熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程

1、第二章 熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程v熱傳導(dǎo)方程在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體。假定它的內(nèi)部有熱源或匯，并且與周?chē)慕橘|(zhì)有熱交換，來(lái)研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。物理模型xyzodSn Fourier實(shí)驗(yàn)定律實(shí)驗(yàn)定律:成正比導(dǎo)數(shù)法方向的方向度沿曲面與物體溫的熱量面積流過(guò)一個(gè)無(wú)窮小法線方向內(nèi)沿物體在無(wú)窮小時(shí)段nudSdQdSnt .),(dSdtnuzyxkdQ 注：負(fù)號(hào)是因?yàn)闊崃靠偸菑臏囟雀叩囊粋?cè)流向低的一側(cè)，.異號(hào)與故nudQ ., 它所包圍的區(qū)域記為內(nèi)任取一閉曲面在物體G.),(2121 ttdtdSnuzyxkQtt的全部熱量為流進(jìn)閉曲面到從時(shí)刻.),(),(),(),(),(),(,1

2、22121 dxdydztzyxutzyxuzyxzyxctzyxutzyxutt 它所吸收的熱量是變化到溫度從中在時(shí)間間隔., 為密度為比熱其中 c由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無(wú)熱源時(shí)，由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無(wú)熱源時(shí)， dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221 2112ttttttt 通過(guò)邊界的流入量熱量熱量交換積分次序交換積分次序 210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc 則有熱傳導(dǎo)的齊次方程均是任意的及注

3、意到,21 tt. 0 zukzyukyxukxtuc 211212t tt ttt ttt t 熱量 熱量通過(guò)邊界的流入量 熱源的生成量若物體內(nèi)部有熱源，若物體內(nèi)部有熱源，程則有熱傳導(dǎo)的非齊次方).,(tzyxfzukzyukyxukxtuc 數(shù)學(xué)模型2( , , , )uauf x y z tt 二維的情形：22222( , , )uuuaf x y ttxy一維的情形：222( , )uuaf x ttx其中： a2=k/C， f (x,y,z,t)=f0/C，222222xyz 如果物體是均勻的，且各向同性的，則有如果物體是均勻的，且各向同性的，則有v定解條件邊界條件給定溫度函數(shù) u(

4、x,y,z,t) 在物體表面的限制。一般來(lái)有三種類(lèi)型：(0,)( , , , )( , , , )u x y z tg x y z t第一類(lèi)邊界條件：初始條件給出物體在初始時(shí)刻 t=0 的溫度( , , ,0)( , , )u x y zx y z第二類(lèi)邊界條件：(0,)( , , , )ukg x y z tn第三類(lèi)邊界條件：(0,)( , , , )uug x y z tnv定解問(wèn)題由方程與定解條件可以描述一個(gè)特定的物理現(xiàn)象，它構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題混合問(wèn)題：初始問(wèn)題：222,0( ,0)( ),uuaxttxu xxx 222,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( )0 xuuax l

5、 ttxutu l ttu xxx l v擴(kuò)散方程考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有擴(kuò)散源，來(lái)研究物體內(nèi)部分子的濃度在時(shí)刻 t 的分布規(guī)律。物理模型數(shù)學(xué)模型( , , , )uD uf x y z tt 其中：u(x,y,z,t)表示于時(shí)刻 t 在 (x,y,z) 處的分子濃度f(wàn) (x,y,z,t)表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)D 為擴(kuò)散系數(shù)第二節(jié)初邊值問(wèn)題的分離變量法第二節(jié)初邊值問(wèn)題的分離變量法n 定解問(wèn)題 )(|0|, 0|0,002xuuuLxuautLxxxxt )()(),(tTxXtxu 0)()0(0)()()0()( LXXLXtTXtT222222/

6、)/( XXTaTTXaTXaTXaXTTXaXTl 未知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 分離結(jié)果00)()0(0222 TaTLXXXX )exp()(22taAtTkkk 0sin)(0)0(sincos)( LDLXCXxDxCxX LkxxXkkk/,sin)( NkLkkLL ,/0sin l 空間方程解出l 非零解條件l 非零解l 時(shí)間方程解出l 分離結(jié)果的求解00)()0(0222 TaTLXXXX 典型問(wèn)題的求解xtaAtTxXtxukkkkkk sin)exp()()(),(22 xAxkk sin)( 11sin),(22kktakkkxeAtxuuk l 初始

7、條件要求l 分離結(jié)果的合成l 再合成半通解l 系數(shù)的確定xdxxLAkLk sin)(20 l 過(guò)程小結(jié)l分離變量分別求解合成半通解由初始條件確定系數(shù)分離變量流程圖xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),( txuu典型問(wèn)題的求解n 例題1)cos(sin|0|, 0|0, 0002xBAxuuuxuautxxxxtNktakATkxXkkk),exp(),sin(220)()0(0, 0)()(),(222XXXXTaTt

8、TxXtxu0,3sin2sinsin2sinsinsin)cos(sin2212132121kkABAAAxAxAxAxBxAkxAxBAx122sin)exp(kkkxtakAul 代入初始條件l 分離變量l 分別求解l 合成半通解第二類(lèi)邊界條件n 定解問(wèn)題)(|0|, 0|0, 0002xuuuLxuautLxxxxxxt)exp(, 2 , 1 , 0,/),cos(222tawATwkLkwwxXkkk)()(),(tTxXtxu0)( )0( LXXXXTaT/ )/(2)()(0 xXAAxkk10)()(kkkxXtTTul 初始條件要求l 未知函數(shù)分離l 泛定方程分離l 邊界條件分離l 本征運(yùn)動(dòng)l 半通解典型問(wèn)題的求解n 例題2xAuuuxuautxxxxxxt2002cos|0|, 0|0, 000022, 1),exp(),cos(ATXNktakATkxXkkk0)( )0( 0, 0)()(