晶格振動和熱學(xué)性質(zhì)第一節(jié)課件

1、周劍平周劍平物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院2013.9. 2014.1 文津樓文津樓 506星期二星期二 14:30-17:20 一維單原子鏈一維單原子鏈 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 簡正坐標簡正坐標 三維晶格振動三維晶格振動 晶格比熱晶格比熱晶格振動的研究晶格振動的研究 晶體的熱學(xué)性質(zhì)，熱運動是晶體宏觀性質(zhì)的晶體的熱學(xué)性質(zhì)，熱運動是晶體宏觀性質(zhì)的表現(xiàn)表現(xiàn) 。研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)，。研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)，強烈地影響著物質(zhì)的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、強烈地影響著物質(zhì)的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等物理性質(zhì)。磁性、結(jié)構(gòu)

2、相變等物理性質(zhì)。杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律杜隆珀替經(jīng)驗規(guī)律一摩爾固體有一摩爾固體有N個原子，有個原子，有3N個振動自由度，按能量均分定律，每個振動自由度，按能量均分定律，每個自由度平均熱能為個自由度平均熱能為kBT/2，摩爾比熱量，摩爾比熱量 3N0kB，為一常數(shù)。但實際，為一常數(shù)。但實際上，低溫下比熱隨溫度的降低而降低。上，低溫下比熱隨溫度的降低而降低。熱膨脹、傳導(dǎo)和晶格振動的非諧效應(yīng)密切相關(guān)。熱膨脹、傳導(dǎo)和晶格振動的非諧效應(yīng)密切相關(guān)。討論晶體結(jié)構(gòu)時，我們把晶體內(nèi)的原子討論晶體結(jié)構(gòu)時，我們把晶體內(nèi)的原子看作是看作是處于自己的平衡位置處于自己的平衡位置上固定不動的，但上固定不動的，但實際上實際上，物質(zhì)是

3、在不斷運動的，量子力學(xué)告訴我，物質(zhì)是在不斷運動的，量子力學(xué)告訴我們，即使達到絕對零度，仍具有零點能的振動。們，即使達到絕對零度，仍具有零點能的振動。它強烈地影響著物質(zhì)的比熱、熱導(dǎo)、熱膨脹、光反射等物理性質(zhì)。它強烈地影響著物質(zhì)的比熱、熱導(dǎo)、熱膨脹、光反射等物理性質(zhì)。絕熱近似絕熱近似用一個均勻分布的負電荷產(chǎn)生的常量勢場來描述電子對離子運動的用一個均勻分布的負電荷產(chǎn)生的常量勢場來描述電子對離子運動的影響。影響。 將電子的運動和離子的運動分開將電子的運動和離子的運動分開晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先計算原子之間的相互作用力

4、先計算原子之間的相互作用力 根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程根據(jù)牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程2221()( )2aadUd UU aU aHigh itemsdrdr一維單原子鏈晶格周期為一維單原子鏈晶格周期為a，原子質(zhì)量，原子質(zhì)量m，相對各自，相對各自平衡位置的位移分別為平衡位置的位移分別為ui平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能 V(a)發(fā)生相對位移發(fā)生相對位移 = uiui+1后，相互作用勢能后，相互作用勢能V(a+)考慮到平衡條件考慮到平衡條件勢能展式中保留到二階勢能展式中保留到二階簡諧近似簡諧近似 相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用

5、力( ),0adUU aconstantdr ：力常數(shù)：力常數(shù)dUfd 22ad Udr(a+un+1-un)un-2n-2 n-1 n n+1 n+2a只考慮最近鄰原子間的相互作用，總的勢能為只考慮最近鄰原子間的相互作用，總的勢能為第第n個原子受力個原子受力第第n個原子的運動方程個原子的運動方程 每一個原子運動方程類似每一個原子運動方程類似 方程的數(shù)目和原子數(shù)相同方程的數(shù)目和原子數(shù)相同21()2nnnUuu21122nnnnumt ：力常數(shù)：力常數(shù)nnUfu 112nnn (a+un+1-un)un-2n-2 n-1 n n+1 n+2a試解（格波方程）試解（格波方程）naq 第第n個原子振

