高等數(shù)學(xué)課件：第2章 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分

1、 2.1 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2.2 2.2 導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的計算 2.3 2.3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2.4 2.4 幾種類型函數(shù)的求導(dǎo)方法幾種類型函數(shù)的求導(dǎo)方法 2.5 2.5 函數(shù)的微分與線性逼近函數(shù)的微分與線性逼近 問題的提出問題的提出.,16651601,Fermat的的為為研研究究極極值值問問題題而而引引入入法法國國）爾爾馬馬（導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的思思想想最最初初是是由由費費 ,Leibniz這這是是由由萊萊布布尼尼茲茲（學(xué)學(xué)中中的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的概概念念起起源源于于幾幾何何及及切切線線問問題題，力力學(xué)學(xué)中中的的速速度度問問題題,17271642,Newton,17161646 德德

2、國國）和和牛牛頓頓（.來來的的學(xué)學(xué)和和力力學(xué)學(xué)過過程程中中建建立立起起英英國國）分分別別在在研研究究幾幾何何1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限

3、位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置1.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置,),()(:,00yxPxfyC上上取取一一定定點點在在曲曲線線如如圖圖 近近的的一一點點，附附是是曲曲線線上上點點 PyxQ),(oxy)(xfy CPQ沿沿當(dāng)當(dāng)動動點點 Q,時時曲曲線線趨趨于于 PPQ割割線線的極限位置的極限位置 ,PTT.處處的的稱稱為為曲曲線線在在點點 P切切線線 0 xxx PQ割割線線 tan00)()(xxxfxf ,時時當(dāng)當(dāng)沿沿曲曲線線PQC,0 x

4、x , 0 x的的斜斜率率為為：切切線線 PT.)()(lim000 xxfxxfx tank:的的斜斜率率為為,)()(00 xxfxxf ：其其運運動動方方程程為為中的平均速度：中的平均速度：質(zhì)點在時間質(zhì)點在時間,00ttt ttSttS )()(00.）（距距離離對對時時間間的的變變化化率率.)()(lim000ttSttSt 2. 瞬時速度瞬時速度,0為為某某一一確確定定的的時時刻刻若若 t求求質(zhì)質(zhì)點點在在時時t0t.tt 0.tSv :0的的瞬瞬時時速速度度質(zhì)質(zhì)點點在在 t v,動動設(shè)設(shè)一一質(zhì)質(zhì)點點作作變變速速直直線線運運，)(tSS v的的瞬瞬時時速速度度刻刻0t定義定義 1,)(

5、)(0有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xUxfy ,0 xxx 處處一一改改變變量量在在給給自自變變量量相相應(yīng)應(yīng)地地，有有，)()(00 xfxxfy ）（)(00 xUxx xyx 0lim若若xxfxxfx )()(lim000,存存在在,)(0處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點則則稱稱xxfy 并并稱稱這這個個極極,)(0處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點限限為為xxfy :記記作作)(0 xf 0 xxy 或或0 xxdxdy 或或,0 xxdxdf 或或即即xyxfx 00lim)(.)()(lim000 xxfxxfx xyxfx 00lim)(.)()(lim000 xxfxxfx ，令令xxx 0，則則0

6、0 xxx .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 或或，000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xyx 0lim若若,不不存存在在.)(0點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則稱稱xxfoxy)(xfy T0 xP導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義即即切切線線的的斜斜率率處處的的在在點點表表示示曲曲線線,)(,()()(000 xfxPxfyxf 切線方程為切線方程為:法線方程為法線方程為:)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy ,tan)(0 xf)(軸軸正正向向夾夾角角是是切切線線與與 x 定義定義 2（單側(cè)導(dǎo)數(shù)，左右導(dǎo)數(shù)）（單側(cè)導(dǎo)數(shù)，左右導(dǎo)數(shù)）xyx 0limxxfx

7、xfx )()(lim00000)()(lim0 xxxfxfxx )(0 xxx 令令,存存在在,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)處處在在則則稱稱xxf右右并并稱稱此此極極限限.)(0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處的的在在點點為為xxf右右 )(0 xf左左左左定理定理 1（雙側(cè)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）（雙側(cè)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系）存存在在)(0 xf .)()(00都存在且相等都存在且相等與與xfxf 定理定理 2（可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系）（可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系）0)(xxf在在若若，可可導(dǎo)導(dǎo),)(0必必連連續(xù)續(xù)在在則則xxf但但反反之之不不然然！,)(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy yx 0lim,0 .

