機(jī)理分析和測(cè)試分析

1、機(jī)理分析：基于問(wèn)題的特點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)揭示問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)。例：經(jīng)典力學(xué)的Newton定律，萬(wàn)有引力定律，光的折射定律，計(jì)算體積的微積分方法等。機(jī)理分析的基本工具： 微分方程 差分方程 數(shù)學(xué)規(guī)劃 圖與網(wǎng)絡(luò)的方法 概率的方法 隨機(jī)過(guò)程 .測(cè)試分析的基本工具： 函數(shù)插值 最小二乘擬合 隨機(jī)模擬 統(tǒng)計(jì)分析如數(shù)據(jù)的分布等機(jī)理分析是數(shù)學(xué)建模的主要方法。機(jī)理分析是從根上分析事物，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律和區(qū)別于其他事物的基本特征。測(cè)試分析基于實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)數(shù)據(jù)，方法具有普適性，但對(duì)事物區(qū)別于其他事物的特性難以做出深刻的刻畫(huà)。因此，能夠利用機(jī)理分析建立模型的問(wèn)題，一般不要利用數(shù)據(jù)處理的一般方法進(jìn)行建模。機(jī)理分析

2、和測(cè)試分析的結(jié)合是我們建模的基本方法。通過(guò)機(jī)理模型建立模型的基本結(jié)構(gòu)，然后利用測(cè)試分析確定模型中的相關(guān)參數(shù)，是完成建模的基本步驟。函數(shù)插值：我們的數(shù)學(xué)工具通常是處理連續(xù)問(wèn)題的，如微積分、微分方程等。但是由于連續(xù)問(wèn)題涉及到無(wú)窮個(gè)元素和無(wú)窮次運(yùn)算，無(wú)法利用計(jì)算機(jī)處理，我們的通常做法為：把問(wèn)題離散化。所謂離散化，就是將采集和處理的數(shù)據(jù)限制在有限個(gè)給定的點(diǎn)上。所謂曲線擬合，就是利用已知的離散點(diǎn)信息，求在這些點(diǎn)的附近的未知點(diǎn)的信息。曲線擬合的兩種基本方法：(1)插值。過(guò)已知點(diǎn)做光滑曲線，把離散信息轉(zhuǎn)化為連續(xù)信息。從而得到?jīng)]有給出信息的近似值。一維插值類似于數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線板連接。二維插值類似于抹膩?zhàn)印２逯档?/p>

3、matlab函數(shù) interp1 interp2 spline插值的應(yīng)用例1：水塔流量的估計(jì)。(美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題)例2：逢山開(kāi)路(全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題)例3：最小二乘逼近。在許多情況下，數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)波動(dòng)(如圖)。在這種情況下，例1：降落傘的選擇為向?yàn)?zāi)區(qū)投放救災(zāi)物質(zhì)2000kg，需選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時(shí)速度不超過(guò)20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根長(zhǎng)l共16根繩索連接所載重物m。(如圖)每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成。傘面的費(fèi)用C1由傘的半徑r決定,規(guī)格和單價(jià)如下表繩索費(fèi)用為4元/米，固定費(fèi)用為200元r(m) 2 2.5 3 3.5 4C1(元)

4、65 170 350 660 1000降落傘在降落過(guò)程中受到空氣阻力，可以認(rèn)為空氣阻力與降落速度及傘的面積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m，載重m=300kg從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)的各時(shí)刻t的高度x如下表t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1試確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑。在滿足空投條件下，費(fèi)用最低。問(wèn)題分析：這是一個(gè)購(gòu)買降落傘的問(wèn)題。決策變量：第i種傘購(gòu)買xi個(gè)。記第i種傘可以載重mi，傘面價(jià)格Ci,則總費(fèi)用為551511min200() 16

5、iiiiiiC xxxk xL載重量約束為513000iiix m問(wèn)題分析：設(shè)空氣的阻力系數(shù)為，根據(jù)題意可以列出降落傘的運(yùn)動(dòng)方程(以下方為正向)(0)0dvmSvmgvdt解得：1StmmgveS問(wèn)題歸結(jié)為：傘面Ci的大載重量mi是多少？由解得( )(0)0dxv txdt1StmmgmxteSS下面先確定空氣阻尼系數(shù)。代入m=300，S=2r3/3=18得到 3505050133tgxte利用最小二乘擬合函數(shù)lsqcurvefit來(lái)確定參數(shù)。其中數(shù)據(jù)為t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 10

6、8 55 1程序：function paric tdata=0:3:30;Xdata=500-500,470,425,372,317,264,215,160,108,55,1;r0=0.1;r=lsqcurvefit(paric1,r0,tdata,Xdata)x=paric1(r,tdata);plot(tdata,Xdata,tdata,x)end function f=paric1(r,tdata)f=50*9.8/(3*r*pi)*(tdata+50/3/r/pi*(exp(-3*r*pi*tdata/50)-1);end 計(jì)算得到 =2.9377下面的圖顯示了擬合效果。0510152

7、025300501001502002503003504004505001StmmgmxteSS落地時(shí)間t0滿足且 005001StmmgmteSS00()120Stmmgv teS由上面兩個(gè)式子可以求出m。一個(gè)最直接的模型是Logistic模型(1)dxxrxdtN其精確解為 0( )1 (1)rtNx tNex利用最小二乘法可以求出參數(shù)r,x0和N。但計(jì)算得到的x(50)=650萬(wàn)2011 C題題 企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動(dòng)者對(duì)社會(huì)所作貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險(xiǎn)的資格，以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我

