命題、證明及平行線的判定定理+知識點+例題

1、命題、證明及平行線的判定定理（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1 了解左義、命題的含義，會區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論：2.體會檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理；4. 了解公理和立理的泄義，并能正確的寫出已知和求證，掌握證明的基本步驟和書寫格式: 5掌握平行線的判定方法，并能簡單應(yīng)用這些結(jié)論.【要點梳理】要點一、定義與命題1 定義：一般地，用來說明一個需詞或者一個術(shù)語的意義的句子叫做左義.要點詮釋：（1）定義實際上就是一種規(guī)定.（2）左義的條件和結(jié)論互換后的命題仍是真命題.2命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.要點詮釋：（1

2、）命題的結(jié)構(gòu)：命題通常由條件（或題設(shè)）和結(jié)論兩部分組成.條件是已知事項，結(jié)論是 由已知事項推出的事項，一般地，命題都可以寫成”如果那么”的形式，苴中'如 果”開始的部分是條件，“那么”后而是結(jié)論.（2）命題的真假：對于真命題來說，當(dāng)條件成立時，結(jié)論一泄成立：對于假命題來說，當(dāng) 條件成立時，不能保證結(jié)論正確，即結(jié)論不成立.要點二、證明的必要性要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步 一步、有根有據(jù)地進行推理.推理的過程叫做證明.要點三、公理與定理1. 公理：通過長期實踐總結(jié)出來，并且被人們公認的真命題叫做公理.要點詮釋：歐幾里得將“兩點確定一條直線”等

3、基本事實作為公理.2. 定理：通過推理得到證實的真命題叫做定理.要點詮釋：證明一個命題的正確性要按已知、求證、證明的順序和格式寫出其中"已知”是命題的 條件，“求證”是命題的結(jié)論，而“證明”則是由條件（已知）出發(fā)，根據(jù)已給出的左義、 公理、已經(jīng)證明的定理，經(jīng)過一步一步的推理，最后證實結(jié)論（求證）的過程.要點四、平行公理及平行線的判定定理1. 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.要點詮釋：（1）平行公理特別強調(diào)"經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì).（2）公理中“有”說明

4、存在：“只有”說明唯一.（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.2. 平行線的判定定理C 戶 DF判定方法1：同位角相等，兩宜線平行如上圖，幾何語言：/ Z3 = Z2.ABCD (同位角相等，兩直線平行)判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行如上圖，幾何語言：.* Z1 = Z2.ABCD (內(nèi)錯角相等，兩直線平行)判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行如上圖，幾何語言：/ Z4 + Z2=180°.ABCD (同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、定義與命題WF 1.請說出下列名詞的定義：(1)無理數(shù)(2)直角三

5、角形【答案與解析】解：(1)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).(2)直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.【總結(jié)升華】對學(xué)過的定義要準確地牢記.舉一反三：【變式】指出下列句子哪些是泄義.(1) 兩直線平行，內(nèi)錯角相等；(2) 兩腰相等的梯形叫等腰梯形：(3) 有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形：(4) 等腰三角形的兩底角相等：(5) 平行四邊形的對角線互相平分；(6) 連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.【答案】(2), (3), (6)是定義.* 2.說岀下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它是真命題還是假命題:(1) 如果 a>b. b>c,那么 a>c .(

6、2) 如果兩個角相等，那么它們是對頂角.【答案與解析】解：（1）條件：a>b, b>c；結(jié)論：">c.它是真命題.（2）條件：兩個角相等：結(jié)論：這兩個角是對頂角.它是假命題.反例，你書的左下角和右 下角兩個角都是直角，相等，但不是對頂角.【總結(jié)升華】要判斷一個命題是假命題，只要能夠舉出一個例子,使之具備命題的條件，而不 具備命題的結(jié)論，就可以說明這一命題是假命題，這種例子通常稱為反例.舉一反三：【變式】（2013-貴港）下列四個命題中，屬于真命題的是（）A.若 cT = in ,貝ij a = mB.若 a>b,則 am>bmC.兩個等腰三角形必定相似D

7、.位似圖形一泄是相似圖形【答案】D類型二、公理、定理及證明V 3.證明：等角的余角相等.【思路點撥】如果題目中沒有明確指出“條件”和“結(jié)論”，應(yīng)先寫出已知、求證、證明，如果需要的話并畫岀圖形，再證明.【答案與解析】已知：Z1 = Z2, Zl+Z3=90° , Z2+Z4二90° 求證：Z3=Z4.證明:VZ1+Z3=9O° , Z2+Z4二90° ,（已知）A Z3=90° -Zb Z4=90° -Z2.（等式的性質(zhì)）VZ1=Z2 （已知），AZ3=Z4 （等量代換）.【總結(jié)升華】"等角的余角相等”與“等角的補角相等”可以

8、作為今后證明的依據(jù).此外， 在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替，簡稱為“等量代換”.舉一反三：【變式】“垂線段最短”是（）A.定義 B.定理 C.公理 D.不是命題【答案】B類型三、平行線的判定定理如圖，一個由4條線段構(gòu)成的"魚"形圖案，其中Z1=5O°, Z2=5O°, Z3=13O°,找【思路點撥】根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明OBAC,根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明OABC.【答案與解析】解：OABC, OBAC.VZ1=5O°, Z2=50°,AZ1=Z2,A OB# AC,V Z2=50°,

9、Z3=130°,A Z2+Z3=180°,OABC.【總結(jié)升華】本題考查的是平行線的判左，掌握平行線的判左立理：同位角相等，兩直線平 行：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，下列能判建ABII CD的條件有（）個.（1） Z B+ZBCD=18O°： （2） z 1=Z 2： （3） Z 3=z 4： （4） z B=z 5.4z>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】解：（1）利用同旁內(nèi)角互補判定兩直線平行，故（1）正確：（2）利用內(nèi)錯角相等判定兩直線平行,VZ 1=Z2, A ADII BC,而不

10、能判定ABIICD,故（2）錯誤：（3）利用內(nèi)錯角相等判立兩直線平行，故（3）正確：（4）利用同位角相等判立兩直線平行，故（4）正確.正確的為（1）、（3）、（4）,共3個;故選：C.5. 如圖，ABII CD, AE 平分Z BAD, CD 與 AE 相交于 F, Z CFE=Z E.求證：ADII BC.【答案與解析】證明： AE平分Z BAD, z 1=Z 2,TAB II CD, Z CFE=Z E,z l=z CFE=z E». z 2=z E,:.ADII BC第5頁共5貞【總結(jié)升華】主要考查角平分線的性質(zhì)以及平行線的判左立理.舉反三：【變式】已知，如圖，EF1EG, GM1EG, Z1=Z2, AB與