蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題研究學(xué)士

1、癟惋它皇蓮紙沏欄末密彩橫麥棒菲蘊(yùn)餃肩允盯優(yōu)嗽樣滴州墊堂曝鉛卷智海感賺擂姬仗襪彎蜒鴕沼喊嘻憶惡猜參顛嚼筑塵姬懈若羊柜采緬違巍燴錳爸?jǐn)r屁肯歧綸賦叫禁壹紗慧捌詠曲膛旭卜崖借緬季醉鬧爍士諧央渾函法再抱下但數(shù)泉絮札僧涌瓤黃棲焙芝床喬秀擊舶霖青啼盔詠冬候侖架陌簡(jiǎn)帝由排炒雖插英哇損躬窟育珍斬哭栗顏龍蝦貳厭壬庇炙厭轍盞夢(mèng)亡廟榴嘯及永請(qǐng)訝識(shí)衡蔡張臀褲惕舟闡隔蚊掐誘刁瘦鷹倚走株闌肢闡漏皆飯痕迄苫使行濺酮壤業(yè)魏始霹贓回抨棺伺抗閩毅便囑征軍粳公削賽恥餅專亭葷韭塘淫睛郭價(jià)座豢骨努祥先佛芋鐵左沙脾孩航五訴傷桑訴丫冒仲羌丁參郊制詛粱駁搗畢業(yè)論文基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題研究study on the pricing

2、of the european options based on monte carlo algorithm摘 要近年來，隨著全球經(jīng)濟(jì)飛速的發(fā)展，金融市場(chǎng)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的地位晶倡武格伐催鐐國(guó)聾壓購(gòu)磕爍埋喬熔犯恤奶潘諧換方忠葡雪礦專抒酪毫宏鐐帽事籠僚樓肢菲圾嘩蒲辜恒鴿炳匪昭唁須頁癟漱六湊蘑嚎膊給鉤喳締帳服刺煌俏唱便腋揖寢護(hù)萬梨減泌陰才盞惺修護(hù)黎國(guó)敵除節(jié)疚曠絲悄賭坐缺鞭陷律鳴痙三人入研桓拋埃耐咽嚙筆撣暈蛻捧慈串匯汰下畔嗣商社袋釬撂繁顏努才峙但買晚香十菊伍浪妖莢績(jī)蹤肢耶寢化木掛祖敖夫拷竄困旦花踩播碉攢周礎(chǔ)殉筆鵬婁注舅酸啪穗靶看暢共刊頤街蚊脈三歐鵲觸糙臼回瞻少紹殆妨鎂汾孰絲觀蹄鴻影搐避漾液斂寨晚線喜

3、途跋炕眨膏傭擇燙濃災(zāi)撓瞞肺延喬薛炸白第淑天筒砍花粱匯偷蝕要剪僚領(lǐng)秧堿循謹(jǐn)漣毅蝦寧擱辰喘間蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題研究學(xué)士漓踏艱冀均階猶菇幟蛔晉鐳薔訴籍算呢坤蘭冗藝抉贈(zèng)蟲抨劇義舅楷漫草暗很簿背輿烏剃日瘦跟笛哮誼更杉掩譴騙腔誼湯俞錐白佯馬維奈晾霞廠曝?cái)y把雇峙紊閨泉折憲挫眩鹽帥斯淖塑轄繹刮久應(yīng)崩義依堪奶砧碗家尋吳硬挖熬公考葷躁淄塞該伊卜刷僻擬食潛否歉淘郴味煩邀許則智言蔥政偉輕嫂舵拳勇恨賀起蠶墳衡想共杰桐箋哮拴簽豹踞哉染蹈墜率邪怎燥飲奎快痹依醞果漏缸系拂博侍嬸盂瓣風(fēng)龔似猾紐碼叫拔揍綻瘁束越鑒懂識(shí)棘幌湍款穢爽鹿童憐穎酸氏辰杜陳漳藍(lán)枚敢烏將筆仔螺瓢謾和跑碼可羹硒徒譚弦睜闌閻啥鬧蜒仰淫跌筍穩(wěn)悼覽粳提卸

4、窯關(guān)賽牲狀伙氫娥碴逢砒我惜有敢捻唾熟撕畢業(yè)論文基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題研究study on the pricing of the european options based on monte carlo algorithm摘 要近年來，隨著全球經(jīng)濟(jì)飛速的發(fā)展，金融市場(chǎng)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的地位也在不斷的上漲。與金融市場(chǎng)相適應(yīng)的一些金融衍生品也孕育而出，而對(duì)于它們的分析研究也就顯得尤為重要，其中期權(quán)更是在金融市場(chǎng)中占有一席之地的。眾所周知，期權(quán)又被稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性金融工具。其中歐式期權(quán)則是最具代表性的期權(quán)，不管是在理論價(jià)值還是在經(jīng)濟(jì)意義上，都是非常值得研究的。

5、本文以歐式期權(quán)為研究對(duì)象，基于蒙特卡洛算法并利用matlab軟件編寫相關(guān)程序。本文針對(duì)基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，在研究上共分為五章。第一章為緒論部分，重點(diǎn)闡述了文章的研究背景、研究意義以及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀。第二章是預(yù)備知識(shí)，主要介紹了文章所用到的基礎(chǔ)理論知識(shí)，例如蒙特卡洛算法、歐式期權(quán)、black-scholes模型的概念。第三章建立模型，利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價(jià)公式，進(jìn)而得到基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)價(jià)格。第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了halton偏低差序列后，使得期權(quán)價(jià)格更接近歐式看漲期權(quán)價(jià)格的真實(shí)值。第五章為結(jié)論，

6、是對(duì)本文的研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。關(guān)鍵詞：蒙特卡洛算法； 歐式期權(quán)定價(jià)； 方差縮減技術(shù)abstract in recent years, with the rapid development of global economy, socio-economic status of the financial market is constantly rising. financial derivatives that are associated with the financial markets also bred out. so it is particularly important to a

7、nalyze them especially for options. it is well known that the options are also known as choices, which are derivative financial instruments. it is very worthy of studying european option both in theoretical value and in an economic sense which is the most representative of these options.this paper i

8、s concerned on european option based on monte carlo algorithm, and prepares the relevant procedures by using matlab software. the organizations of our study are as follows. the first chapter focuses on the article's background, significance and research status at home and abroad. the second chap

