概率論與數(shù)理統(tǒng)計：ch3-5 條件分布

1、3.5 條件分布條件分布 第一章中，我們介紹了條件概率的概念第一章中，我們介紹了條件概率的概念 ,. )()()|(BPABPBAP在事件在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率將其推廣到隨機(jī)變量：將其推廣到隨機(jī)變量： 設(shè)有兩個隨機(jī)變量設(shè)有兩個隨機(jī)變量 X與與Y，在給定，在給定Y 取某個或某些值的條件下，取某個或某些值的條件下，求求X的概率分布。的概率分布。這個分布就是條件分布。這個分布就是條件分布。3.5.1 3.5.1 條件分布的概念條件分布的概念 例如：考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從中隨機(jī)例如：考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以抽取一個學(xué)生，分別以

2、 X和和Y 表示其體重和身表示其體重和身高。則高。則 X和和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布。概率分布。體重體重X身高身高Y體重體重X的分布的分布身高身高Y的分布的分布 現(xiàn)在限制現(xiàn)在限制170Y 0，則稱，則稱為在為在Y=yj 條件下條件下, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的條件概率分布。的條件概率分布。P(X=xi |Y=yj)=)(),(jjiyYPyYxXPjjipp，i=1,2, 條件分布是一種概率分布，具有概率分布條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質(zhì)。例如：的一切性質(zhì)。例如： , 0)|(jiyYxXP. 1)|(1ijiyYxXPi=1,2, 對固定

3、的對固定的 i，若，若P(X=xi) 0，則稱，則稱P(Y=Yj |X=xi)=)(),(ijixXPyYxXPijipp，j=1,2, 為在為在X=xi條件下條件下, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y 的條件概率分布。的條件概率分布。例例 1: 求書中求書中p53, p53, 例例3.2.13.2.1中中Y 的條件分布。的條件分布。解：解：在例在例3.4.1中已求出中已求出X 的邊緣分布的邊緣分布(見上表見上表)。, 32107157 00 000/,|YPYXPYXP在在Y=0條件下，條件下，; 3110730700 101/,|YPYXPYXP在在 X=1=1 條件下，條件下，,9710/330/71

4、1 , 01|0XPXYPXYP. 9210/315/111 , 11|1XPXYPXYP解：解：例例 2：求例求例3.2.23.2.2中被調(diào)查者吸煙的條件下得中被調(diào)查者吸煙的條件下得肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。,00065. 02 . 000013. 000, 00|0XPXYPXYP. 00005. 08 . 000004. 011, 01|0XPXYPXYP 是否患肺癌是否患肺癌 Y 是否吸煙是否吸煙 X 患患 Y=0 未患未患 Y=1 X 的的 邊緣分布邊緣分布 吸吸 煙煙 X=0 0.00013 0.19987 0.20000 不吸

5、煙不吸煙X=1 0.00004 0.79996 0.80000 Y 的邊緣分布的邊緣分布 0.00017 0.99983 1 3.5.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，由于對任連續(xù)型隨機(jī)向量，由于對任意意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，這時要使用極限條件概率公式得到條件分布，這時要使用極限的方法得到條件概率密度。的方法得到條件概率密度。 給定給定y，對于任意固定的正數(shù)，對于任意固定的正數(shù) ，若概率，若概率P( y- - 0，于是，對于任意，于是，對于

6、任意 x， ,| yYyPyYyxXPyYyxXP是在條件是在條件 y-Y y+ 之下，之下，X的條件分布的條件分布函函數(shù)數(shù)。 定義定義2：設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量，給定是隨機(jī)變量，給定 y, 若對若對任意固定正數(shù)任意固定正數(shù)，P( y- 0，且對任意且對任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) x，極限，極限 ,lim0yYyPyYyxXP存在，則稱此極限為在條件存在，則稱此極限為在條件 Y=y下下X的條件分的條件分布函數(shù)，記為布函數(shù)，記為 FX|Y(x|y)。若存在若存在 fX|Y(x|y), 使得使得, )|()|(-|duyufyxFxYXYX則稱則稱 fX|Y(x|y)為在條件為在條件 Y=y 下下X的條件概率密

