2022年初三數(shù)學一輪復習知識點串講專題30 圓的基本性質(zhì)

1、內(nèi)裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2022年初三數(shù)學一輪復習知識點串講專題30 圓的基本性質(zhì)專題30 圓的基本性質(zhì)【知識要點】知識點一 圓的基礎概念圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑以O點為圓心的圓記作O，讀作圓O特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形確定圓的條件：1 圓心；2 半徑，3 其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小補充知識：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓 弦的概念：連結(jié)

2、圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以A、B為端點的弧記作AB，讀作弧AB在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距弦心距、半徑、弦長的關系：（考點） 知識點二 垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；常見輔助線做法（考點）：1） 過圓心，作垂線，連半徑，造RT，用勾股，求長度；2

3、） 有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分知識點一 圓的基礎概念圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑以O點為圓心的圓記作O，讀作圓O特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形確定圓的條件：4 圓心；5 半徑，6 其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小補充知識：1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓 弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦弧的概念：圓上任意兩點間的部

4、分叫做圓弧，簡稱弧以A、B為端點的弧記作AB，讀作弧AB在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距弦心距、半徑、弦長的關系：（考點） 知識點二 垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；常見輔助線做法（考點）：3） 過圓心，作垂線，連半徑，造RT，用勾股，求長度；4）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分知識點三 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系圓心角概念：頂點在圓心的

5、角叫做圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等知識點二 圓周角定理（考點）圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑 （在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）知識點三 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形概念：如

6、果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓叫做這個多邊形的外接圓。性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角【考查題型】考查題型一 圓的周長與面積問題典例1如圖中三個小圓周長之和與大圓周長比較,較長的是()A三個小圓周長之和B大圓周長C一樣長D不能確定【答案】C【提示】如圖,設大圓的直徑為d,三個小圓的直徑依次為d',d,d,根據(jù)圓的周長公式即可解答.【詳解】如圖,設大圓的直徑為d,三個小圓的直徑依次為d',d,d,則大圓周長為d;三個小圓周長之和為d'+d+d=(d'+d+d).因為d=d'+d+d,所以三個小圓周

7、長之和與大圓周長一樣長.變式1-1如圖，O的半徑為，分別以的直徑上的兩個四等分點，為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）ABCD【答案】B【提示】把陰影部分進行對稱平移，再根據(jù)半圓的面積公式計算即可.【詳解】,圖中陰影部分的面積為.故選B.變式1-2圖案的地磚，要求灰、白兩種顏色面積大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）ABCD【答案】D【提示】設正方形邊長為2a，依次表示出每個圖形灰色和白色區(qū)域的面積，比較即可得出結(jié)論【詳解】設正方形邊長為2a，則：A、灰色區(qū)域面積=正方形面積圓的面積= ，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；B、灰色區(qū)域面積=正方形面積圓的面積= ，白色區(qū)域面積

8、=圓面積=，兩者相差很大；C、色區(qū)域面積=正方形面積圓的面積= ，白色區(qū)域面積=圓面積=，兩者相差很大；D、灰色區(qū)域面積=半圓的面積正方形面積= ，白色區(qū)域面積=正方形面積灰色區(qū)域面積=，兩者比較接近故選D變式1-3如圖，一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動一圈，圓心經(jīng)過的距離是（）A4r                          &#

9、160;             B2r                                    

10、;   Cr                                       D2r【答案】B【提示】一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動一圈，圓心經(jīng)過的距離就是圓的周長【詳

11、解】圓心經(jīng)過的距離就是圓的周長，所以是2r.，故選B.考查題型二 利用垂徑定理進行計算典例2（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）如圖，O的直徑CD20，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，OM：OD3：5，則AB的長為（）A8B12C16D2【答案】C【提示】連接OA，先根據(jù)O的直徑CD20，OM：OD3：5求出OD及OM的長，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進而得出結(jié)論【詳解】連接OA，O的直徑CD20，OM：OD3：5，OD10，OM6，ABCD，AB2AM16故選：C變式2-1（2020·湖北中考真題）如圖，點在O上，垂足為E若，則（ ）A2B4CD

12、【答案】D【提示】連接OC，根據(jù)圓周角定理求得，在中可得，可得OC的長度，故CE長度可求得，即可求解【詳解】解：連接OC，在中，垂足為E，故選：D變式2-2如圖，在O中，AE是直徑，半徑OC垂直于弦AB于D，連接BE，若AB=2，CD=1，則BE的長是A5B6C7D8【答案】B【提示】根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑 ，根據(jù)三角形中位線定理計算即可【詳解】解：半徑OC垂直于弦AB，AD=DB= AB= 在RtAOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，解得，OA=4OD=OC-CD=3，AO=OE,AD=DB,BE=2OD=6故選B變式2-3（

