分形幾何簡(jiǎn)介(PPT課件)

1、分形幾何概述浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系阮火軍內(nèi)容分形幾何的發(fā)展歷史 分形幾何的研究對(duì)象和研究方法 分形幾何的應(yīng)用分形幾何產(chǎn)生的背景經(jīng)典幾何的研究對(duì)象：規(guī)則的圖形，如圓，三角形等.問題：對(duì)于不規(guī)則的圖形：如海岸線，云 的邊界，我們?nèi)绾窝芯浚咳绾斡糜?jì)算機(jī) 去生成？士分形幾何的歷史萌芽期：十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初*Cantor集，Weierstrass函數(shù)等的提出.形成期：二十世紀(jì)六、七十年代.Mandelbrot的大量工作.1. 1967年，Science,英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？2. 1975年，分形對(duì)象：形，機(jī)遇和維數(shù) 分形(fractal)這個(gè)詞源于這本書.它是從意思 是"不規(guī)則的或者斷裂的”拉丁語(yǔ)

2、“fractus”派 岀來(lái)的.分形幾何的歷史（續(xù)）發(fā)展期：二十世紀(jì)八十年代至今.1. Hutchinson, 1981,分形與自相似. 給出了自相似集合的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).2. Mandelbrot, 1982,自然界的分形幾何.3. Barnsley, 1988,Fractal everywhere4. Falconer, 1990,分形幾何數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用.英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？測(cè)量方法：我們想象一個(gè)人沿著一段海岸線揀盡可能 短的道路步行，并規(guī)定每步長(zhǎng)度不超過耳，設(shè) 這樣測(cè)得的海岸線長(zhǎng)度為L(zhǎng)(q) 然后重新開始, 并使他在海岸線上最長(zhǎng)的步長(zhǎng)越來(lái)越短。用一只小老鼠代替人測(cè)量。 用蒼蠅代替小老鼠測(cè)量

3、。測(cè)量結(jié)論：隨著步長(zhǎng)耳越來(lái)越短，我們測(cè)量出 來(lái)的海岸線長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng)。r.英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)(續(xù))？士 Richardso n的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)L(r|)與耳°°成正比，其中oc的值依賴于具體的海 岸線。而且對(duì)同一海岸線，對(duì)不同的區(qū)段，常 常得到不同的oc。在Richardson看來(lái)，oc沒有 存么特別意義。 Mandelbrot 的貢獻(xiàn)把0C的意義挖掘出來(lái)，將l+a=D解釋為“分形 維數(shù)”。其它例子迭代（動(dòng)力系統(tǒng)）的問題給定一個(gè)函數(shù)廣R2 T R2 （或者/ ： C T C），O。f是力個(gè)的復(fù)合函數(shù).輸入：p. e R2.輸出：點(diǎn)列護(hù)（P。）問：點(diǎn)歹I/" （#0）猿有什

4、么樣的性質(zhì)'；Julia集的定義n廣C->C是一個(gè)復(fù)多項(xiàng)式函數(shù)Hz)二工色/k=0f的斥性周期點(diǎn)所組成舲的閉包稱為/的Julia集.若f(z) = z2,則f的Julia集為單位(驗(yàn)證9若f(z) = z2+c,則當(dāng)CO0t, f的Julia集將非常復(fù)雜Julia集的圖象C = -0-5+0-51C = -lC=-0.2+0.75 iC=0-64 iC=-0.2+0.75 iC=0-64 iC=-0.2+0.75 iC=0-64 iMandelbrot 集令 £.(z) = F+cM =c£(0)廣是有界數(shù)列稱為Mandelbrot.n=Mandelbrot

5、集弋微積分中的一個(gè)問題如何研究在閉區(qū)間上處處連續(xù)處處不可導(dǎo) 的函數(shù)：如Weierstrass函數(shù)？-KO/(x)=工2(5_2U sin(/x),2>l,l<s<2. f:0,1 f R.分形幾何的研究對(duì)象（一）自相似集 1 Cantor 集 2 Sierpinski墊片 3 Koch曲線,Cantor集CJI 右Cantor集C中的點(diǎn)的表示 Vxg0,1,可用三進(jìn)制小數(shù)展開無(wú)=£°廠37, aj g 0,1,2. 戶1記為X = (%勺an ) 若¥ =工勺弓一，其中咳工0.我們規(guī)定：戶1當(dāng)色=20寸，取r = (aa2 q 000 );當(dāng)咳=

6、1時(shí),取x =(勺 叫_1222)； 定理e0,1,那么xwC的充分必要條件是:在兀的展開式中，翔廣0或2,"Cantor集C的基本性質(zhì) 1長(zhǎng)度”為零. 2.沒有孤立點(diǎn). 3 閉集. 4自相似.定理設(shè)/(%) = %/3, £(兀)=兀/3 + 2/3,則C =/；(C2£(C).Sierpinsk 墊片Al Al jA At£2l£2 jfl 品品Sierpinsk墊片的生成過程古一第0步、第1步Sierpinsk墊片的生成過程古一第2步、第3步Sierpinski墊片的基本性質(zhì)與Cantor集類似。面積等于0.問題：如何選取合適的兒心厶，使