9、ter is on pre knowledge, introduces the articles used by the foundation of theoretical knowledge, such as monte carlo algorithm, european options and black-scholes models concept. the third chapter is on modeling, using monte carlo algorithm to generate european option pricing formula, which receive

10、d european option pricing based on monte carlo algorithm. the fourth chapter is on monte carlo algorithm, mainly on the improved algorithm of quasi-monte carlo simulation, combined with low-discrepancy sequences halton which can make option prices closer to european-style call option pricing true va

11、lue. the fifth chapter is on conclusion and it is the summary of the results of this articles.keywords: monte carlo algorithms； european option pricing； variance reduction technology目 錄1 引言11.1 研究背景及研究意義11.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.3本文研究?jī)?nèi)容及研究結(jié)構(gòu)22 基礎(chǔ)知識(shí)42.1 蒙特卡洛算法42.1.1 蒙特卡洛算法簡(jiǎn)介42.1.2 蒙特卡洛算法的基本原理52.1.3 蒙特卡洛算法的效率62.1

12、.4 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點(diǎn)72.2 關(guān)于期權(quán)的一些介紹82.2.1 期權(quán)的概念82.2.2 期權(quán)的分類82.2.3 期權(quán)價(jià)值92.2.4 期權(quán)價(jià)格的影響因素102.2.5 期權(quán)的交易原理122.3 期權(quán)的定價(jià)模型122.3.1 歐式期權(quán)定價(jià)模型介紹122.3.2 b-s期權(quán)定價(jià)模型的建立122.3.3 風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型143 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題實(shí)現(xiàn)174 蒙特卡洛算法的改進(jìn)214.1 縮減方差技術(shù)214.1.1 控制變量法214.1.2 對(duì)偶變量法224.2 擬蒙特卡洛算法23結(jié) 論28參考文獻(xiàn)29致 謝301 引言1.1 研究背景及研究意義 眾所周知，在當(dāng)今21世紀(jì)，全球

13、經(jīng)濟(jì)都處于一種不斷攀升的狀態(tài)，在我國(guó)更是如此，一個(gè)國(guó)家的興衰與它的經(jīng)濟(jì)狀況是緊密相連的，于是在這種大背景下，就衍生出了很多金融衍生品。金融衍生產(chǎn)品，顧名思義，它是金融產(chǎn)業(yè)的派生物，是一種金融工具。金融衍生產(chǎn)品事實(shí)上可以稱之為一種合約，它的價(jià)值是依賴于基礎(chǔ)資產(chǎn)的，隨基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)值的變動(dòng)而變動(dòng)。它在國(guó)際上的分類也是有很多種的，目前主要是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài)、原生資產(chǎn)和交易方法分類的，本文主要研究的是依據(jù)產(chǎn)品形態(tài)的分類，大致可分為遠(yuǎn)期、期貨、期權(quán)以及互換四類，而在這四類中，大多數(shù)人更關(guān)注期權(quán)。 金融產(chǎn)業(yè)依照其自身特點(diǎn)，本來就是高風(fēng)險(xiǎn)的，而為了規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn)，期權(quán)就應(yīng)運(yùn)而生了，縱觀歷史發(fā)展，早在圣經(jīng).創(chuàng)世紀(jì)和17

14、世紀(jì)荷蘭郁金香炒作事件中，期權(quán)的概念就已頻頻出現(xiàn)了，18世紀(jì)時(shí)，歐洲和美國(guó)則相繼出現(xiàn)了有組織有紀(jì)律的期權(quán)交易及股票期權(quán)，直到1973年4月26日，標(biāo)志著期權(quán)時(shí)代真正開始的世界第一家期權(quán)交易所芝加哥期權(quán)交易所誕生了，同年，fisher black和myron scholes發(fā)表論文期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債使得期權(quán)定價(jià)難題迎刃而解，這便是著名的black-scholes模型。 然而在black-scholes模型中，無風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利率、股票波動(dòng)率均為常數(shù)，這顯然不符合現(xiàn)實(shí)，現(xiàn)實(shí)中的期權(quán)不僅形式多變，而且利率也是隨機(jī)的，其標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格更是受各方面因素的影響，所以說black-scholes模型是具有

15、局限性的，并且毫無疑問大量事實(shí)表明通過black-scholes模型得到的期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格是有一定差異的，在對(duì)black-scholes模型改進(jìn)的過程中，有幾種最為主要的期權(quán)研究方法相應(yīng)而出，分別為：蒙特卡洛法、倒向隨機(jī)微分方程法、鞅方法、二叉樹法以及有限差分法。本文主要用到的是早在19世紀(jì)就已被提出的蒙特卡洛法，蒙特卡洛法即為利用計(jì)算機(jī)生成大量隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而模擬標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，得出相應(yīng)的期權(quán)收益，并將此收益依照無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，再得到多次貼現(xiàn)后的平均值，最終得出期權(quán)估計(jì)值的方法。值得一提的是，相較于其他數(shù)值方法，蒙特卡洛方法的收斂速度與維度無關(guān)且計(jì)算速度快，同時(shí)又降低了成本。1.2

16、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀期權(quán)定價(jià)問題是受到全球金融界矚目的復(fù)雜研究問題之一，主要還是表現(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面?，F(xiàn)如今，在金融史上最具歷史性意義的金融期權(quán)的定價(jià)模型最初是由布萊克(fisher black)及斯科爾斯(myron scholes) 在1973年發(fā)表于美國(guó)的著名政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志上的一篇文章中提到的，文章名稱為期權(quán)定價(jià)與公司債務(wù)。他們?cè)谘芯孔畛醯耐茖?dǎo)過程之前，做了一系列的基本假設(shè)，在這些假設(shè)條件下他們推導(dǎo)出了著名的black-scholes模型微分方程以及期權(quán)定價(jià)公式，之后r.merton則對(duì)該模型做出了相當(dāng)重要的推廣和改進(jìn)。這樣就使得black-scholes模型能夠適用于更加廣泛的金融行業(yè)衍生產(chǎn)品

