兩個重要極限函數(shù)的連續(xù)性

1、(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設單位圓設單位圓ADxABxCBxtan,sin弧弧于是有于是有.CBCOABDODOBADA 交交于于的的垂垂線線作作，并并過過交交于于線線的的延延長長與與作作單單位位圓圓的的切切線線過過,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形CBOAB的高為的高為四、兩個重要極限四、兩個重要極限xoBDAC由上圖可知由上圖可知:的面積的面積的面積的面積扇形扇形面積面積OADOABOAB即即xxxtan2121sin211sincosxxx1sinlim. 1cos,00 xxxxx由由夾夾逼逼準準則則知知時時當當則則時時當當, 0,0 xx

2、1)sin(limsinlim00 xxxxxx綜合兩者即得綜合兩者即得1sinlim0 xxxnxmxxsinsinlim0求求例例1-23 解解nxmxxsinsinlim0nxnxmxmxnmxsinsinlim0例例1-24 xxx1sinlim求求xxx1sinlim解解所所以以時時則則當當令令. 0,1txxt1sinlim0tttnmnxnxmxmxnmxxsinlimsinlim00 xxx3)21 (lim求求例例1-27 解解xxx3)21 (lim)3)(2(2)21(limxxxxx662)21(limexxx解解 令令tx1,當當 時時,0 xtxxx101)(lim

3、ettt)(lim11exxx101)(lim注意注意 可作為公式來用可作為公式來用.xxx101)(lim求求例例1-26 (2)exxx )11(limxxxx)11(lim求求例例1-28 解法解法1xxxx)11(limxxx)121 (lim)121 ()121(lim221xxxx221ee解法解法2xxxx)11(limxxxxx)11 ()11 (lim211)11(lim)11 (limeeexxxxxx 2.兩個重要極限兩個重要極限exxx101limexxx11lim1sinlim0 xxx主要內(nèi)容主要內(nèi)容1極限的四則運算法則極限的四則運算法則一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函

4、數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 附近有定義附近有定義,把把 附近的點附近的點 記為記為 ,則稱則稱 為自變量由為自變量由 變到變到 的的增量增量.)(xfy 0 x0 xxxxx00 xxx0 xx)()(00 xfxxfy為函數(shù)在點為函數(shù)在點 的增量的增量.0 xxy00 xxx 0)(xfy y x 2 2函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義,00 xxx就是就是).()(00 xfxfy就就是是 定義定義

5、1-9 設函數(shù)設函數(shù) 在點在點 及其附近有定義及其附近有定義,如如果果 時時,也有也有 ,即即0 x0 x0)()(limlim00000 xfxxfyxx故定義中故定義中1-9的極限式等價于的極限式等價于)()(lim00 xfxfxx)(xfy 0y0 x0 x則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù),稱稱 為為 的連續(xù)點的連續(xù)點.)(xfy )(xf因此，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是因此，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是;)()1(0處處有有定定義義在在點點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1-29 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 的連續(xù)性的

6、連續(xù)性 0, 00,1sin)(xxxxxf0 x解解0)0() 1 (f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以 在在 連續(xù)連續(xù)0 x)(xf單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù).)(),()(lim)( ;)(),()(lim)( 00000000處右連續(xù)在點則稱處的右極限存在且在若函數(shù)處左連續(xù)在點則稱處的左極限存在且在若函數(shù)xxfxfxfxxfxxfxfxfxxfxxxx顯然顯然.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx00lim( )lim()xx

7、f xabxa又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 例例1-30 設設 在點在點 處連續(xù)處連續(xù),00 xxbxxbxaxf,sin,)(0 x問、應滿足什么關(guān)系問、應滿足什么關(guān)系?abbbxbxbxbxxxsinlimsinlim00解解af)0(;)()(沒沒有有定定義義在在點點01xxf;)(lim)(不存在不存在xfxx02).()(lim,)(lim)(0003xfxfxfxxxx但但存在存在3 3函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點間斷點,即滿足下列三個即滿足下列三個條件之一的點條件之一的點 為函數(shù)為函數(shù) 的間斷點的間斷點

8、.0 x)(xf第一類間斷點（左右極限存在）第一類間斷點（左右極限存在）:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x可去間斷點可去間斷點.)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)稱稱點點則則處處無無定定義義在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf

9、 討論函數(shù)討論函數(shù)例例1-321-32在在 的連續(xù)性的連續(xù)性1x跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),(lim)(lim,)(斷斷點點的的跳跳躍躍間間為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但右右極極限限都都存存在在處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxfxxxx0000 )(lim)(lim00 xfxfxx.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf例例1-1-3333解解1)(lim, 0)(lim00 xfxfxx第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至

10、少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例1-341-34.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxfoxy.0為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點點x解解)(lim, 0)(lim00 xfxfxx這種情況稱為這種情況稱為無窮間斷點無窮間斷點解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點 xxy1sin 1-1-0.50.5yx.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf例例1-351-35這種情況稱為這種情況稱為振蕩間斷點振蕩間斷點二

11、、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性(1) 一切基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的一切基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的. (2) 若函數(shù)若函數(shù) 與與 在點在點 連續(xù)連續(xù),則函數(shù)則函數(shù) )(xf)(xg0 xx )()()(),()(),()(00 xgxgxfxgxfxgxf在在 連續(xù)連續(xù).0 xx (3) 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù),設設 ,而函數(shù)而函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù),則復合函數(shù)則復合函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù).)(xu0 xx )(00 xu)(ufy 0uu )(xfy0 xx 由以上可知由以上可知: :初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是

12、連續(xù)的. .故對初等函數(shù)故對初等函數(shù), ,求極限就是求這一點的函數(shù)求極限就是求這一點的函數(shù)值值例例1-361-36215xxxarctanlim求求由于函數(shù)在其連續(xù)點由于函數(shù)在其連續(xù)點 滿足滿足0 x)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx81512arctan解解215xxxarctanlim現(xiàn)解法現(xiàn)解法xxxx)11(lim1 22122lim(1)lim (1)11xxxxxxxx22lim111122222lim(1)lim(1)11xxxxxxxxxexxxxxx)11(lim求求回顧例回顧例1-28 原解法原解法xxxx)11(limxxx)121 (lim)121 (

13、)121(lim221xxxx221ee三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì))()(,11xffba)()(,22xffbaab1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理） 若函數(shù)若函數(shù) 閉區(qū)間閉區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上必有最大值和最上必有最大值和最小值小值)(xfy )(xfy ,ba,bacy abf(a)f(b)cf)( 定理定理1-4（介值定理）（介值定理） 若函數(shù)若函數(shù) 閉區(qū)間閉區(qū)間 上連續(xù)，則對介于上連續(xù)，則對介于 和和 之間的任何數(shù)之間的任何數(shù) ，至少存在，至少存在一個一個 ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bfc 其幾何意義為其幾

14、何意義為 連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 與水平直線與水平直線 至少相交于一點至少相交于一點 cy )(xfy ),(ba1函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)連續(xù)的定義2間斷點間斷點類型類型：第一類第一類第二類第二類可去型可去型跳躍型跳躍型無窮無窮振蕩振蕩初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)主要內(nèi)容主要內(nèi)容介值定理介值定理最值定理最值定理備用題備用題 確定函數(shù)間斷點的類型.xxexf111)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續(xù)xf閱讀與練習閱讀與練習1. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點 2