6、動位相因子個原子振動位相因子帶入運動方程帶入運動方程化簡得到化簡得到解得解得色散關(guān)系色散關(guān)系波的頻率波的頻率-波矢關(guān)系波矢關(guān)系真空中光波真空中光波 = cq，空氣中聲波，空氣中聲波 = vq而格波的色散關(guān)系是非線性的。而格波的色散關(guān)系是非線性的。nit naquAe22iaqiait naqit naqit naqit nqaqAeAeAemAe222cos1iaqiaqmeeaq0.00.20.40.60.81.0w/(4m)1/2qFirst Brillouin-/a 0 /a 2/a12sin2aqm格波格波簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波格波意義格波意義： 對于

7、確定的對于確定的n：第：第n個原子的位移隨時間作簡諧振動個原子的位移隨時間作簡諧振動1. 對于確定時刻對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相：不同的原子有不同的振動位相nit naquAe格波的波形圖（格波意義格波的波形圖（格波意義2）正方向的原子沿正方向的原子沿X軸向右振動軸向右振動負方向的原子沿負方向的原子沿X軸向左振動軸向左振動q的的物理物理意義：意義：波的傳播方向（即沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，的方向）上， naq表示相位差表示表示相位差表示n+2n+1n-2n-1 n 2q格波格波格波解格波解晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同、振幅相等的振動，不同晶體中所有原子共同參與的

8、一種頻率相同、振幅相等的振動，不同原子間存在固定位相差原子間存在固定位相差einaq，每一確定，每一確定q的解代表波長為的解代表波長為2/|q|的的集體運動，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為集體運動，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波格波。格波波長：格波波長：格波波矢：格波波矢：波矢表示波數(shù)，方向表示波的傳播方向，波矢表示波數(shù)，方向表示波的傳播方向，q取不同的值，相鄰兩原取不同的值，相鄰兩原子間的振動位相差不同，則晶格振動狀態(tài)不同子間的振動位相差不同，則晶格振動狀態(tài)不同 不同原子間位相差：不同原子間位相差：相鄰原子的位相差：相鄰原子的位相差：nit naquAe2 /q2qn

9、( )n aqnaqnn aq(1)naqnaqaq如果如果l為整數(shù)，則為整數(shù)，則 q 和和 q 描述同一晶格振動狀態(tài)描述同一晶格振動狀態(tài)格波格波得到得到色散關(guān)系色散關(guān)系所以所以所以，所以，q 和和 q 描述同一晶格振動狀態(tài)描述同一晶格振動狀態(tài)2qqla( )nit naqu qAe2i t ina qlaAei t inaqAe( )nu q2( )nnuqlu qa1( )2sin2qaqm122sin2a qlma12sin2aqm2( )qlqa例如例如波長波長格波格波1(Red)相鄰原子位相差相鄰原子位相差格波格波2(Green)相鄰原子位相差相鄰原子位相差兩條曲線描寫的格點的運動狀

10、態(tài)完全相同兩條曲線描寫的格點的運動狀態(tài)完全相同.唯一唯一 不同的就是兩格點不同的就是兩格點之間的運動狀態(tài)之間的運動狀態(tài).而這些中間狀態(tài)的差異并不影響物理實質(zhì)而這些中間狀態(tài)的差異并不影響物理實質(zhì).兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同。1221122522,22qqqqaaa12454 , aa1/2aq22/2aq4a 兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同兩種波矢的格波中，原子的振動完全相同。所以所以相鄰原子的位相差取相鄰原子的位相差取波矢取波矢取第一第一Brillouin區(qū)區(qū)只研究第一只研究第一Brillouin晶格振動問題晶格振動問題其它區(qū)域不能提供新的物

11、理內(nèi)容其它區(qū)域不能提供新的物理內(nèi)容aqqaa0.00.20.40.60.81.0q1/(4m)1/2qFirst Brillouin-/a 0 /a 2/aq2色散關(guān)系：色散關(guān)系：頻率極大值和極小值頻率極大值和極小值只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，其它之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減（低頻濾波），截止頻率。頻率的格波被強烈衰減（低頻濾波），截止頻率。12sin2aqmminmax0,2/m02/m格波：長波極限情況格波：長波極限情況 當當 q0 時時此時，一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的此時，一維單原子格波的色散關(guān)系與連續(xù)介質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系