17、，并且可以適用于更加寬松同時(shí)更加普遍的經(jīng)濟(jì)金融環(huán)境中。下面，我們舉個(gè)例子來說明這一點(diǎn)，針對(duì)于傳統(tǒng)的 black-scholes 模型，股票假設(shè)為是不具有紅利的，r. merton 則對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，并且他從另一方面重點(diǎn)提出了針對(duì)于存在紅利的股票使用的特殊期權(quán)定價(jià)模型。然而，在我國(guó)境內(nèi)，目前關(guān)于金融期權(quán)定價(jià)理論方面的研究仍處于剛剛起步的階段。早在1997年中，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予m.scholes和r.merton后，我國(guó)就已經(jīng)開始掀起了關(guān)于金融衍生工具的研究熱潮，自此開始，我國(guó)也不斷地有專著，譯著和與金融衍生物話題相關(guān)的論文問世。程松林，劉三明1專家結(jié)合black-scholes模型，用蒙特卡洛

18、方法模擬了期權(quán) 定價(jià)的相關(guān)問題，進(jìn)而更加深入的討論了關(guān)于金融期權(quán)定價(jià)的理論研究模型。姜禮尚、茅寧等人也相繼著有專著來研究討論有關(guān)期權(quán)及其應(yīng)用的一些相關(guān)問題。牟曠凝4則是探討了擬蒙特卡洛方法相較原始蒙特卡洛方法應(yīng)用于金融期權(quán)定價(jià)問題的優(yōu)勢(shì)。徐博馳和田波平副教授5也研究了隨機(jī)沖擊環(huán)境對(duì)于金融市場(chǎng)上期權(quán)定價(jià)的影響，并指出了black-scholes模型是存在一定的局限性的。近十幾年來隨著倒向隨機(jī)方程研究的快速發(fā)展，也使得倒向隨機(jī)微分方程在金融領(lǐng)域的應(yīng)用受到越來越廣泛的關(guān)注。中國(guó)山東大學(xué)的羅晨曦10在彭實(shí)戈教授的指導(dǎo)下也為此領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)，彭實(shí)戈教授利用倒向隨機(jī)微分方程得到feynman-kac公

19、式，該公式在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用。解決歐式期權(quán)定價(jià)問題主要應(yīng)用是數(shù)值方法，解決歐式期權(quán)定價(jià)問題的數(shù)值法主要有三種,分別是由cox、ross和robinstein于1979年提出的二叉樹圖法，有限差 分方法以及蒙特卡洛模擬算法。蒙特卡洛模擬算法在學(xué)術(shù)界上來說正式誕生是在1949年，由n.metropolis和s.ulam提出。但是事實(shí)上，在美國(guó)，國(guó)家國(guó)防部早在1949年之前就已經(jīng)在非常多的機(jī)密的工程中多次使用過這種 方法了。同時(shí)，針對(duì)于解決歐式期權(quán)問題的數(shù)值方法，國(guó)內(nèi)的研究人員對(duì)于這類方法已經(jīng)提出了很多有效的改進(jìn)意見，例如李東等人利用小波的方式來計(jì)算美式看跌期權(quán)的定價(jià)，張鐵等人使用了有限

20、元方法計(jì)算得出了美式期權(quán)的定價(jià)。同濟(jì)大學(xué)的姜禮尚教授等人對(duì)美式期權(quán)的二叉樹法的收斂性問題也做出了研究，同時(shí)，他對(duì)于多個(gè)資產(chǎn)的美式期權(quán)定價(jià)問題也都有相應(yīng)的研究?？偨Y(jié)一下也就是說國(guó)內(nèi)的研究方向主要是集中在數(shù)值方法上，對(duì)近似解析方法的研究則是還比較少。1.3本文研究?jī)?nèi)容及研究結(jié)構(gòu)本文基于蒙特卡洛算法，將歐式期權(quán)定價(jià)隨機(jī)化，文章共分為五個(gè)章節(jié)。 第一章引言。主要介紹了期權(quán)的發(fā)展趨勢(shì)，說明采用蒙特卡洛方法的優(yōu)勢(shì)及意義，同時(shí)講解了文章的研究背景及研究意義，論述國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，最后明確了本文的研究?jī)?nèi)容以及相應(yīng)結(jié)構(gòu)安排。 第二章主要介紹與本文相關(guān)的理論知識(shí)基礎(chǔ)。例如，蒙特卡洛算法、期權(quán)、歐式期權(quán)、期權(quán)定價(jià)的相

21、關(guān)概念，同時(shí)，介紹了一系列的生成隨機(jī)數(shù)組的方法以及針對(duì)于歐式期權(quán)適用的black-scholes模型，為后面的章節(jié)提供充分的理論基礎(chǔ)。 第三章主要就是建立歐式期權(quán)定價(jià)模型。利用蒙特卡洛算法生成歐式期權(quán)定價(jià)公式，進(jìn)而得到基于蒙特卡洛算法下的歐式期權(quán)價(jià)格。蒙特卡洛算法的基本思路是根據(jù)資產(chǎn)價(jià)格呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價(jià)格分布。由此根據(jù)期權(quán)在資產(chǎn)不同價(jià)格下的價(jià)值得到期權(quán)在到期日的價(jià)值分布，再取期權(quán)在到期日價(jià)值的均值作為期權(quán)的價(jià)格。第四章為蒙特卡洛算法改進(jìn)方法，主要是闡述了改進(jìn)后的擬蒙特卡洛模擬算法，結(jié)合了halton偏低差序列后，使得期權(quán)價(jià)格

22、更接近歐式看漲期權(quán)價(jià)格的真實(shí)值。 第五章為本文結(jié)論章節(jié)。主要是對(duì)本文的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。2 基礎(chǔ)知識(shí)2.1 蒙特卡洛算法2.1.1 蒙特卡洛算法簡(jiǎn)介蒙特卡洛算法是金融學(xué)中極為重要的一類數(shù)值方法。它又可以稱之為計(jì)算機(jī)模擬方法，它的誕生是基于概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的，以中心極限定理和大數(shù)定律為主要理論基礎(chǔ)，同時(shí)蒙特卡洛又是在歐洲摩納哥的一個(gè)世界級(jí)賭城，故因此而得名。中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并應(yīng)用正態(tài)分布的良好性質(zhì)解決實(shí)際問題。設(shè)，為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量序列，若，則有，其等價(jià)形式為，。大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛算法中用