7、得s= U（s）?Koch曲線Koch曲線的生成過程 第0步、第1步Koch曲線的生成過程 第2步、第3步Koch曲線與雪花曲線IV連接在一起的三段Koch曲線構(gòu)成一個(gè)雪花曲線寸.Koch曲線的一些基本性質(zhì) Koch 曲線具有與Cantor集，Sierpinski墊 片類似的性質(zhì).長(zhǎng)度等于無(wú)窮.士自相似集合的定義相似壓縮映射的定義：設(shè)f是從R"到R11的映射，如果存在常數(shù)l>c>0,使得對(duì) 于Rn中的任意兩點(diǎn)X"有|f(x)-f(y)l=c|x-y|,我們稱f是一個(gè)Rn上的相似映射，相似比為C關(guān)于自相似集合的定理及定義：設(shè)切是R11上的一組相似壓縮映射，貝I存在

8、R"的一個(gè)非空子集E,使得E 二 Ufj(E)我們稱集合E是一個(gè)自相似集合.分形幾何的研究對(duì)象（二）自仿射集（每個(gè)映射都是壓縮的仿射映 射）。迭代函數(shù)系統(tǒng)的不變集（每個(gè)映射都是 壓縮映射）。分形函數(shù)（如：Weierstrass函數(shù)）。隨機(jī)分形（如：隨機(jī)Koch曲線）o隨機(jī)Koch曲線對(duì)海岸線的模擬分形集合的基本特征我們很難給岀分形的定義，但我們認(rèn)為 一個(gè)分形集合E應(yīng)該有如下的特征： E具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì) 節(jié)。 E是如此的不規(guī)則以至它的整體和局部都 不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述 E通常具有某種自相似的形式，可能是近 似的或是統(tǒng)計(jì)的。分形集合的基本特征（續(xù)） 一般地，E的“

9、分形維數(shù)”（以某種方式 定義）大于它的拓?fù)渚S數(shù)。在大多數(shù)令人感興趣的情形下，E以非常 簡(jiǎn)單的方式定義，可能由迭代產(chǎn)生。分形幾何的研究方法維數(shù)和測(cè)度我們僅討論維數(shù)傳統(tǒng)意義下的維數(shù)：點(diǎn)是0維的，線是1維的，平面是2維的, 立方體是三維的，用這個(gè)維數(shù)去刻畫分形集合時(shí)的困難： Cantor集：含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，長(zhǎng)度為0. Koch曲線：長(zhǎng)度為無(wú)窮，面積為0. Sierpinski墊片：長(zhǎng)度為無(wú)窮，面積為0.分形維數(shù)的一種定義(1)換種角度看維數(shù).把線段放大兩倍后，所得線段可以看成 是2個(gè)原來(lái)個(gè)線段疊加而成。把正方形放大兩倍后，所得正方形可以 看成是4=22個(gè)原來(lái)的正方形疊加而成。把立方體放大兩倍后，所得

10、立方體可以 看成是8=2?個(gè)原來(lái)的立方體疊加而成。分形維數(shù)的一種定義(2)分形維數(shù)的一種直觀定義(不很確切).如果我們把集合E放大九倍，得到的新集 合可以由V個(gè)集合疊加而成，則稱集合E 的分形維數(shù)是d.幾個(gè)典型自相似集的分形維數(shù) Cantor 集：Iog2/log3 Sierpinski墊片：Iog3/log2Koch曲線：Iog4/log3士自相似集合的分形維數(shù)公式設(shè)f, f2,是一組R"上的相似壓縮映射,fi的相似比為C" E是對(duì)應(yīng)的自相似集，如 果fi（E）是兩兩不交的,那么E的分形維數(shù) d由下面的公式給岀：17+. + 占.注：帶下劃線的條件可以放寬到“開集 條件”

11、，使得Koch曲線，Sierpinski墊片 的維數(shù)公式也可由此計(jì)算。迭代函數(shù)系預(yù)備知識(shí)dl度量空間(X;d)柯西序列 完備度量空間壓縮映射不動(dòng)點(diǎn) Banach不動(dòng)點(diǎn)定理：完備度量空間中的 壓縮映射必存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。迭代函數(shù)系一一分形空間(H(X);h) R11中緊集的定義：有界閉集給定完備度量空間(X;d),定義H(X)為X的所有非 空緊子集所組成的集合。 H(X)上的度量h如下定義：d(x, B) = mint/(x, y) I e B, x w X, B w H(X).d(x. B) = 0 <=> x g Bd(A,B) = maxd(x,B) xe A. g H(X)d

12、(A, B) = 0 O A u Bh(A, B) = maxCA,B),d(B, A). (H(X)；h)是一個(gè)完備度量空間Hausd orff距離計(jì)算實(shí)例 X=R. A叫0,1, B=3,5.問 h(A,B)二？迭代函數(shù)系定義及其性質(zhì)-V設(shè)九(n = 1,2,.,2V)是完備度量空間(X,上的一族壓縮映射 稱X;仁,n = 1,2,N是一個(gè)雙曲迭代函數(shù)系定義/： H(X) H(X)為：= 九 3)， VBuH(X).則f是(H(X);®上的一個(gè)壓縮映射于是，雙曲迭代函數(shù)系字在唯一的非空緊集4uX, 使得 A = /(A) = U/(A),且有VBeH(X).迭代函數(shù)系雙曲迭代函數(shù)系中對(duì)應(yīng)的A也稱為吸引子或 者不變集，在許多情況下