工程力學(1)-第3章

1、 R10FFnii 10FnOOiiMM返回返回返回總目錄返回總目錄平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件 平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。對任意一點的主矩都為零。0,0R OMF平面一般力系的平衡方程為：平面一般力系的平衡方程為： . 0)(, 0, 0FMFFOyx3個獨立的方程，可以求解個獨立的方程，可以求解3個未知量。個未知量。返回返回返回總目錄返回總目錄 平衡方程的應用平衡方程的應用 平衡方程雖然有三種形式，但不論采用哪種形式，都只能寫出三個獨立的平衡方程雖然有三種形式，但不論采用哪種形式，都只

2、能寫出三個獨立的平衡方程平衡方程, ,只能求解三個未知量。只能求解三個未知量。 解題的步驟如下解題的步驟如下： 確定研究對象。確定研究對象。 畫受力圖。畫出它受到的所有主動力和約束反力。約束反力根據(jù)約束畫受力圖。畫出它受到的所有主動力和約束反力。約束反力根據(jù)約束類型來畫。當約束反力的方向未定時，一般可用兩個相互垂直的分反力類型來畫。當約束反力的方向未定時，一般可用兩個相互垂直的分反力表示；當約束反力的指向未定時，必須先假設其指向。表示；當約束反力的指向未定時，必須先假設其指向。 建立坐標系，列平衡方程。選取哪種形式的平衡方程，完全取決于計算建立坐標系，列平衡方程。選取哪種形式的平衡方程，完全取

3、決于計算的方便與否。通常力求在一個平衡方程中只包含一個未知量。的方便與否。通常力求在一個平衡方程中只包含一個未知量。應用力矩應用力矩方程時，矩心應選取在兩個未知力的交點。方程時，矩心應選取在兩個未知力的交點。 解平衡方程，求得未知量。解平衡方程，求得未知量。 校核。列出非獨立的平衡方程，以檢查解題的正確與否。校核。列出非獨立的平衡方程，以檢查解題的正確與否。例例 0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a3142BFPqa20AyBFqaPF342AyPFqa已知：已知： 。qaMaqP,求：求： 支座支座 處的約束力處的約束力. .BA,解：取解：取 梁，畫受力圖梁，畫受力圖

4、. .AB 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) ，若，若 F P 和和 l 已知，已知， 確定四種情形下的約束力確定四種情形下的約束力FP第一種情形第二種情形M=FP l 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) ，若，若 F P 和和 l 已知，確定已知，確定2 2種情形下的約束力種情形下的約束力 MA ( F ) = 0 :FBC d - FP 2l = 0FPFAyFAxFBC第一種情形P2 2BCFF 圖示結(jié)構(gòu) ，若 F P 和 l 已知，確定2種情形下的約束力 MB ( F ) = 0 :FAy l - FP l = 0FAy= - FPFPFAyFAxFBC第一種情形第一種情形Fx = 0 :FAx+FBCcos = 0F

5、Ax=-2FPFPFAyFAxFBC第一種情形第一種情形 圖示結(jié)構(gòu) ，若 F P 和 l 已知，確定2種情形下的約束力分析BC和ABD桿受力M=FP l第二種情形FAxFByFBxFAyM=FP lFBy FBx FCx FCy 第二種情形M=FP lFAxFByFBxFAy考察考察ABD桿桿 的平衡的平衡 MB ( F ) = 0 : MA ( F ) = 0 :FBy= 0FAy= 0Fx = 0 : FBx+ FAx=0 FBx= -FAxM=FP lFBy FBx FCx FCy 考察考察BC桿桿 的平衡的平衡Fx = 0 : FBx- FCx=0 FCx= FBx= FBxFy =

6、0 : FBy- FCy=0 FCy= FBy =FBy=0 MB ( F ) = 0 : FCxl+M = 0FCx= FBx= -FPM=FP lFPM=FP lFPFPFP平面剛架的所有外力的作用線平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約處為固定端約束。若圖中束。若圖中q、FP、M、l等均為已等均為已知，知，A處的約束力。處的約束力。1.選擇平衡對象選擇平衡對象 本例中只有折桿本例中只有折桿ABCD一個剛體，一個剛體，因而是唯一的平衡對象。因而是唯一的平衡對象。 2 受力分析 剛架剛架A處為固定端約束，又因為是平面受力，故有處為固定端約束，又因為是平面