8、)(0連續(xù)連續(xù)在點在點即即xxf, )0(0 x 證證)(lim00 xxxfx 證畢證畢但但反反之之不不然然，例如：例如：處連續(xù)，處連續(xù)，在在0)( xxxf.)0(不不存存在在但但 f ,事事實實上上xy xyoxfxffx )0()0(lim)0(0, 1 ),0()0( ff但但xxx 0limxxx 0limxfxffx )0()0(lim)0(0, 1 xxx 0limxxx 0lim右可導(dǎo)右可導(dǎo)左可導(dǎo)左可導(dǎo).)0(不不存存在在f 定理定理 2 不不連連續(xù)續(xù)，在在若若0)(xxf0)(xxf在在則則.不不可可導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)可可續(xù)續(xù)連連導(dǎo)導(dǎo)可可不不續(xù)續(xù)連連不不續(xù)續(xù)連連導(dǎo)導(dǎo)可可右右左左左左右

9、右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不一一定定相相等等:)(0點點在在數(shù)數(shù)函函xxf定義定義 3處處都都可可導(dǎo)導(dǎo)，內(nèi)內(nèi)每每一一點點在在若若xbaxf),()(都都存存在在，即即)(,),(xfbax 在在則則稱稱)(xf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)；),(ba),(),()(afbaxf 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在若若,)(都都存存在在bf .,)(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則稱稱baxf可可導(dǎo)導(dǎo)，在在區(qū)區(qū)間間若若Ixf)(都都存存在在，則則)(,xfIx ，值值都都對對應(yīng)應(yīng)唯唯一一確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)即即)(,xfIx ,上上定定義義了了一一個個新新的的函函數(shù)數(shù)則則在在 I稱稱這這個個新新的的函函數(shù)數(shù),)(的的為為xf導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) :簡

10、簡稱稱,)()(lim)(0 xxfxxfxfx .Ix 注意注意:)(0 xf )(xf ，0 xx .)()(00 xfxf但但 況況：不不可可導(dǎo)導(dǎo)，有有以以下下三三種種情情在在函函數(shù)數(shù)0)(xxf不不連連續(xù)續(xù)，在在若若0)(.1xxf.)(0不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則xxf( 定理定理 )2 ，知知由由定定理理 1.2.)(0不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則xxf，例如：例如：xxf )(，)0(11)0( ff.)0(不不存存在在f .)(0不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在則則xxf都存在但值不相等，都存在但值不相等，與與若若)()(00 xfxf )i(中至少有一個不存在，中至少有一個不存在，與與若若)()(00 x

11、fxf )ii(,0, 00,1sin)( xxxxxf例例:.0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xyxfxfx )0()0(lim0,事事實實上上xxxx 1sinlim0 xx 1sinlim0,不不存存在在 )0(f.0)(不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxf為為無無窮窮的的情情況況xyx 0lim.3定義定義 1連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)0)(xxf),()()(limlim0000 或或若若xxfxxfxyxx. )()(0存在無窮導(dǎo)數(shù)存在無窮導(dǎo)數(shù)在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)xxf不可導(dǎo)不可導(dǎo)),()()(lim000 或或xxfxxfx )(0 xf),()()(lim000 或或xxfxxfx )