13、2020·曲阜模擬）O的半徑是13，弦ABCD，AB24，CD10，則AB與CD的距離是（）A7B17C7或17D34【答案】C【提示】先作出圖象根據(jù)勾股定理分別求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根據(jù)兩弦在圓心同側(cè)和在圓心異側(cè)兩種情況討論.【詳解】解：如圖, 設E、F為AB、CD的中點，AE=AB=24=12,CF=CD=10=5,OE=5,OF=12,當兩弦在圓心同側(cè)時,距離=OF-OE=12-5=7;當兩弦在圓心異側(cè)時,距離=OE+OF=12+5=17.所以距離為7或17.故選C.變式2-4（2020·陜西中考真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，A50°E是邊BC

14、的中點，連接OE并延長，交O于點D，連接BD，則D的大小為（）A55°B65°C60°D75°【答案】B【提示】連接CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到CDB180°A130°，根據(jù)垂徑定理得到ODBC，求得BDCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】解：連接CD，A50°，CDB180°A130°，E是邊BC的中點，ODBC，BDCD，ODBODCBDC65°，故選：B考查題型三 垂徑定理的實際應用典例3（2020·廣東廣州市·中考真題）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以

15、后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）ABCD【答案】C【提示】過點O作ODAB于D，交O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長【詳解】解：過點O作ODAB于D，交O于E，連接OA，由垂徑定理得：，O的直徑為，在中，由勾股定理得：，油的最大深度為，故選：變式3-1（2020·寧夏中考真題）我國古代數(shù)學經(jīng)典著作九章算術(shù)中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小用鋸去鋸這木材

16、，鋸口深寸，鋸道長尺（1尺寸）問這根圓形木材的直徑是_寸【答案】26【提示】根據(jù)題意可得，由垂徑定理可得尺寸，設半徑，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑.【詳解】解：由題可知，為半徑，尺寸，設半徑，在中，根據(jù)勾股定理可得：解得：,木材直徑為26寸；故答案為：26.變式3-2（2019·湖南湘潭市·中考真題）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中方田章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積（弦×矢+矢2）孤田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，運用垂徑

17、定理（當半徑弦時，平分）可以求解現(xiàn)已知弦米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_平方米【答案】10【提示】根據(jù)垂徑定理得到，由勾股定理得到，求得，根據(jù)弧田面積（弦×矢+矢2）即可得到結(jié)論【詳解】解：弦米，半徑弦，弧田面積（弦×矢+矢2），故答案為10變式3-3（2020·佳木斯市模擬）如圖是一圓形水管的截面圖，已知O的半徑OA13，水面寬AB24，則水的深度CD是_【答案】8【提示】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出OC的長，根據(jù)CDODOC即可得出結(jié)論【詳解】解：O的半徑OA13，水面寬AB24，ODAB，ODOA13，ACAB12，

18、在RtAOC中，OC5，CDODOC1358故答案為：8變式3-4（2020·廣西梧州市·九年級二模）如圖，圓柱形水管的截面半徑是，陰影部分為有水部分，水面寬，則水的最大深度是_【答案】1.6【提示】如圖（見解析），先根據(jù)圓的性質(zhì)得出水的最大深度為CD的長，再根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出OC的長，由此即可得【詳解】如圖，設圓心為點O，過點O作于點C，延長CO交圓O于點D，連接OA由圓的性質(zhì)可知，圓的半徑為，水的最大深度為CD的長由垂徑定理得：在中，則即水的最大深度是故答案為：考查題型四 利用弧、弦、圓心角的關系求解典例4（2020·四川瀘州市·中考真題）如

19、圖，中，則的度數(shù)為（ ） A100°B90°C80°D70°【答案】C【提示】首先根據(jù)弧、弦、圓心角的關系得到AB=AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得A的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理可得BOC=2A，進而可得答案【詳解】解：AB=AC，AB=AC，ABC=ACB=70°，A=180°-70°×2=40°，圓O是ABC的外接圓，BOC=2A=40°×2=80°，故選C變式4-1（2020·山東青島市·中考真題）如圖，是O的直徑，點，在O上，AB=AD，交于點若則的

20、度數(shù)為（ ）ABCD【答案】B【提示】先根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)等弧所對的弦相等，得到，最后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，得到CAD=，BAG=，即可求解【詳解】解：是的直徑AB=AD故選：B變式4-2（2020·山西模擬）如圖，AB是O的直徑，BC=CD=DE，COD=34°，則AEO的度數(shù)是（ ）A51°B56°C68°D78°【答案】A【解析】如圖，在 O中，BC=CD=DE，BOC=COE=DOE=34°，AB是 O的直徑，BOC+COE+DOE+AOE=180°，AOE=180°-34

21、°-34°-34°=78°，OA=OE，AEO=A=.故選A.變式4-3（2020·揚州市一模）如圖，AB是O的弦，OA、OC是O的半徑，AC=BC，BAO=37°，則AOC的度數(shù)是（）度.A74B106C117D127【答案】D【提示】連接OB，進而得出AOB的度數(shù)，然后根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得AOC的度數(shù)【詳解】連接OB，OA=OB，BAO=37°，AOB=180°-2×37°=106°，AC=BC，AOC=BOC=127°，故選D考查題型