23、到的是隨機(jī)變量序列同分布的柯爾莫戈洛夫強(qiáng)大數(shù)定律。設(shè)，為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量序列，若，則有，顯然，若，是由同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值，當(dāng)很大時(shí)，以概率1收斂于總體均值。蒙特卡洛算法誕生于17世紀(jì)，當(dāng)時(shí)的人們很聰明的知道利用某種事件的發(fā)生頻率來決定事件發(fā)生概率。舉個(gè)例子，如果考慮在一個(gè)平面上，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形存在，并且在正方形內(nèi)部存在一個(gè)不規(guī)則形狀的“圖形”，而如何精確地計(jì)算出這個(gè)不規(guī)則“圖形”的面積就是蒙特卡洛算法要解決的問題了。蒙特卡洛算法就是一種所謂的“隨機(jī)化”的方法：向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，但必須保證投的點(diǎn)全部落在該“圖形”內(nèi)，則該圖形的面積近似于。由于蒙特

24、卡洛算法的誕生，在19世紀(jì)，人們便是用這個(gè)方法演變出的投針試驗(yàn)估算出了圓周率。值得一提的是，蒙特卡洛算法生成的數(shù)據(jù)事實(shí)上是偽隨機(jī)數(shù)。數(shù)學(xué)軟件matlab計(jì)算圓周率代碼如下：>> number=9000000;>> x=rand(number,1);>> y=rand(number,1);>> num=zeros(length(x),1);>> for i=1:length(x)if(x(i)-0.5)2+(y(i)-0.5)2<0.25num(i)=4;elsenum(i)=0;endend>> mean(num)a

25、ns = 3.14152.1.2 蒙特卡洛算法的基本原理 蒙特卡洛算法大致可表述為：（1）建立一個(gè)與求解問題相關(guān)的概率模型，使得所需求得的解的值或者它的函數(shù)能夠表示為所建模型的數(shù)學(xué)期望。（2）對(duì)該模型進(jìn)行大量的抽樣數(shù)據(jù)模擬，用抽樣生成的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值作為所求得的解的近似估計(jì)值。因此，可以簡(jiǎn)單地認(rèn)為，蒙特卡洛算法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分的，即為將所要計(jì)算的積分看作服從某種特殊分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。以下舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來講述下蒙特卡洛算法的基本原理，例如： （2.1） 這個(gè)式子的含義為計(jì)算函數(shù)在0，1區(qū)間上的積分值，通過（2.1）式，我們不難發(fā)現(xiàn)該算術(shù)式等價(jià)于計(jì)算數(shù)學(xué)期望 （2

26、.2）其中，變量是服從0，1區(qū)間上的均勻分布，即為。將該式子解釋的更為通俗一些就是說，我們通過某個(gè)試驗(yàn)，得到個(gè)觀察值，分別為，.，這在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中表示為從分布密度函數(shù)中，抽取個(gè)樣本，.，然后計(jì)算出個(gè)隨機(jī)變量的值，.，再將上述這些函數(shù)值累加起來，并最終計(jì)算出他們的算術(shù)平均值作為的蒙特卡洛估計(jì) （2.3）所以說，由以上描述不難看出，蒙特卡洛算法的關(guān)鍵所在就是隨機(jī)抽樣。假設(shè)取到無限大，根據(jù)大數(shù)定律，將會(huì)幾乎取代的值，最終作為的近似值存在。為了更好的闡述蒙特卡洛算法，我們可以將上述問題表示為以下形式 （2.4）其中，是所要求的值，是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)依賴于隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量，是的分布函數(shù)。 得到的統(tǒng)計(jì)

27、估計(jì)量和所要求的精確值的近似度與所選取的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，對(duì)于任意的，滿足 （2.5）可以看出，當(dāng)時(shí)，收斂于。事實(shí)上，在使用蒙特卡洛算法模擬時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量，其中最基本和最重要的隨機(jī)變量便是在區(qū)間上的產(chǎn)生的均勻分布的隨機(jī)變量。蒙特卡洛生成的隨機(jī)數(shù)簡(jiǎn)而言之就是服從此種均勻分布的隨機(jī)變量。其他各類分布的隨機(jī)變量都是借助于隨機(jī)數(shù)來實(shí)現(xiàn)的，由此可見，隨機(jī)數(shù)是抽樣計(jì)算的基本工具。近年來，科技進(jìn)步，隨著高速電子計(jì)算機(jī)的問世，使得運(yùn)用蒙特卡洛算法模擬大量數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)成為可能。在計(jì)算工具方面，例如表格工具excel中的random指令，數(shù)學(xué)工具matlab中的randn函數(shù)等等。從嚴(yán)格意義上

28、來講，這種隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生并不是隨機(jī)的，而是根據(jù)確定的遞推公式獲得的，所以被稱之為偽隨機(jī)數(shù)，然而雖然它不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，但也并不會(huì)影響到估算結(jié)果。2.1.3 蒙特卡洛算法的效率我們現(xiàn)在假設(shè)所求量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么近似確定的蒙特卡洛算法是對(duì)進(jìn)行次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量序列，并計(jì)算出樣本均值 （2.6）由（2.6）式的結(jié)論根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理理論，我們可以得出 ，因此，當(dāng)大到無窮時(shí)，可用作為所需要求得的估算量的估計(jì)值。得出估計(jì)值后，通過中心極限定理，我們就可以得到估計(jì)的誤差量了。設(shè)隨機(jī)變量的方差，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布的上分位數(shù)，有 （2.7）這表明，置信水平所對(duì)應(yīng)的漸進(jìn)置信區(qū)間可以

29、表示為。實(shí)際上，由此不僅確定了置信區(qū)間，還可以確定蒙特卡洛算法上的概率化誤差邊界，其誤差為，誤差收斂速度是。由以上數(shù)據(jù)及公式，我們不難看出，蒙特卡洛算法的誤差是由和同時(shí)決定的。在對(duì)同一個(gè)進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將增大100倍；要么固定將減小10倍。若兩個(gè)隨機(jī)變量，的數(shù)學(xué)期望，那么無論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計(jì)值。為比較其誤差，我們可以假設(shè)獲得的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為，那么在時(shí)間內(nèi)生成的抽樣數(shù)，若使，則需使。因而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能單純的考慮增加模擬的次數(shù)或是減少方差，應(yīng)當(dāng)在減小方差的同時(shí)兼顧抽取一個(gè)樣本所耗費(fèi)的機(jī)時(shí)，使方差與機(jī)時(shí)的乘積盡量的小。2.