8、國(guó)企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶。這兩個(gè)賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費(fèi)工資與社會(huì)平均工資之比（繳費(fèi)指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會(huì)平均工資等因素，從社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個(gè)人工資賬戶中一定比例的資金（個(gè)人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個(gè)月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會(huì)隨著社會(huì)平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個(gè)人賬戶中的余額可繼承。個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率

9、計(jì)息，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長(zhǎng)又與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)。近30年來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長(zhǎng)率也較高；而發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)和工資增長(zhǎng)率都較低。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平?，F(xiàn)在我國(guó)養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過(guò)渡期。養(yǎng)老保險(xiǎn)管理的一個(gè)重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，它關(guān)系到社會(huì)穩(wěn)定和老齡化社會(huì)的順利過(guò)渡。影響?zhàn)B老保險(xiǎn)基金收支平衡的一個(gè)重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國(guó)家對(duì)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，未來(lái)基本養(yǎng)老保險(xiǎn)的目標(biāo)替代率確定為58.5%

10、. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計(jì)算辦法。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：對(duì)未來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出你認(rèn)為是簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問(wèn)題二：根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的

11、參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），計(jì)算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問(wèn)題三：假設(shè)該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開(kāi)始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問(wèn)題一：對(duì)未來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出你認(rèn)為是簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。197519801985199019952000200

12、5201000.511.522.533.5x 104下面的圖是題目所給出的職工工資隨時(shí)間增長(zhǎng)數(shù)據(jù)。許多同學(xué)分析這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)誤區(qū)是把這組數(shù)據(jù)看作無(wú)法分析機(jī)理的問(wèn)題，即只能見(jiàn)黑箱模型。因此，一眼看上去像一個(gè)3次多項(xiàng)式，馬上利用三次多項(xiàng)式擬合，并利用這個(gè)多項(xiàng)式做預(yù)測(cè)得到下圖1970198019902000201020202030204020500123456x 105yearincome 預(yù) 測(cè)數(shù) 據(jù)人均達(dá)到五十五萬(wàn)！先不談?lì)A(yù)測(cè)的正確與否，我們來(lái)分析問(wèn)題是否沒(méi)有機(jī)理可以在建模中起作用。首先讀一下題目中下面段落：養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長(zhǎng)又與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)。近

13、30年來(lái)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長(zhǎng)率也較高；而發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)和工資增長(zhǎng)率都較低。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平。這一段告訴我們：(1)職工工資逐年增長(zhǎng)；(2)發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)和工資增長(zhǎng)率都較低，而要在21世紀(jì)中葉使我國(guó)人均國(guó)民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國(guó)家水平，因此工資增長(zhǎng)率要逐年降低，到2050年到較低的水平。利用數(shù)學(xué)模型描述，就是：其中r(x)是單調(diào)減函數(shù)，且r(2050)很小。由于x(1978)=566，是一個(gè)很小的數(shù)，我們可以作變換y=x-1978. ( )dxr x xdt一個(gè)最直接的模型是Logistic模型(1)(0)566dyyry

14、ydtN其精確解為 0( )1 (1)rtNy tNey利用最小二乘法可以求出參數(shù)r,y0和N。但計(jì)算得到的y(50)=200萬(wàn)1975198019851990199520002005201000.511.522.533.5x 104timeincome simulationdata擬合結(jié)果(好像不錯(cuò))19701980199020002010202020302040205001234567x 106timeincome simulationdata預(yù)測(cè)結(jié)果：到2050年人均650萬(wàn)！(合理嗎？)模型的修改：修改后的模型與數(shù)據(jù)產(chǎn)生偏移。所以，模型和數(shù)據(jù)擬合的不太好。是不是可以改進(jìn)模型呢？可以考慮

15、更一般的模型：1(0)566dyyryydtN問(wèn)題：這個(gè)方程的解比較復(fù)雜，難以寫(xiě)成解析形式。那么，如何對(duì)解作最小二乘擬合呢？ ( , , )yy t N r例3：城市表層土壤中重金屬污染的傳播在微分方程模型中，我們推導(dǎo)了問(wèn)題的基本模型。設(shè)重金屬濃度為w(t,x,y)，流量q(t,x,y)，地勢(shì)高度h(x,y)，則設(shè) 是初始濃度，我們的問(wèn)題是求反問(wèn)題：已知當(dāng)t充分大時(shí)的w(t,x,y)如何得到y(tǒng)xzqqqwtxyzkw h q(0, , )wx y(0, , )wx yyxzqqqwtxyzkw h q上面式子是以w(t,x,y)為解函數(shù)的偏微分方程。但與普通微分方程的求解不同，我們不是根據(jù)初始條件w(0,x,y)求解w(t,x,y)求初始狀態(tài)w(0,x,y)。這樣的問(wèn)題稱為反問(wèn)題。上面僅僅是第一步，即建立了描述重金屬傳播的機(jī)理模型。下一步是利用數(shù)據(jù)來(lái)求解，最后得到所求的結(jié)果。這里，測(cè)試分析的技術(shù)將發(fā)揮重要作用。首先，方程的自變量是(t,x,y)。在空間位置上屬于直角坐標(biāo)。在對(duì)方程離散時(shí)，需要建立矩形網(wǎng)格(如圖)xyO(xi,yj)為什么要建立網(wǎng)格呢？在實(shí)際問(wèn)題中，我們通常需要把連續(xù)的模型離散化。即只考慮一些離散的點(diǎn)。在這種情況下