橢圓的定義和標準方程

1、第三節(jié) 橢圓一、橢圓的定義和標準方程1.取一條長度一定且不可伸縮的細繩，把它的兩個端點固定在黑板上的f1，f2兩點 (使繩長大于f1到f2的距離)，用粉筆尖把繩子拉緊，使筆尖在黑板上慢慢移動一周，得到的圖形是什么？得到的圖形是橢圓得到的圖形是橢圓2.在畫橢圓的過程中需要注意哪幾個問題？(3)繩長大于f1到f2的距離橢圓的焦距：f1f2(1) f1，f2為固定兩點平面內(nèi)與兩定點f1、f2 的距離之和為常數(shù) (大于| f1f2|) 的點的軌跡(或集合)叫做橢圓。橢圓的定義：f1、f2橢圓的焦點：|f1f2|(2)筆尖到f1與f2的距離之和為繩長(定長)m平面內(nèi)與兩定點f1、f2 的距離之和為常數(shù)的

2、點的軌跡(或集合)叫做橢圓。橢圓的定義： o|mf1|+|mf2|= 2a (a0)2222(x+c) +y+(x-c) +y=2a(-c,0)(c,0)xy 求求平面內(nèi)與兩定點f1、 f2 的距離之和為常數(shù)(大于| f1f2|)的點的軌跡(或集合) ？ f1f2m橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點f1、f2 的距離之和為常數(shù)(大于| f1f2|)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓。(c0)設(shè)點m(x,y)為所求軌跡上任意一點解：| f1f2|=2c常數(shù)=2a(a0)ac2222(x+c) +y =2a-(x-c) +y2222222(x+c) +y =4a -4a (x-c) +y +(x-c) +y22

3、2a-c x = a(x -c )+ y422 22 222 22 2a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y22222222(a -c )x +a y =a (a -c )222222bx+ ay= ab222bac(b0)焦點在y軸的橢圓的標準方程：焦點在x軸的橢圓的標準方程：22221xyab(0)a b 12(,0),( ,0)fcfc222cab22221yxab(0)a b 12(0,),(0, )fcfc222cab常數(shù)(繩長) =2a 焦距:222bac| f1f2|=2c(c0)(a0)(b0)設(shè)點m(x,y)為所求軌跡上任意一點|mf1|+|mf2

4、|= 2a (a0)2222x +(y+c) +x +(y-c) =2a22221yxab令f1(0，-c), f2 (0，c) | f1f2|=2c (c0) 常數(shù)常數(shù)=2=2a a (a0) (a0)解：設(shè)點m(x,y)為所求軌跡上任意一點解：|mf1|+|mf2|= 2a (a0)22221xyab2222(x+c) +y +(x-c) +y =2a令f1(-c,0)，f2 (c,0) |f1f2|=2c (c0)(c0) 常數(shù)常數(shù)=2=2a a (a0) (a0)22222222222222222(a -c )x +a y =a (a -c )ba -cb x +a y =b(0)ab

5、 222222x +b y =a baxymf2f1o22222222a x +(a -c )y =a (a -c )222ba -c (0)b f1f2myxo1.求下列橢圓的焦點和焦距。22(1)154xy22(2)216xy54解 ： 因為所以焦點在x軸上22a= 5, b= 422211cabc焦點為：12(1,0),(1,0)ff2211 68yx2216,8ab22216882 2cabc焦點為：12(0,22 ),(0,22 )ff焦距為： 222c 焦距為：4224 2c1 68所以焦點在y軸上因為2 . 已知橢圓的焦點為 f1 (-3，0) ，f2 (3，0)，橢圓上一點到兩

6、焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程。2105aa222222225 3 16ca bba c 故所求橢圓的標準方程為：2212 51 6xy22221xyab(0)ab設(shè)橢圓標準方程為解： 因為 12( 3,0),(3,0)ff所以焦點在x軸上，c=3 f1f2myxo3.已知橢圓上某點到兩定點的距離之和為6，兩個定點之間的距離為 ，求橢圓的標準方程。 2 5解：因為 2a=6 2c= 所以 a=3 c= 2 55222954bac焦點在x軸的橢圓標準方程為22194xy焦點在y軸的橢圓標準方程為22194yx設(shè)焦點在x軸的橢圓標準方程為22221xyab222954bac22221yxa

7、b設(shè)焦點在y軸的橢圓標準方程為的焦點，12pf f三角形，求的周長？2212 59xy 設(shè)f1、 f2為橢圓p為橢圓上一點，與f1、 f2構(gòu)成一個解：12pf f周長1122121222pfffpfpfpfffac2212 59xy f1f2p22225916428cabcc22 5521 0aaa12pf f =10+8=18 所 以的 周長長yx f1f2poabf1已知橢圓 與x軸，y軸的正半軸分別交于a、b兩點，左焦點為f1，求 的面積？2212 51 6xy1abfabf1xyox1a b f11s=a fo b211=o f+ o ao b2解因為點a為橢圓與x軸正半軸交點所以201552 51 6xxoa因為點b為橢圓與y軸正半軸交點所以201442 51 6yyo b221251633cabof115341 62a b fs位置焦點在x軸上 焦點在y軸上圖形方程相同點不同點222cab2.12(,0),( ,0)fcf c12(0,)