風(fēng)險管理與金融機構(gòu)課后習(xí)題8-9章答案

1、第八章8.1 VaR是指在一定的知心水平下?lián)p失不能超過的數(shù)量；預(yù)期虧損是在損失超過VaR的條件下?lián)p失的期望值，預(yù)期虧損永遠滿足次可加性（風(fēng)險分散總會帶來收益）條件。8.2 一個風(fēng)險度量可以被理解為損失分布的分位數(shù)的某種加權(quán)平均。VaR對于第x個分位數(shù)設(shè)定了100%的權(quán)重，而對于其它分位數(shù)設(shè)定了0權(quán)重，預(yù)期虧損對于高于x%的分位數(shù)的所有分位數(shù)設(shè)定了相同比重，而對于低于x%的分位數(shù)的分位數(shù)設(shè)定了0比重。我們可以對分布中的其它分位數(shù)設(shè)定不同的比重，并以此定義出所謂的光譜型風(fēng)險度量。當(dāng)光譜型風(fēng)險度量對于第q個分位數(shù)的權(quán)重為q的非遞減函數(shù)時，這一光譜型風(fēng)險度量一定滿足一致性條件。8.3有5%的機會你會在

2、今后一個月?lián)p失6000美元或更多。8.4在一個不好的月份你的預(yù)期虧損為60000美元，不好的月份食指最壞的5%的月份8.5 (1)由于99.1%的可能觸發(fā)損失為100萬美元，故在99%的置信水平下，任意一項損失的VaR為100萬美元。（2）選定99%的置信水平時，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率損失1000萬美元，0.1%的概率損失100萬美元，因此，任一項投資的預(yù)期虧損是（3）將兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合中有0.0090.009=0.000081的概率損失為2000萬美元，有0.9910.991=0.982081的概率損失為200萬美元，有20.0090.991=0.017838

3、的概率損失為1100萬美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此將兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應(yīng)于99%的置信水平的VaR是1100萬美元。（4）選定99%的置信水平時，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率損失2000萬美元，有0.9919%的概率損失1100萬美元，因此兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應(yīng)于99%的置信水平的預(yù)期虧損是（5）由于11001002=200，因此VaR不滿足次可加性條件， 11079102=1820，因此預(yù)期虧損滿足次可加性條件。86（1）1天展望期的97.5% VaR為200(0.975)=200*1.96=392（2）5天展望期的

4、97.5% VaR為*392=876.54（3）1天展望期的99% VaR 為392*=392*=466因此，5天展望期的99% VaR 為*466=10428.7 由于假定組合的價值變化服從正態(tài)分布，其期望值為0，則當(dāng)每天價值變化的一階自相關(guān)系數(shù)等于0.16時對于8.16中5天展期望的97.5%變現(xiàn)為996萬美元，C中5天展望期的99%的VAR變現(xiàn)為1182萬美元。8.8 邊際VaR是VaR的增長隨第i個資產(chǎn)增加的比率，增量VaR是指第i個資產(chǎn)對于VaR的影響（含有第i個資產(chǎn)VaR與不含有第i個資產(chǎn)VaR的差），成分VaR是指整體VaR對于第i個資產(chǎn)的分配（成分VaR的總和等于整體VaR）。

5、8.9總數(shù)為17或更多例外發(fā)生所對應(yīng)的概率為1-BINOMDIST(16,1000,0,01，TRUE)，即2.64%，在5%置信水平下我們應(yīng)該拒絕這一模型。8.10當(dāng)金融資產(chǎn)交易組合的每天價值獨立時，例外的情形以聚束的情形發(fā)生，而不是隨機分布在整體時間區(qū)域內(nèi)，這種情形被稱為聚束效應(yīng)。通常情況下，我們假設(shè)交易組合每天的價值變化獨立，例外的情況發(fā)生應(yīng)該比較均勻的分布在檢測區(qū)間內(nèi)，但是實際經(jīng)濟生活中，我們發(fā)現(xiàn)例外情形一般是呈現(xiàn)聚束分布特征的，這便是聚束效應(yīng)。8.11證明式（8-3）證明：我們希望計算的標(biāo)準(zhǔn)差，其中Pi為第i天的回報，其數(shù)量為式中，i為Pi的標(biāo)準(zhǔn)差，ij為Pi與Pj的相關(guān)系數(shù)。這是對

6、于所有i，i=，當(dāng)i>j時ij=i-j，進一步運算，我們可以得出式（8-3）。8.12（1）對應(yīng)于95%的置信水平，任意一項投資的VaR為100萬美元。（2）選定95%的置信水平時，在5%的尾部分布中，有4%的概率損失1000萬美元，1%的概率損失100萬美元，因此，任一項投資的預(yù)期虧損是（3）將兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合中有0.040.04=0.0016的概率損失2000萬美元，有0.020.02=0.0004的概率損失200萬美元，有0.940.94=0.8836的概盈利200萬美元，有20.040.02=0.0016的概率損失1100萬美元，有20.040.94=0.075

7、2的概率損失900萬美元，有20.940.02=0.0376的概率不虧損也不盈利，由0.95=0.8836+0.0376+0.0004+0.0284,因此將兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應(yīng)于95%的置信水平的VaR是900萬美元。（4）選定95%的置信水平時，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率損失2000萬美元，有0.16%的概率損失1100萬美元，有4.68%的概率損失900萬美元，因此，兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應(yīng)于95%的置信水平的預(yù)期虧損是 （5）由于9001002=200，因此VaR不滿足次可加性條件， 941.68202=1640，因此預(yù)期虧損滿足次可加性條件。