7、受力，故有3個同處于個同處于剛架平面內(nèi)的約束力剛架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和和MA。 剛架的隔離體受力圖如圖示。剛架的隔離體受力圖如圖示。 其中作用在其中作用在CD部分的均布載荷已部分的均布載荷已簡化為一集中力簡化為一集中力ql作用在作用在CD的中點。的中點。 3. 建立平衡方程求解未知力建立平衡方程求解未知力 應用平衡方程應用平衡方程 Fx = 0, MA= 0 Fy = 0,0 qlFAxP0AyFFP302AlMMF lql由此解得由此解得 qlFAxPAyFFP32AMMF lql4. 驗證所得結(jié)果的正確性 為了驗證上述結(jié)果的正確性，可以為了驗證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對

8、象上的所有力（包括已將作用在平衡對象上的所有力（包括已經(jīng)求得的約束力），對任意點（包括剛經(jīng)求得的約束力），對任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取矩。若這些架上的點和剛架外的點）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。正確的，否則就是不正確的。 qlFAxPAyFFP32AMMF lql力對軸之矩實例力對軸之矩實例FzFxFy2 、力對軸的矩力對力對/它的軸的矩為零。即力它的軸的矩為零。即力F與軸共面時，力對軸之矩為零。與軸共面時，力對軸之矩為零。（1）力對 軸之矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FFxyzOF

9、FxyhBAab說明：符號規(guī)定：從從z軸正向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負。軸正向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號，反之取負。也可按右手螺旋法則確定其正負號。也可按右手螺旋法則確定其正負號。(1)當力的作用線與軸平行或相交當力的作用線與軸平行或相交(共面共面)時，力對軸的矩等于零。時，力對軸的矩等于零。(2)當力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。當力沿作用線移動時，它對于軸的矩不變。力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是代數(shù)量，其絕對值等于果的度量，是代數(shù)量，其絕對值等于力在垂直于該軸平面上的投影對于軸力在垂直于該軸平面上的投影對于軸與平面交點的矩

10、。與平面交點的矩。即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系面積由于AOBFmO2)(證證2)()(BOAFmFmxyzz通過O點作任一軸Z，則：cosBOAOAB由幾何關系：2cos2BOAOAB所以： 定理定理：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關系。 )()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOx222)(

11、)()()(FmFmFmFmzyxO所以力對點O的矩為： 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。 空間一般力系向一點簡化空間一般力系向一點簡化nFFFF321, 設作用在剛體上有設作用在剛體上有空間一般力系空間一般力系向向O點簡化點簡化（O點任選）點任選）根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到根據(jù)力線平移定理，將各力平行搬到O點得到一空點得到一空間匯交力系：間匯交力系： 和附加力偶系和附加力偶系 注意注意 分別是各力對分別是各力對O點的矩。點的矩。由于

12、空間力偶是自由矢量，總可匯交于由于空間力偶是自由矢量，總可匯交于O點。點。, , 321nFFFFnmmm,21nmmm,21合成合成 得主矢得主矢即即（主矢（主矢 過簡化中心過簡化中心O， 且與且與O點的選擇無關）點的選擇無關）合成合成 得主矩得主矩即：即： （主矩（主矩 與簡化中心與簡化中心O有關）有關）, , 321nFFFFRiiFFRRnmmm,21OM)(iOiOFmmmOM若取簡化中心若取簡化中心O點為坐標原點，則：點為坐標原點，則： 主矢大小主矢大小 主矢方向主矢方向 根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關系根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關系: 則主矩大小為：則主矩大小為： 主矩方向：主

13、矩方向：222222)()()(ZYXRRRRzyxcos,cos,cosRZRYRX)( )( ; )( )( ;)( )(FmFmmFmFmmmFmFmzzOOzyyOOyOxixxiO222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cosRRR000 xixyiyzizFFFFFF000OxOxiOyOyiOzOziMMMMMMFFFRRR000 xixyiyzizFFFFFF000OxOxiOyOyiOzOziMMMMMMFFF000 xyzFFF000 xyzMMMFFF000 xyzFFF000 xyzMMMFFF000 xyzFFF000 xyzMMMF

