寫(xiě)成分量式：寫(xiě)成分量式：CYXONCYaCCa求求N，就得求，就得求，即，即C點(diǎn)的點(diǎn)的加速度，現(xiàn)在加速度，現(xiàn)在C點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，可分為切向加速度和法向加速可分為切向加速度和法向加速度但對(duì)一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，只有一個(gè)加度但對(duì)一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，只有一個(gè)加速度。故這時(shí)：速度。故這時(shí)：CXaCYa.實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度.實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的法向加速度實(shí)際上