高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式素材1 新人教A版選修45

1、二 一般形式的柯西不等式庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、二維形式的柯西不等式定理1 （二維形式的柯西不等式）已知a1，a2，b1，b2r，則(a1b1+a2b2)2(a12+a22)2(b12+b22)2，當(dāng)且僅當(dāng)a1b2-a2b1=0時(shí)取等號.由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個(gè)非常有用的不等式：對于任何實(shí)數(shù)a1，a2，b1，b2,以下不等式成立：|a1b1+a2b2|;|a1b1|+|a2b2|. 聯(lián)想發(fā)散 不等式中等號成立a1b2-a2b1=0.這時(shí)我們稱(a1,a2),(b1,b2)成比例,如果b10,b20,那么a1b2-a2b1=0.若b1·b2=0,我們分情況說明：b1=

2、b2=0,則原不等式兩邊都是0,自然成立;b1=0,b20,原不等式化為(a12+a22)b22a22b22,也是自然成立的;b10,b2=0,原不等式和的道理一樣,自然成立.正是因?yàn)閎1·b2=0時(shí),不等式恒成立,因此我們研究柯西不等式時(shí),總是假定b1b20,等號成立的條件可以寫成,這種寫法在表示一般形式(n維)的柯西不等式等號成立的條件時(shí)更是方便、簡潔的.定理2 （柯西不等式的向量形式）設(shè),是兩個(gè)向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使=k時(shí)，等號成立. 學(xué)法一得 定理2 中等號成立的充分必要條件是向量和平行（如,為非零向量，則定理2中等號成立的充分必要條件為

3、向量與的夾角為0或，即與對應(yīng)的坐標(biāo)分量成比例）,從而可以推知定理1中等號成立的充分必要條件為（bi為零時(shí)，ai為零，i=1，2）.定理3 （二維形式的三角不等式）設(shè)x1,x2,y1,y2r，那么.二維形式的三角不等式的變式：用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，代入定理3，得二、一般形式的柯西不等式定理 設(shè)ai,bir(i=1,2, ,n),則(.當(dāng)數(shù)組a1，a2，an,b1，b2，bn不全為0時(shí)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)bi=ai(1in).即(a1b1+a2b2+anbn)2(a12+a22+an2)2(b12+b22+bn2)2（ai,bir,i

4、=1,2,n）中等號成立的條件是=. 記憶要訣 這個(gè)式子在競賽中極為常用，只需簡記為“積和方小于和方積”.等號成立的條件比較特殊，要牢記.此外應(yīng)注意在這個(gè)式子里不要求各項(xiàng)均是正數(shù)，因此應(yīng)用范圍較廣. 一般形式的柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：變式1 設(shè)air，bc>0(i=1,2, ,n),則,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)bi=ai(1in).變式2 設(shè)ai,bi同號且不為0（i=1，2，n），則,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=bn. 深化升華 要求ai，bi均為正數(shù).當(dāng)然，這兩個(gè)式子雖常用，但是記不記住并不太重要，只要將柯西不等式原始的式子記得很熟，這兩個(gè)式子其實(shí)是一眼就能看出來的，這就要求我們對柯西不

5、等式要做到活學(xué)活用.柯西不等式經(jīng)常用到的幾個(gè)特例（下面出現(xiàn)的a1, ,an;b1, ,bn都表示實(shí)數(shù)）是：（1）a12+a22+an2=1,b12+b22+bn2=1,則|a1b1+a2b2+anbn|1;（2）a1a2+a2a3+a3a1a12+a22+a32;（3）(a1+a2+an)2n(a12+a22+an2);（4）(a+b)(+)4=(1+1)2，其中a、br+;（5）(a+b+c)(+)9=(1+1+1)2,其中a、b、cr+. 柯西不等式是一個(gè)重要的不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨(dú)特地位.典題·熱題知識點(diǎn)一： 用柯西不等

6、式證明不等式例1 設(shè)a1>a2>>an>an+1,求證：>0.思路分析：這道題初看起來似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)就可以使用了，我們不妨改為證：(a1-an+1)·>1.證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1-an+1寫成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+ +(an-an+1),于是(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)·（）n2>1.即(a1-an+1)·（）>1,故>0.方法歸納 我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個(gè)因式之和，其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和

7、，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明.知識點(diǎn)二： 用柯西不等式證明條件不等式例2 （經(jīng)典回放）設(shè)x1,x2, ,xnr+,求證：x1+x2+xn.思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+xn+x1)，也即嵌以因式(x1+x2+xn)，由柯西不等式即可得證.證明：()·(x2+x3+xn+x1)=()2+()2+()2+()2()2+()2+()2+()2(·+·+·+·)=(x1+x2+xn)2,于是x1+x2+xn.巧解提示 柯西不等式中有三個(gè)因式，而一般題目中只有一個(gè)或

8、兩個(gè)因式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一.知識點(diǎn)三： 用柯西不等式求函數(shù)的極值例3 已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5,試求a的最值.思路分析：本題求極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)()(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2.由條件可得，5-a2(3-a)2.解得，1a2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.代入b=1,c=,d=時(shí)，amax=2;b=1,

9、c=,d=時(shí),amin=1.巧妙變式 為了給運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決.而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.如：已知a,b為正常數(shù)，且0<x<,求y=的最小值.解：利用柯西不等式，得(sin2x+cos2x)(sinx+cosx)2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.于是sinx+cosx.再由柯西不等式，得()(sin

10、x+cosx)(）()2=(a+b)2.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.從而y=(a+b).于是y=的最小值是(a+b).問題·探究思想方法探究 問題 試探究用柯西不等式導(dǎo)出重要公式.如n個(gè)實(shí)數(shù)平方平均數(shù)不小于這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即若a1,a2,anr，則.探究過程:由柯西不等式可知(a1+a2+an)2(a1·1+a2·1+an·1)2(a12+a22+an2)·(12+12+12)=(a12+a22+an2)·n,所以a12+a22+an2,故.不等式,把中學(xué)教材中僅有關(guān)于兩個(gè)正數(shù)的“算術(shù)平均”，“幾何平均”問題拓廣到了“二次冪平均”問題，

11、即，這不僅拓寬了中學(xué)生的眼界，而且為解決許多不等式的問題開辟了一條新路.探究結(jié)論:柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)十分重要的不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用，利用它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題.交流討論探究 問題 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，試交流討論使用柯西不等式的技巧,試舉例歸納.探究過程:人物甲：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù)，如：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等.求證.我們可以如此分析：a、b、c均為正,為證結(jié)論正確只需證2(a+b+c)>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+

12、1)2. 人物乙：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排某些項(xiàng)的次序，如：a、b為非負(fù)數(shù)，a+b=1,x1,x2r+,求證(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2.我們可以如此分析：不等號左邊為兩個(gè)二項(xiàng)式積，a,b-,x1,x2r+，直接用柯西不等式做得不到預(yù)想結(jié)論，當(dāng)把第二個(gè)小括號的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了. 人物丙：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以改變結(jié)構(gòu)，從而能夠使用柯西不等式，如：若a>b>c，求證.我們可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了.a-c=(a-b)+(b-c),a>c,a-c>0,結(jié)論改為(a-c)()4. 人物?。簶?gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以添項(xiàng)，如：若a,b,cr+，求證.我們可以如此分析：左端變形+1+1+1=(a+b+c)(),只需證此式即可.探究結(jié)論:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常數(shù)、重新安排某些項(xiàng)的次序、添項(xiàng)等）構(gòu)造符合柯西不等式的形式