14、FF返回返回返回總目錄返回總目錄返回返回返回總目錄返回總目錄 : : FPFDEFByFBx FP FPFP 結(jié)構(gòu)由桿結(jié)構(gòu)由桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度段承受均布載荷作用，載荷集度為為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若。若q、l、M等均等均為已知，試求為已知，試求A、C二處的約束力。二處的約束力。 1. 受力分析，選擇平衡對象受力分析，選擇平衡對象考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個約束力，設為個約束力，設為FAx、F

15、Ay和和MA；在輥軸支座處有；在輥軸支座處有1個豎直方向的約束力個豎直方向的約束力FRC 。 這些約束力稱為系統(tǒng)的這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力外約束力（external constraint force）。僅僅根據(jù)整體的）。僅僅根據(jù)整體的3個平衡方程，無法確定所要求的個平衡方程，無法確定所要求的4個未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對象。為個未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對象。為此，必須將系統(tǒng)拆開。此，必須將系統(tǒng)拆開。B 將結(jié)構(gòu)從將結(jié)構(gòu)從B處拆開，則鉸鏈處拆開，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂處的約束力可以用相互垂直的兩個分量表示，但作用在兩個剛體直的兩個分量表示，但作用在兩

16、個剛體AB和和BC上同一處上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)內(nèi)約束力約束力（internal constraint force）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時并不出現(xiàn)。受力圖中整體平衡時并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡化的結(jié)果。為均布載荷簡化的結(jié)果。B2. 整體平衡整體平衡 根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖 (為了簡便起見，當取整體為研為了簡便起見，當取整體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖究對象時，可以在原圖上畫受力圖)，由平衡方程，由平衡方程 可以確定。 0 xF0AxF3. 局部

17、平衡 桿桿AB的的A、B二處作用有二處作用有5個約束力，其中已求得個約束力，其中已求得FAx=0，尚有尚有4個未知，故桿個未知，故桿AB不宜最先選作平衡對象。不宜最先選作平衡對象。 桿桿BC的的B、C二處共有二處共有3個未知約束力，可由個未知約束力，可由3個獨立平衡個獨立平衡方程確定。因此，先以桿為平衡對象。方程確定。因此，先以桿為平衡對象。B先考察BC桿的平衡，由 0FBMR202ClFlMqlR24CMqlFl求得 求得BC上的約束力后，再應用B處兩部分約束力互為作用與反作用關系，考察桿AB的平衡，即可求得A處的約束力。B 也可以在確定了C處的約束力之后再考察整體平衡也可以求得A處的約束力

18、。 再考察整體平衡，將DE段的分布載荷簡化為作用于E處的集中力，其值為2ql，由平衡方程 0yFR20AyCFqlF 0AMR2240ACMqllMFllMqlFAy247MqlMA23R24CMqlFl4. 討論 上述分析過程表明，考察剛體系統(tǒng)的平衡問題，局部平衡對象的選擇并不是唯一的。正確選擇平衡對象，取決于正確的受力分析與正確地比較獨立的平衡方程數(shù)Ne和未知量數(shù)Nr。4. 討論 此外，本例中，主動力系的簡化極為重要，處理不當，容易出錯。 例如，考察局部平衡時，即系統(tǒng)拆開之前，先將均勻分布載荷簡化為一集中力FP，F(xiàn)P=2ql。系統(tǒng)拆開之后，再將力FP按下圖所示分別加在兩部分桿件上。請讀者自

19、行分析，圖中的受力分析錯在哪里？ 從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的分析中從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部分，可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部分，只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確的結(jié)只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。果。 初學者常常不習慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根初學者常常不習慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。 讀者從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的分讀者從本章關于單個剛體與簡單剛體系統(tǒng)平衡問題的

20、分析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部析中可以看出，受力分析是決定分析平衡問題成敗的重要部分，只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確分，只有當受力分析正確無誤時，其后的分析才能取得正確的結(jié)果。的結(jié)果。 初學者常常不習慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根初學者常常不習慣根據(jù)約束的性質(zhì)分析約束力，而是根據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。據(jù)不正確的直觀判斷確定約束力。 對稱結(jié)構(gòu)若承受對稱載荷，則其約束力必然對稱于對稱軸；對稱結(jié)構(gòu)若承受對稱載荷，則其約束力必然對稱于對稱軸； 對稱結(jié)構(gòu)若承受反對稱載荷，則其約束力必然是反對稱的。對稱結(jié)構(gòu)若承受反對稱載荷，則其約束力必然是反對稱的。 7