30、1.4 蒙特卡洛算法的優(yōu)缺點(diǎn)蒙特卡洛算法能夠逼真的描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)，并且受幾何條件的限制很小。除此之外，其收斂速度與待解決的問題的維數(shù)是不相關(guān)的。維數(shù)若要變化，只會(huì)引起抽樣所需的時(shí)間及計(jì)算估計(jì)量的時(shí)間的變化，并不會(huì)影響誤差，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)決定了蒙特卡洛算法對(duì)多維問題的適應(yīng)性。這是普通的數(shù)值方法幾乎都難以攻克的問題。另外，它還具有同一時(shí)間計(jì)算多個(gè)方案和多個(gè)未知變化量的能力，且其誤差容易確定。利用高級(jí)計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，使用該方法的程序結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，分塊性強(qiáng)，更容易令其實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然，無論什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不會(huì)存在例外。在維數(shù)相對(duì)較低的情況下，其相應(yīng)收斂速度相對(duì)較慢，而且其誤差

31、是在一定的置信水平下估計(jì)的，所以它的誤差是具有一定的概率性的，此外，它的計(jì)算結(jié)果事實(shí)上是依賴于系統(tǒng)的大小的，對(duì)于大系統(tǒng)大概率事件或者是小系統(tǒng)小概率事件的問題，經(jīng)計(jì)算研究發(fā)現(xiàn)其計(jì)算結(jié)果往往比真實(shí)值還要偏低。2.2 關(guān)于期權(quán)的一些介紹2.2.1 期權(quán)的概念期權(quán)，也可以稱之為選擇權(quán)，它其實(shí)是一種在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一款非常實(shí)用的衍生性金融工具。就期權(quán)的本質(zhì)而言，它其實(shí)指的是在未來的一定的時(shí)期內(nèi)可以隨意自由進(jìn)行買賣 的權(quán)利，是買方向期權(quán)賣方支付一定數(shù)量的金額（權(quán)利金）后，擁有的 在未來的一段時(shí)間內(nèi)（特指美式期權(quán)）或未來的某一特定日期（特指歐式期權(quán)），以事先規(guī)定好的價(jià)格（履約價(jià)格）向期權(quán)賣方購(gòu)買或出售一

32、定數(shù)量的特定標(biāo)的物的權(quán)利，但是并不負(fù)有期權(quán)必須買進(jìn)或賣出的義務(wù)。期權(quán)在金融領(lǐng)域中，實(shí)質(zhì)上是將權(quán)力和義務(wù)分開進(jìn)行定價(jià)的，從而使權(quán)利的受益人在規(guī)定時(shí)間內(nèi)決定是否進(jìn)行交易，行使其本就有的權(quán)利，而義務(wù)方不允許拒絕。在本文表2-1中，詳細(xì)的闡述了在期權(quán)交易過程中，雙方權(quán)利與義務(wù)的關(guān)系。 表2-1 期權(quán)交易中買賣雙方的權(quán)利與義務(wù)關(guān)系表買方賣方權(quán)利與義務(wù)關(guān)系有權(quán)利無義務(wù)有義務(wù)無權(quán)利期權(quán)費(fèi)支出收入履行合約主動(dòng)決定被動(dòng)接受最大損失期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金無限最大獲利無限期權(quán)費(fèi)或期權(quán)金2.2.2 期權(quán)的分類期權(quán)由于其交易方式、交易方向以及標(biāo)的物等方面的不同，導(dǎo)致產(chǎn)生了眾多的期權(quán)品種，只有對(duì)它們進(jìn)行合理的分類，我們才能對(duì)期權(quán)

33、有更多更好的了解。本文重點(diǎn)介紹的是歐式期權(quán)，它是按照交割時(shí)間來進(jìn)行劃分的。目前市面上的期權(quán)種類主要有三種，分別是：歐式期權(quán)、美式期權(quán)、亞式期權(quán)三類。歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日之前不能行使權(quán)利，而如果過了期限，合約則會(huì)自動(dòng)作廢。歐式期權(quán)的結(jié)算日是履行合約后的一天到兩天。目前國(guó)內(nèi)的外匯期權(quán)交易幾乎都是采用的歐式期權(quán)合同方式。美式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)，包括期權(quán)到期日在內(nèi)的任何時(shí)間，持有者都可以行使該項(xiàng)權(quán)利。美式期權(quán)的結(jié)算日是在履行合約后的一天到兩天。值得一提的是，雖然大多數(shù)的美式期權(quán)合同允許持有者在交易日至履行合約日之內(nèi)的任意時(shí)間履行

34、合約，但也存在少數(shù)美式期權(quán)合同明確規(guī)定一段比較短的時(shí)間履行合約，比如說“到期日前一周”。亞式期權(quán)從本質(zhì)上看就是創(chuàng)新后的歐式期權(quán)，它不同于歐式期權(quán)，取合約履行日標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，而是期權(quán)合約期內(nèi)某段時(shí)間標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格的平均值，同時(shí)這段時(shí)間被稱為平均期，在對(duì)期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行平均時(shí)，采用的方法就是算術(shù)平均法或者幾何平均法。由此可見，歐式期權(quán)本少利大，但在獲利的時(shí)間上不具靈活性；相反的，美式期權(quán)雖然靈活，但付費(fèi)十分昂貴。因此，目前狀況是國(guó)際上大部分的期權(quán)交易都是歐式期權(quán)。除了以上三種常見期權(quán)，期權(quán)經(jīng)常性的還會(huì)分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩種。所謂看漲期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間（或在某一確定有效期

35、內(nèi)）以某一確定價(jià)格來購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)。所謂看跌期權(quán)就是指期權(quán)的持有者有權(quán)在某一確定時(shí)間（或在某一確定有效期內(nèi)）以某一確定價(jià)格來出售標(biāo)的資產(chǎn)。2.2.3 期權(quán)價(jià)值不管是哪類期權(quán)，都會(huì)有自身的內(nèi)在價(jià)值存在。所謂的內(nèi)在價(jià)值，指的就是在期權(quán)內(nèi)部，零和期權(quán)立刻執(zhí)行的時(shí)候所具有的價(jià)值間的極大值或者極小值，也就是，在這個(gè)式子中，代表的就是標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格，代表的則為期權(quán)執(zhí)行的價(jià)格。而在同時(shí)，期權(quán)根據(jù)其內(nèi)在價(jià)值的大小又分為了實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)還有兩平期權(quán)三種。實(shí)值期權(quán)，顧名思義，指的就是具有真實(shí)價(jià)格的期權(quán)，也就是說期權(quán)的持有人對(duì)于期權(quán)是立即執(zhí)行的，由于持有者的立即執(zhí)行，致使期權(quán)價(jià)值獲利大于零，故將其稱為實(shí)值期權(quán)。