7、的條件概率密度函數(shù)，簡稱條件概率密度。度函數(shù)，簡稱條件概率密度。. )(),()|(|xfyxfxyfXXY同理，當(dāng)同理，當(dāng) fX (x) 0 時，時，； )(),()|(|yfyxfyxfYYX 定理定理1：設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為為 f (x, y)，Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為fY (y)。若。若f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y) 處連續(xù)處連續(xù), 當(dāng)當(dāng) fY (y) 0 時，時，證明：證明：. )()( d/)(dyy)/,( )2/()()(lim)2/(),(),(lim ,lim)|( 000|yf duu,yfyyFxFyFyFyxF

8、yxFyYyPyYyxXPyxFYxYYYYX為例。以 )(),()|( |yfyxfyxfYYX. )(),()|( |yfyxfyxfYYX所以，求求 P(X1|Y=y)。解：解：, )|(1|dxyxfYXP(X1|Y=y)為此為此, 需求出需求出 ).|(|yxfYX 00 0.,),(其他yxyeeyxfyyx例例3：設(shè)設(shè)(X,Y) 的概率密度是的概率密度是由于由于dxyxfyfY),()(0dxyeeyyx0yxyyeye,ye. 0 y故對故對 y 0, P(X1|Y=y)1dxyeyx1yxe. 1 ye于是，對于是，對 y 0, . 0 ,)(),()|(/|xyeyfyxf

9、yxfyxYYX例例4：設(shè)設(shè) (X,Y) 服從單位圓上均勻分布，即其服從單位圓上均勻分布，即其概率密度為概率密度為 . , 0, 1 ,/1),(22其他yxyxf).|(|xyfXY求求解：解： X的邊緣密度為的邊緣密度為. 1| , 0 , 1| ,12),()(2xxxdyyxfxfX當(dāng)當(dāng) |x|1時時, 有有)(),()|(|xfyxfxyfXXY21)2(1x,1212x.1122xyx即即 ：當(dāng)：當(dāng)|x|0，)(),()|( |yfyxfyxfYYX故; , , 0 , , ,232/32yyxyyxyxdyyxfxfX),()(. , 0 , 1| ),1(82142其他xxx.

10、 ,0 , 1| ,d 42121 2其他xyyxx當(dāng)當(dāng) x (-1,1)(-1,1)時，時，fX X( (x)0)0， . , 0 , 1 ,12 )(),()|(24|其他yxxyxfyxfxyfXXY其他，代入將0112)|(21 24|yxxyxyfxXY . 01411532)21|( |其他，得yyyfXY. 157 d 1532 )21|(21|4314/314/3|yydyyfXYPXY例例 6：設(shè)店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上設(shè)店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為的貨物量為 Y, , 當(dāng)日銷售量為當(dāng)日銷售量為 X, , 假定一天中假定一天中不再往柜臺上補(bǔ)充貨物不再往柜

11、臺上補(bǔ)充貨物, , 于是于是 XY。根據(jù)歷。根據(jù)歷史資料，史資料，( (X, ,Y) )的概率密度為的概率密度為., 0,200 ,0,2001),(其他yyxyxf求求 (1).(1).給定給定Y= =y條件下條件下, , X的的條件概率密度；條件概率密度； (2).(2).給定給定Y=10=10條件下條件下, , X55的概率；的概率； (3).(3).如果如果Y=20=20件呢件呢? ?解解: (1). dxyxfyfY),()(其他 ,0,200 ,d20010yxy . ,0,200 ,200/其他yyy (0,20 (0,20 時，時，fY Y(y)0，., 0, 0, 0,1)(

12、),()|(|yxyxyyfyxfyxfYYX這個結(jié)果表明：當(dāng)這個結(jié)果表明：當(dāng) y (0, 20 時，時，X的條件分的條件分布是布是 0, y 上的均勻分布。上的均勻分布。(2). (2). 當(dāng)當(dāng) Y=10=10 時，時，. 5 . 0 d 0.1 d )10|( )10|5(10|55 0 5|xxxfFYXPYXYX.10 , 0 , 0 10 , 01 . 0)10|(|xxxfYX，(3), (3), 當(dāng)當(dāng)Y Y=20 =20 時時, ,.25. 0 d 05. 0 )20|( )20|5(20|5505|xdxxfFYXPYXYX.20, 0 , 0 ,20, 0 ,05. 0)20|(|xxxfYX這表明：這表