21、0 前面我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之前面我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。存在有摩擦。例例平衡必計摩擦平衡必計摩擦 鋼絲不滑脫鋼絲不滑脫的最大直徑的最大直徑夾紙器的夾紙器的最小傾角最小傾角夾持器的夾持器的最小傾角最小傾角磨削工具利用摩擦力磨削工具利用摩擦力磨削工具利用磨削工具利用 摩擦力摩擦力利用摩擦力錨緊泊船利用摩擦力錨緊泊船剎車器利用摩擦力剎車器利用摩擦力軸承中摩擦力越小越好軸承中摩擦力越小越好賽車后輪的摩擦力是驅(qū)動力賽車后輪的摩擦力是驅(qū)動力

22、放大后的接觸面接觸面的計算機模擬821、定義定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對滑動（趨勢）時，其接觸面相接觸物體，產(chǎn)生相對滑動（趨勢）時，其接觸面 產(chǎn)生阻止物體運動的力叫滑動摩擦力。產(chǎn)生阻止物體運動的力叫滑動摩擦力。 （ 就是接觸面對物體作用的切向約束反力）就是接觸面對物體作用的切向約束反力） 2、狀態(tài)狀態(tài)： 靜止：靜止： 臨界：（將滑未滑）臨界：（將滑未滑） 滑動：滑動：PF )(不固定值FPNfFmaxNfF滑動摩擦滑動摩擦一、靜滑動摩擦力一、靜滑動摩擦力所以增大摩擦力的途徑為：所以增大摩擦力的途徑為：加大正壓力加大正壓力N, 加大摩擦系數(shù)加大摩擦系數(shù)f （f 靜滑動摩擦系數(shù)）（f 動摩擦系數(shù)）8

23、3二、動滑動摩擦力二、動滑動摩擦力：（與靜滑動摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動）（與靜滑動摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動） 大?。捍笮。?（無平衡范圍）（無平衡范圍）動摩擦力特征：方向：與物體運動方向相反動摩擦力特征：方向：與物體運動方向相反 定律：定律： （f 只與材料和表面情況有只與材料和表面情況有 關，與接觸面積大小無關。）關，與接觸面積大小無關。）max0FF 0XNfFmaxNfFNfF3、 特征：特征： 大小：大?。海ㄆ胶夥秶M足（平衡范圍）滿足靜摩擦力特征：方向：與物體相對滑動趨勢方向相反靜摩擦力特征：方向：與物體相對滑動趨勢方向相反 定律：定律：（ f 只與材料和表面情況有只與材料和表面情

24、況有 關，與接觸面積大小無關關，與接觸面積大小無關。）8485maxFm三、摩擦角：三、摩擦角： 定義：當摩擦力達到最大值定義：當摩擦力達到最大值 時其全反力時其全反力 與法線的夾角與法線的夾角 叫做叫做摩擦角摩擦角。fNNfNFmmaxtg計算：86四、自鎖四、自鎖 定義：當物體依靠接觸面間的相互作用的摩擦 力 與正 壓力（即全反力），自己把自己卡 緊，不會松開 （無論外力多大），這種現(xiàn)象稱為自鎖。 當 時，永遠平衡（即自鎖）mm自鎖條件：878889摩擦系數(shù)的測定摩擦系數(shù)的測定：OA繞O 軸轉(zhuǎn)動使物塊剛開始下滑時測出角，tg =f , (該兩種材料間靜摩 擦系數(shù))fNNfNFmmaxtg自鎖應用舉例WyW xWWyW xWyW xWyW x 主動力作用線位于主動力作用線位于摩擦角范圍內(nèi)時，不摩擦角范圍內(nèi)時，不管主動力多大，物體管主動力多大，物體都保持平衡，這種現(xiàn)都保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。象稱為自鎖。 主動力作用線位于主動力作用線位于摩擦角范圍以外時，不摩擦角范圍以外時，不管主動力多小，物體都管主動力多小，物體都將發(fā)生運動。將發(fā)生運動。 主動力作用線與法主動力作用線與法線之間的夾角等于摩線之間的夾角等于摩擦角時物體處于臨界擦角時