12、一致色散關(guān)系一致彈性波速（相速）為彈性波速（相速）為其中其中K， 為連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度為連續(xù)介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)密度 長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波長波極限下，一維單原子晶格格波可以看作是彈性波 晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)，其中波動方程和解為晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)，其中波動方程和解為：(0,)qaaqmqvam0.00.20.40.60.81.0w/(4m)1/2q-/a 0 /aElasticvq/am aK22( , )( , )dtKtdtrr()( , )ittAe q rr格波格波 長波極限情況長波極限情況 聲學(xué)波（聲學(xué)波（accoustic wave）相鄰兩個

13、原子之間的位相差相鄰兩個原子之間的位相差此時，一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格可看作連續(xù)介質(zhì)此時，一個波長內(nèi)包含許多原子，晶格可看作連續(xù)介質(zhì)波長波長格波的群速格波的群速(0,)qa(1)0q naqnaqa2q, when 0,when 0qgqvqdvvqdqa 格波短波極限情況格波短波極限情況 當當 q/a 時時波長波長相鄰兩個原子振動的位相相反，恢復(fù)力和頻率都達到最大值相鄰兩個原子振動的位相相反，恢復(fù)力和頻率都達到最大值格波的群速格波的群速在在Brillouin區(qū)邊界處，相當于受到區(qū)邊界處，相當于受到Bragg反射，能量不能向外傳反射，能量不能向外傳播播駐波駐波用到的兩個定義用到的兩個定義：

14、波速（相速），群速：波速（相速），群速 ()qamax2/mgqadvdq22aq0gdvdqwvq = 2aa周期性邊界條件（周期性邊界條件（Born-Karman邊界條件）邊界條件）一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每個原子的振動形式都一樣形式都一樣實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭的原子不能用中間原子的運動方程來描述間原子的運動方程來描述為了解決這一矛盾，采用周期邊界條件為了解決這一矛盾，采用周期邊界條件Born-Karman邊界條件邊界條件（1） N個

15、原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點點（2） N很大，原子運動很大，原子運動近似為直線運動近似為直線運動（3）處理問題時要考慮）處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性到環(huán)鏈的循環(huán)性設(shè)第設(shè)第n個原子的位移為個原子的位移為 un再增加再增加N個原子之后，第個原子之后，第N+n個原個原子的位移子的位移uN+n，則，則h為整數(shù)為整數(shù)波矢的取值范圍波矢的取值范圍h的取值范圍的取值范圍N nnuuqaa()itN n aqit naqAeAe1iNaqe2qhNa22NNhh N個整數(shù)值個整數(shù)值波矢波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里

16、淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)個狀態(tài)NnN+nN+3N+2N+13021相鄰兩個波矢間隔（相鄰兩個波矢間隔（每一個每一個q的取值所占的空間的取值所占的空間）q的分布密度的分布密度 均勻分布均勻分布LNa 晶體鏈的長度晶體鏈的長度密度分布密度分布22qNaL 222NaLqNa2qNa ( )22dNdN dqddq d cos2dqaadqm1( )cos()2Lqaam max2cos2Nqa22max21N2dNNadq第一第一Brillouin區(qū)的尺度區(qū)的尺度第一第一Brillouin區(qū)的狀態(tài)數(shù)區(qū)的狀態(tài)數(shù)得到結(jié)論得到結(jié)論求解格波步驟：求解格波步驟：（1）列運動方程；（）列運動方程；（2

17、）取試探解；）取試探解；（3）代入原方程，）代入原方程， 得到久期方程；（得到久期方程；（4）由久期方程求色散關(guān)系）由久期方程求色散關(guān)系（5）加周期邊界條件；（）加周期邊界條件；（6）求狀態(tài)密度）求狀態(tài)密度2 /2 /2 /aaNqNa2 /a晶格振動格波數(shù)目（第一布里淵區(qū)內(nèi)分立波晶格振動格波數(shù)目（第一布里淵區(qū)內(nèi)分立波矢量的數(shù)目）矢量的數(shù)目）= =晶格原胞數(shù)目晶格原胞數(shù)目= =自由度數(shù)目自由度數(shù)目一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無限長鏈一維無限長鏈 兩種原子兩種原子 m 和和M ( M m) 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于，2n-1，2n+1，2n+3 m原子位