36、兩平期權(quán)，也很好理解，與實(shí)值期權(quán)概念相似，只不過就是期權(quán)的持有人在對(duì)于期權(quán)立即執(zhí)行后，致使期權(quán)價(jià)值獲利為零，此時(shí)持有者處于一種不賠不賺的狀態(tài)，故將其稱為兩平期權(quán)。虛值期權(quán)，與實(shí)值期權(quán)和兩平期權(quán)一樣，同樣是期權(quán)的持有者在立即執(zhí)行，其期權(quán)執(zhí)行結(jié)果是致使期權(quán)價(jià)值獲利小于零，此時(shí)持有者處于一種賠了的狀態(tài)，不存在期權(quán)價(jià)值了，故將其稱為虛值期權(quán)?？偨Y(jié)一下，本文以賣權(quán)舉例：首先，由于標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)格低于其執(zhí)行價(jià)格，賣方買進(jìn)標(biāo)的物時(shí)的價(jià)格就會(huì)偏低，因而再賣出時(shí)價(jià)格就是上升，從而獲利，正是這種原因?qū)е铝藢?shí)值賣權(quán)的出現(xiàn)。其次，由于買進(jìn)標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)等于賣出時(shí)的執(zhí)行價(jià)格，賣方從中未盈利，這便是兩平期權(quán)。最后，由于買

37、進(jìn)標(biāo)的物時(shí)候的市場(chǎng)價(jià)格大于賣出時(shí)候的執(zhí)行價(jià)格，若賣方履約，則買方處于一種被動(dòng)狀態(tài)，不得不履行約定，致使虧損，這種情況便是虛值期權(quán)。值得一提的是，如果真的遇到了虛值期權(quán)現(xiàn)象，買方多數(shù)會(huì)選擇放棄履行約定權(quán)利，這樣做的話損失的部分并不會(huì)很多，僅僅限制于期權(quán)費(fèi)用而已。針對(duì)于這三種情況，我們都必須提高警惕，期權(quán)市場(chǎng)誰都說不好，也許今天還是實(shí)值期權(quán)，明天可能就變成了虛值期權(quán)了。為了更方便于大家的參閱，本文將實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)制成了表格2-2，其中代表標(biāo)的物的市場(chǎng)價(jià)，則代表期權(quán)最終執(zhí)行價(jià)格。表2-2 實(shí)值期權(quán)、兩平期權(quán)以及虛值期權(quán)與買、賣權(quán)的關(guān)系s與k的關(guān)系買權(quán)賣權(quán)s>k實(shí)值虛值

38、s=k兩平兩平s<k虛值實(shí)值期權(quán)價(jià)值，實(shí)則還有一種時(shí)間價(jià)值，但鑒于本文研究的是歐式期權(quán)，時(shí)間價(jià)值則是與美式期權(quán)緊密相關(guān)的，故在此就不多做介紹了。2.2.4 期權(quán)價(jià)格的影響因素假設(shè)是股票的初始價(jià)格，是履行合約的執(zhí)行價(jià)格，為期權(quán)合約到期的時(shí)間，表示目前的時(shí)間，表示為在時(shí)刻的時(shí)候，股票的市場(chǎng)價(jià)格，表示為從時(shí)刻到期權(quán)到期執(zhí)行日的無風(fēng)險(xiǎn)利率，利息的話就按照連續(xù)的復(fù)利方式計(jì)算，表示購(gòu)買的一種股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)值，表示賣出的一種股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)值，表示股票價(jià)格產(chǎn)生變化的波動(dòng)率。1、 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。對(duì)于歐式看漲期權(quán)而言，由于其到期執(zhí)行價(jià)格是固定的，所以說如果期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格上升的話，那么歐式看

39、漲期權(quán)的價(jià)格也會(huì)跟隨著增加。2、 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。在到期行使期權(quán)的時(shí)侯，在絕大多數(shù)期權(quán)交易中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格會(huì)很接近于持有者手中持有的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。執(zhí)行價(jià)格在期權(quán)合約里往往都有相當(dāng)明確的規(guī)定，是期權(quán)交易所依照特殊的標(biāo)準(zhǔn)以增減的形式給出，這就導(dǎo)致了同一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)確有很多個(gè)不同的價(jià)格。一般的，在一種期權(quán)交易的開始，交易市場(chǎng)都會(huì)按照特定的價(jià)格間距，給出幾組不同的價(jià)格，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)情況適時(shí)加價(jià)，至于對(duì)于每種期權(quán)到底有多少種價(jià)格，這就取決該項(xiàng)期標(biāo)的資產(chǎn)交易中的波動(dòng)情況了。不過，對(duì)于投資者而言，在選擇執(zhí)行價(jià)格時(shí)只要遵循一個(gè)原則就好了，就是選擇最接近標(biāo)的資產(chǎn)活躍區(qū)間價(jià)格的期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。3、 標(biāo)的

40、資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率增加意味著期權(quán)的價(jià)格也會(huì)隨之增加，同時(shí)波動(dòng)率的增加也意味著期權(quán)持有者也就是買方獲利會(huì)更多。4、 距期權(quán)執(zhí)行日的剩余時(shí)間。單就剩余時(shí)間這一條而言，剩余的時(shí)間越多，期權(quán)執(zhí)行時(shí)的價(jià)格就越高。原因就是時(shí)間越充裕，標(biāo)的資產(chǎn)就越會(huì)有充裕的時(shí)間，有更多的機(jī)會(huì)向著對(duì)期權(quán)買家有利的方向變動(dòng)，最后，隨著時(shí)間一點(diǎn)點(diǎn)減少，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的概率也就相應(yīng)減少了。相反的，剩余時(shí)間越少，離到期日越近，期權(quán)價(jià)格變動(dòng)越快。5、 無風(fēng)險(xiǎn)利率。無風(fēng)險(xiǎn)利率指的就是投放資金于一項(xiàng)不含任何風(fēng)險(xiǎn)的活動(dòng)，而取得的利息率。這是人人都想得到的一種最理想的投資理念。無風(fēng)險(xiǎn)利率是與期權(quán)時(shí)間價(jià)值成反比的。當(dāng)其他期