22、五 利用弧、弦、圓心角的關系求證典例5（2019·富順縣中考真題）如圖，中，弦與相交于點,連接.求證：AD=BC；.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【提示】（1）由AB=CD知AB=CD，即AD+AC=BC+AC，據(jù)此可得答案；（2）由AD=BC知AD=BC，結(jié)合ADE=CBE，DAE=BCE可證ADECBE，從而得出答案【詳解】證明（1）AB=CD，AB=CD，即AD+AC=BC+AC，AD=BC；（2）AD=BC，AD=BC，又ADE=CBE，DAE=BCE，ADECBE（ASA），AE=CE變式5-1（2020·安徽中考真題）如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩

23、點與相交于點是半圓所任圓的切線，與的延長線相交于點，求證：；若求平分【答案】證明見解析；證明見解析【提示】利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；利用等腰三角形的性質(zhì)證明： 再證明 利用切線的性質(zhì)與直徑所對的圓周角是直角證明： 從而可得答案【詳解】證明： AD=BC, 為直徑， 證明： 為半圓的切線， 平分考查題型六 圓周角定理典例6（2020·吉林長春市·中考真題）如圖，是O的直徑，點、在O上，則的大小為（ ）ABCD【答案】B【提示】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到BOC=2BDC=40°，即可求出答案.【詳解】,BOC=2BDC=40°

24、;，AOC=180°-BOC=140°，故選：B.變式6-1（2020·浙江杭州市·中考真題）如圖，已知BC是O的直徑，半徑OABC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E設AED，AOD，則（）A3+180°B2+180°C390°D290°【答案】D【提示】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用表示CBD，進而由圓心角與圓周角關系，用表示COD，最后由角的和差關系得結(jié)果【詳解】解：OABC，AOBAOC90°，DBC90°BEO90°AED90°，COD2D

25、BC180°2，AOD+COD90°，+180°290°，290°，故選：D變式6-2（2020·黑龍江牡丹江市·朝鮮族學校中考真題）如圖，點在圓上，若弦的長度等于圓半徑的倍，則的度數(shù)是( )A22.5°B30°C45°D60°【答案】C【提示】設圓心為，連接，如圖，先證明為等腰直角三角形得到，然后根據(jù)圓周角定理確定的度數(shù)【詳解】解：設圓心為，連接，如圖，弦的長度等于圓半徑的倍，即，為等腰直角三角形， ，°故選C變式6-3（2020·遼寧鞍山市·中考真題）

26、如圖，O是ABC的外接圓，半徑為，若，則的度數(shù)為（ ）A30°B25°C15°D10°【答案】A【提示】連接OB和OC，證明OBC為等邊三角形，得到BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理得出A【詳解】解：連接OB和OC，圓O半徑為2，BC=2，OBC為等邊三角形，BOC=60°，A=30°，故選A變式6-4（2020·四川廣元市·中考真題）如圖，是O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)，沿的路線勻速運動，設（單位：度），那么y與點P運動的時間（單位：秒）的關系圖是（ ）ABCD【答案】B【提示】根據(jù)圖示，分三種情況：（1）

27、當點P沿OC運動時；（2）當點P沿CB運動時；（3）當點P沿BO運動時；分別判斷出y的取值情況，進而判斷出y與點P運動的時間x（單位：秒）的關系圖是哪個即可【詳解】解：（1）當點P沿OC運動時，當點P在點O的位置時，y90°，當點P在點C的位置時，OAOC，y45°，y由90°逐漸減小到45°；（2）當點P沿CB運動時，根據(jù)圓周角定理，可得y90°÷245°；（3）當點P沿BO運動時，當點P在點B的位置時，y45°，當點P在點O的位置時，y90°，y由45°逐漸增加到90°故選：B考查

28、題型七 同弧或等弧所對的圓周角相等典例7（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，四邊形的外接圓為，則的度數(shù)為（ ）ABCD【答案】C【提示】根據(jù)同弧所對的圓周角相等及等邊對等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運算即可求解【詳解】解：，故選：C變式7-1（2020·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，點A、B、C、D在O上，點B是AC的中點，則的度數(shù)是（ ）ABCD【答案】A【提示】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理得到AOBAOC，再根據(jù)圓周角定理解答【詳解】連接OB，點B是AC的中點，AOBAOC60°，由圓周角定理得，DAOB30°

29、，故選：A變式7-2（2020·江蘇揚州市·中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則的值為（ ）ABCD【答案】A【提示】首先根據(jù)圓周角定理可知，ABC，在RtACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出ABC的正弦值【詳解】和ABC所對的弧長都是，根據(jù)圓周角定理知，ABC，在RtACB中，AB=根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sinABC，=，故選A考查題型八 直徑所對的圓周角是直角典例8（2020·甘肅金昌市·中考真題）如圖，是圓上一點，是直徑，點在圓上且平分弧，則的長為（ ）ABCD【答案】D【提示】由是圓O的直徑，可得A=D=