18、于原子位于，2n，2n+2，2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a（晶格常數(shù)）（晶格常數(shù)） 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個原胞（個原胞（2N個原子）個原子）簡諧近似，簡諧近似，只考慮最近鄰原子只考慮最近鄰原子間的相互作用，力常數(shù)為間的相互作用，力常數(shù)為，總的勢能為總的勢能為22221221()()2nnnnnUuuuum M2n-3 2n-1 2n+1 2n+3 2n-4 2n-2 2n 2n+2 2n+42a第第2n原子原子m受力受力第第2n+1原子原子M受力受力運動方程運動方程方程解的形式方程解的形式 兩種原子振動的振幅兩種原子振動的振幅A和和B是不同的是不同的222121(2)nnnnFuuu

19、 2121222(2)nnnnFuuu 2212122122221(2)(2)nnnnnnnnmuuuuMuuuu(2 )2(21)21itn aqnitnaqnuAeuBem M2n-3 2n-1 2n+1 2n+3 2n-4 2n-2 2n 2n+2 2n+42a22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMBeeAB運動方程運動方程方程的解方程的解 A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零有非零的解，系數(shù)行列式為零22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB (2) 2(21)21itna qnitnaqnuAeuBe2122221221212(2)(2)nnnn

20、nnnnMuuuumuuuu得到得到久期方程：久期方程：方程的兩個解方程的兩個解得到一維復(fù)式晶格中得到一維復(fù)式晶格中兩種獨立的格波，兩種獨立的格波，與與q之間存在著兩種之間存在著兩種不同的色散關(guān)系不同的色散關(guān)系 -聲學(xué)波聲學(xué)波 +光學(xué)波光學(xué)波兩種原子的振幅兩種原子的振幅2222cos02cos2maqaqM12222()411sin()mMmMaqmMmM22cos2AaqBm 2m 2M 2mMmM Optic branch Acoustic branch/(3/2m)1/2q-/2a 0 /2a M=2m長波極限長波極限：利用利用得到色散關(guān)系得到色散關(guān)系聲學(xué)波聲學(xué)波 聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維

21、單原子形式相同聲學(xué)波的色散關(guān)系與一維單原子形式相同可以看作是彈性波，晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)可以看作是彈性波，晶格可以看成是連續(xù)介質(zhì)(0,)qa224sin ()1()mMaqmM11/2xx 222()21 1sin()mMmMaqmMmM2sin()qamM2aqmM長波極限長波極限：波長波長振幅比振幅比 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致 代表原胞質(zhì)心的振動代表原胞質(zhì)心的振動事實上，對于聲學(xué)波，總有事實上，對于聲學(xué)波，總有兩種原子具有相同的運動方向兩種原子具有相同的運動方向(0,)qa22cos2AaqBm0AB2q1Acoustic

22、brancha 光學(xué)波光學(xué)波振幅比振幅比 長光學(xué)波同種原子振動位長光學(xué)波同種原子振動位相一致，相鄰原子振動相反相一致，相鄰原子振動相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞質(zhì)心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動原胞中原子之間相對運動事實上，對于光學(xué)波，總有事實上，對于光學(xué)波，總有(0,)qa222()21 1sin()mMmMaqmMmM22cos2AaqBm()2mMmMMm 0AB0mAMBOptic brancha 短波極限：短波極限：波長波長兩種格波的頻率兩種格波的頻率聲學(xué)波振幅比聲學(xué)波振幅比聲學(xué)波聲學(xué)波：原胞中輕原子不動，只有重原子振動，相鄰重原子運：原胞中輕原子不動，只有重原子振動，相鄰重原子運動方向相反動方向相反光學(xué)波振幅比光學(xué)波振幅比光學(xué)波光學(xué)波：原胞中重原子不動，只有輕原子振動，相鄰輕原子運：原胞中重原子不動，只有輕原子振動，相鄰輕原子運動方向相反動方向相反()2qa 11/2222,Mm12222()411sin()mMmMaqmMmM222cosMABaq22cos2AaqBm0 and24aq Acoustic branch = 2