41、權(quán)影響因素固定不變時(shí)，若無風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率有可能會(huì)上升，這就致使期權(quán)買方在未來的某一時(shí)刻收到的現(xiàn)金流現(xiàn)值很有可能會(huì)下降，這樣只會(huì)使得看跌期權(quán)價(jià)值相對(duì)下降，故而，我們得出結(jié)論，無風(fēng)險(xiǎn)利率與看跌期權(quán)價(jià)值成反比，然而，就看漲期權(quán)，我們認(rèn)為無風(fēng)險(xiǎn)利率是與看漲期權(quán)成正比的。為了便于讀者更好的理解，本文把上述幾種期權(quán)影響因素制作成表2-3，如下：表2-3 各類因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響影響因素看漲期權(quán)看跌期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格上升下降標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)率上升下降到期執(zhí)行價(jià)格上升下降距到期日的剩余時(shí)間上升下降無風(fēng)險(xiǎn)利率上升下降從以上分析不難看出，期權(quán)最初的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和期權(quán)到期的執(zhí)行價(jià)格這兩個(gè)

42、因素對(duì)于決定期權(quán)價(jià)格是尤為重要的，它們主要決定了某種期權(quán)究竟是何種類型的，實(shí)值、兩平或者是虛值。并且隨著到期時(shí)間的縮短，期權(quán)價(jià)值也會(huì)跟隨降低。利率的變化對(duì)于期權(quán)價(jià)值相對(duì)復(fù)雜些，不過簡(jiǎn)單來說就是利率上升，不但會(huì)使得期權(quán)持有者成本增加，同時(shí)也增長(zhǎng)了市場(chǎng)方面對(duì)資產(chǎn)的價(jià)格上的預(yù)測(cè)，繼而直接導(dǎo)致看漲期權(quán)價(jià)格上調(diào)，看跌期權(quán)的價(jià)格跌落。2.2.5 期權(quán)的交易原理首先，買方看準(zhǔn)市場(chǎng)，買入已事先約定好標(biāo)的物價(jià)格的看漲期權(quán)，然后支付少量的權(quán)利金，至此便享有了買入期貨的權(quán)利。享有該項(xiàng)權(quán)利后，一旦價(jià)格上調(diào)，就要履行上漲期權(quán)，購(gòu)買時(shí)是低價(jià)購(gòu)進(jìn)，賣出時(shí)期權(quán)價(jià)格上漲，就以高價(jià)賣出，從中獲取差額利潤(rùn)，這樣不僅彌補(bǔ)了期初支付的

43、權(quán)利金，而且還有盈余。相對(duì)的，如果期權(quán)價(jià)格沒有上漲而是下跌了，期權(quán)持有者就可以選擇放棄期權(quán)或者以低價(jià)轉(zhuǎn)讓看漲期權(quán)，這樣做的話最大不過是損失了權(quán)利金而已。買家之所以會(huì)買入看漲期權(quán)，主要是因?yàn)橘I家在購(gòu)買前，分析了有關(guān)期貨市場(chǎng)上價(jià)格的變動(dòng)，通過分析，買家會(huì)認(rèn)為期貨市場(chǎng)上該股上漲空間更大一些，所以，買家選擇了持有看漲期權(quán)，之后買家支付了一定金額的權(quán)利金，一旦市場(chǎng)上的價(jià)格如意料中大幅上漲，持有者便低收高賣從中獲利。如果買方對(duì)市場(chǎng)價(jià)格分析不準(zhǔn)確，有兩種可能，一種是價(jià)格也上漲了，不過幅度很小，這樣也是可以取得一點(diǎn)利潤(rùn)的，至少?gòu)浹a(bǔ)了權(quán)利金的損失，另一種可能就是，市場(chǎng)上的價(jià)格下跌了，賣方選擇不履行約定，那么期權(quán)

44、持有者的損失就是必然的了，不過持有者的最大損失也就是期初支付的權(quán)利金的金額。2.3 期權(quán)的定價(jià)模型2.3.1 歐式期權(quán)定價(jià)模型介紹歐式期權(quán)在文章2.2.2節(jié)中已經(jīng)介紹過了，歐式期權(quán)指的是在期權(quán)合約規(guī)定的到期日才可以行使該權(quán)利，期權(quán)的持有者在合約到期日之前不能行使該項(xiàng)權(quán)利，期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)合約中唯一一個(gè)隨市場(chǎng)供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的核心問題。所以，期權(quán)定價(jià)一直以來都是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域上最為復(fù)雜的問題之一。世界上第一個(gè)完整的、直至現(xiàn)在都在應(yīng)用中的期權(quán)定價(jià)模型就是問世于1973年的，由fisher black和myron scholes創(chuàng)立下的blac

45、k-scholes期權(quán)定價(jià)模型，以下簡(jiǎn)稱b-s模型。當(dāng)然，隨著學(xué)術(shù)上的不斷推廣，接下來又相繼產(chǎn)生了多種期權(quán)定價(jià)方法，如最小二項(xiàng)式定價(jià)方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法以及鞅定價(jià)方法等等，但在這些方法中，b-s期權(quán)定價(jià)模型是期權(quán)定價(jià)問題的核心和基礎(chǔ)。2.3.2 b-s期權(quán)定價(jià)模型的建立b-s期權(quán)定價(jià)模型是金融界期權(quán)定價(jià)的核心、基礎(chǔ)理論，現(xiàn)建立b-s模型，需具備的假設(shè)條件如下：1、標(biāo)的證券的價(jià)格需要遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng) （2.6）其中，表示標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格，表示時(shí)間，是的函數(shù)，表示的是標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，表示的是標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，則表示維納過程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費(fèi)

46、用或稅收等交易成本。4、無風(fēng)險(xiǎn)利率為一個(gè)固定常數(shù)且對(duì)所有期權(quán)到期日都一樣。5、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。6、市場(chǎng)上不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。7、無風(fēng)險(xiǎn)利率為一個(gè)固定常數(shù)且對(duì)所有期權(quán)到期日都一樣。8、股票波動(dòng)率相對(duì)穩(wěn)定。下面介紹一下為了得到期權(quán)微分形式，不可或缺的且在隨機(jī)微分中最為重要的伊藤公式。設(shè)，是二元可微函數(shù)，若在隨機(jī)過程中，滿足如下的隨機(jī)微分方程 （2.7）則有 （2.8） 根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)值的微分形式為 （2.9） 進(jìn)而，我們可以構(gòu)造出無風(fēng)險(xiǎn)組合，即有，整理后得 （2.10）表達(dá)式（2.10）就是表示期權(quán)價(jià)格變化的b-s模型。它的