8、8.13 (1) (2)由上式得： (3)所以 (4) （萬美元）第九章9.1每周的。9.2某資產(chǎn)的波動率為每年25%，對應(yīng)于一天的資產(chǎn)價格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)為：25%/=1.57%假定價格變化服從正態(tài)分布，均值為0估測在95%的置信度下價格百分比變化的置信區(qū)間為：-3.09%3.09%9.3開市時的波動率比閉市時的要大，交易員在計算波動率時往往采用交易天數(shù)而不是日歷天數(shù)。9.4隱含波動率是指使得由Black-Scholes所計算出的期權(quán)借個等于市價時所對應(yīng)的波動率，隱含波動率的求解方法通常是采用試錯法，因為不同期權(quán)對應(yīng)于不同的隱含波動率，所以交易員利用Blac-Scholes公式時實際上采用了

9、不同假設(shè)。9.5 由9.3節(jié)的方法：先計算每段的回報，再計算回報的標(biāo)準(zhǔn)差，最后計算得到的波動率為0.547%，但由式9-4的計算得出的每天波動率為0.530%。9.6由9-1可得：，當(dāng)?shù)母怕蕿?%，則，K=2500，當(dāng)，即點擊次數(shù)為10000次以及更多次的比例為0.25%；當(dāng)，即點擊次數(shù)為2000次以及更多次的比例為0.0625%。9.7在第n天估計的方差等于乘以在n-1天所估計的方差加上乘以第n天的回報的平方。9.8 GARCH（1,1）對于長期平均方差設(shè)定了一定權(quán)重，這與EWMA的假設(shè)一致，GARCH（1,1）具有波動率回歸均值的特性。9.9在這種情形下，由式(9-8)我們可得出因此在第n

10、天波動率的估計值為，即1.5103%。9.10由EWMA模型我們可以得到波動率的預(yù)測方程可以表示為： 所以，我們可以看出當(dāng)我們把由0.95變?yōu)?.85意味著我們將賦予靠近今天的更大的權(quán)重，即認為近期的數(shù)據(jù)對現(xiàn)在的影響更大。同時，由模型我們也可以看出的變化將引起模型中權(quán)重的集體變化，進而引起模型波動率的較大變化。911采用通常的符號，因此，對于最新波動率的估計為每天1.078%。9.12.解：價格變化的比率為-0.005/1.5000=-0.003333，當(dāng)前每天的方差估計為0.0062=0.000036，對于每天的方差的新估計為0.9*0.000036+0.1*0.0033332=0.0000

11、33511波動率的新估計值為以上數(shù)值的平方根=0.597%9.13長期平均方差所對應(yīng)的權(quán)重為，長期平均方差為，增大會促使長期平均方差的增長，增大會增大對于近期數(shù)據(jù)所設(shè)定的權(quán)重，同時減小對于長期平均方差所設(shè)定的權(quán)重，以及增大長期平均方差；增大仍會增大對于前一個方差所設(shè)定的權(quán)重，減小對于長期平均方差所設(shè)定的權(quán)重，并且增大長期平均方差的水平。9.14 長期平均方差為/（1-），即0.000004/0.03=0.0001333，長期平均波動率為=1.155%，描述方差回歸長期平均的方程式為E2 n+k=VL+(+)k(2 n- VL)這時E2 n+k=0.0001330+0.97k（2 n-0.000

12、1330）如果當(dāng)前波動率為每年20%， n=0.2/=0.0126,在20天后預(yù)期方差為0.0001330+0.9720（0.01262-0.0001330）=0.0001471因此20天后預(yù)期波動率為=0.0121，即每天1.21%。9.15 FTSE用美元表達為XY，X為其用英鎊表達的價值，Y為匯率，定義xi為X在第i填的價格變化百分比，yi為Y在第i填的百分比變化，XY的比例變化為xi+yi,xi的標(biāo)準(zhǔn)差為1.8%，yi的標(biāo)準(zhǔn)差為0.9%，X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.4，因此xi+yi的方差為：0.018*0.018+0.009*0.009+2*0.009*0.018*0.4=0.000534

13、6，因此xi+yi的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0231，即2.31%，這就是FTSE100被轉(zhuǎn)化成美元后的波動率。9.16由式9-10可得：，則長期平均方差為：，再由式9-14可得：，則波動率為：，即30天后的日波動率為1.11%。9.17 把=0.0001，=0.0202，=20以及=0.000169帶入公式 得到波動率為19.88%。9.18 周數(shù)股票價格價格比每天回報030.21321.0596030.057894231.10.971875-0.02853330.10.967846-0.03268430.21.0033220.003317530.31.0033110.003306630.61.0099

14、010.0098527331.0784310.075508832.90.99697-0.003039331.003040.0030351033.51.0151520.0150381133.5101233.71.005970.0059521333.50.994065-0.005951433.20.991045-0.009此時，周收益率標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為即周波動率為2.884%每周波動率的標(biāo)準(zhǔn)差為或每周0.545%9.19(a)在這種情形下，由式(9-8)我們可得出因此在第n天波動率的估計值為，即1.2709%。(b)這里GARCH(1,1)模型為由(a)知，因此對于波動率的最新估計為，即每天1.2604%。9.21（a）由題設(shè)可知GARCH（1,1）模型為：因為，由于，可知模型隱含的每天長期平均方差為0.0001，對應(yīng)的波動率為=0.01即每天1%。（b）因為當(dāng)前波動率為每天1.5%，所以由于故20天后=0.0001+（0.98）20（0.0152-0.0001）=0.00018 40天后=0.0001+（0.98）40（0.0152-0.0001）=0.00016 60天后=0.0001+（0.98）