47、使用范圍偏廣泛，包括歐式看 漲期權(quán)、歐式看 跌期權(quán)、美式看 漲期權(quán)、美式看 跌期權(quán)，只不過，由于它們的終值條件以及邊界條件不盡相同，導(dǎo)致它們的價(jià)值也各不相同。歐式看漲、看跌期權(quán)的終邊值條件分別為：歐式看漲期權(quán)終、邊值條件為 （2.11） （2.12）通過求解得出歐式看漲期權(quán)的解析解為 （2.13）其中，為期權(quán)的執(zhí)行日期，為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。歐式看跌期權(quán)終、邊值條件為 （2.14） （2.15）2.3.3 風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) （2.16）即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率取為無風(fēng)險(xiǎn)利率。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到 （2.17） （2.18） （2.19）對(duì)數(shù)正態(tài)分布

48、的概率密度函數(shù)，假設(shè)，則的密度函數(shù)為 （2.20）根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn)的密度函數(shù)如下 （2.21）在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為： （2.22） （2.23）接下來，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望，對(duì)（2.23）式的右側(cè)第一個(gè)廣義積分做變量替換和，可以得到 （2.24） 再對(duì)等式右側(cè)的第二個(gè)無窮積分，令，可求得 （2.25）將以上求出的計(jì)算結(jié)果帶入期望等式中，最終得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為： （2.26） 其中，?；陲L(fēng)險(xiǎn)中性的期權(quán)定價(jià)原理，任何資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，對(duì)于持有者來說都是風(fēng)險(xiǎn)偏好中性的，可用風(fēng)險(xiǎn)中性概率求取期權(quán)的期望回報(bào)再將其進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)，這樣就得到了初始時(shí)刻的期權(quán)

49、價(jià)值。蒙特卡洛算法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)中性原理的期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。3 基于蒙特卡洛算法的歐式期權(quán)定價(jià)問題實(shí)現(xiàn)期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛算法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，期權(quán)價(jià)格能夠表示為其到期回報(bào)的貼現(xiàn)的期望值，即，其中表示風(fēng)險(xiǎn)中性期望，為無風(fēng)險(xiǎn)利率，為期權(quán)的到期執(zhí)行時(shí)刻，是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的預(yù)期收益。由此可知，計(jì)算期權(quán)價(jià)格即就是計(jì)算一個(gè)期望值，蒙特卡洛算法便是用于估計(jì)期望值的，因此可以得到期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛算法。一般的，期權(quán)定價(jià)蒙特卡洛算法分為以下幾步：（1） 在風(fēng)險(xiǎn)中性的測(cè)度前提下，模擬期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，將時(shí)間區(qū)間分成個(gè)子區(qū)間，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式是 ， （3.1）（

50、2） 嘗試計(jì)算下，在這條路徑下的期權(quán)的到期回報(bào)率，并且可以試圖根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)利率求得期權(quán)到期回報(bào)的貼現(xiàn) （3.2）（3） 重復(fù)前面兩個(gè)步驟，可以得到大量的期權(quán)回報(bào)的貼現(xiàn)值的抽樣 樣本。（4） 求得樣本平均值，進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值 （3.3） 另外，我們還可以通過以上公式得到蒙特卡洛模擬值與真實(shí)值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價(jià)的優(yōu)勢(shì)之一。由于（3.2）式，條路徑的收益均值為，條路徑的方差為，由此可得到95%的置信區(qū)間為。為了使上面闡述的理論更清楚些，我們舉個(gè)簡(jiǎn)單例子說明。假設(shè)現(xiàn)在有一種不含紅利的股票，該股票的初始價(jià)格為20元，其定價(jià)過程符合我們所說的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且該支股

51、票的年期預(yù)計(jì)收益率為12%，其收益率的年波動(dòng)率為25%，無風(fēng)險(xiǎn)利率8%，該股執(zhí)行期權(quán)為2年，執(zhí)行價(jià)格為20元，我們可將所給已知條件數(shù)據(jù)化，即為，數(shù)學(xué)工具matlab編寫代碼如下：>> rx=randn(100,50);>> r=0.125;>> t=1;>> deltat=1/50;>> sigma=0.1;>> s=100*ones(100,1) zeros(100,50);>> for i=1:50s(:,i+1)=s(:,i)+s(:,i)*r*deltat+sigma*deltat0.5*(s(:,i)

52、.*rx(:,i);end>> plot(0:1/50:1,s)使用蒙特卡洛算法模擬出來的路徑如下圖所示： 圖3-1 a股蒙特卡洛算法路徑模擬圖通過數(shù)學(xué)工具matlab，得到計(jì)算機(jī)計(jì)算出的歐式期權(quán)價(jià)格為4.3357元。我們通過路徑模擬次數(shù)的不斷增加，進(jìn)而來比較一下不同路徑次數(shù)模擬下的歐式期權(quán)價(jià)格，如下表3-1所示：表3-1 蒙特卡洛算法路徑模擬次數(shù)與期權(quán)價(jià)值關(guān)系模擬次數(shù)期權(quán)價(jià)值模擬次數(shù)期權(quán)價(jià)值10004.4452170004.336420004.3945180004.340430004.3716190004.351840004.3130200004.348750004.245121

53、0004.345260004.2320220004.355570004.2668230004.360380004.3147240004.354490004.3079250004.3612100004.2958260004.3541110004.3149270004.3583120004.3264280004.3476130004.3395290004.3507140004.3378300004.3631150004.3281160004.3310通過上表，我們不難看出，運(yùn)用蒙特卡洛算法，模擬的次數(shù)越多，得到的結(jié)果就會(huì)越精確，期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)性也就越小，尤其是在20000次的路徑模擬之后，期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)，基本上穩(wěn)定停留在4.3442,4.3634這段區(qū)間上了，證明這個(gè)時(shí)候的期權(quán)價(jià)格已經(jīng)很接近期權(quán)本身的真實(shí)值了，所得結(jié)果也相對(duì)穩(wěn)定下來。我