12、(0 xf：右無窮導(dǎo)數(shù)右無窮導(dǎo)數(shù)的左的左在點在點同理，同理，、xxf0)(注意注意:有無窮導(dǎo)數(shù)，有無窮導(dǎo)數(shù)，在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf)(xf仍為仍為；在點在點0 x不可導(dǎo)不可導(dǎo)幾幾何何但但是是，此此時時卻卻有有明明顯顯的的意義：意義：處處有有切切線線，在在點點曲曲線線)(,()(00 xfxxfy ,)(0 xf切切線線的的斜斜率率為為軸垂直，軸垂直，該切線與該切線與 x即即，2 .tan 可可導(dǎo)導(dǎo)在在0)(xxf在點在點曲線曲線)(xfy 有切線有切線)(,(00 xfx.11)(3處有無窮導(dǎo)數(shù)處有無窮導(dǎo)數(shù)在在 xxxf例例1xfxffx )1()1(lim)1(0解解xxx 30lim

13、320)(1limxx , .)0 , 1(13處處有有鉛鉛直直的的切切線線在在點點曲曲線線 xy31 xy11 x的的一一般般步步驟驟：點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在求求)()(xfxxf ；，求，求一增量一增量給給)()(. 1xfxxfyxx ；計算計算xxfxxfxy )()(. 2:. 3 計算極限計算極限xyx 0limxxfxxfx )()(lim0)(xf （存在）（存在）例例1 1.上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求下下列列函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域xxfxxfxfx )()(lim)(0 xCCx 0lim. 0 0)( C, )()()1為常數(shù)為常數(shù)CCxf ),()()2 Nnxxfnxxx

14、xxnnxn )(lim)(0)()(! 2)1(22nnnxxxxnn 1)( nnxnx.1 nnx)(! 2)1(lim1210 nnnxxxxnnnxxnxxxnnx 101lim,sin)()3xxf xxxxxx sin)sin(lim)(sin0)2sin2cos2sin(sinyxyxyx xxxxx 2sin)2cos(2lim0 xxcos)(sin 22sinlim0 xxx )2cos(lim0 xxx.cos x 同理同理xxsin)(cos ,cos)()4xxf , )0, 10(log)()5 xaxxfaxxxxxfaax log)(loglim)(0 xxx

15、ax )1(loglim0 x1 xxaxxxx )1(loglim10exalog1 .ln1ax ,ln1)log(axxa .)0(1)(ln xxx特別特別x, )10()()6 aaxfxxaaaxxxxx 0lim)(xaaxxx 1lim0，令令tax 1(，則則)1ln(lntax ，atxln)1ln( )0,0 tx時時當(dāng)當(dāng))1ln(lnlim0tatatx .lnaax ,ln)(aaaxx .)(xxee 特別特別定理定理 1（四則運算法則）（四則運算法則）并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點為為零零分分母母不不商商則則它它們們的的和和、差差、積積、處處可可導(dǎo)導(dǎo)點點在在如如

16、果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu);()( )()()1(xvxuxvxu 導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)上上：可可推推廣廣到到任任意意有有限限個個可可 )()()(21 xuxuxun;)()()(21xuxuxun 特特別別地地，);()()()( )()( )2(xvxuxvxuxvxu )()()(21xuxuxun )(),( )(為常數(shù)為常數(shù)CxuCxuC 更更一一般般地地，)()()(21xuxuxun .)()()()(121xuxuxuxunn ).0)()()()()()()()( )3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu特特別別地地，注意注意:,)(vuvu vuvu .)0(

17、12 vvvv )()()(21xuxuxun 證證 (2)(2)，令令)()(xvxuy )()()()(xvxuxxvxxuy )(xxu )(xxv )(xu )(xxv )(xu )(xxv )(xu )(xv)(xxv )()(xuxxu )(xu )()(xvxxv u)(xxv )(xuv xyx 0lim xux0lim)(xxv xvx 0lim)(xu)()(xvxu )()(xvxu )( vu證畢證畢即即,lim)(0 xuxux ,lim)(0 xvxvx )()(lim0 xvxxvx 例例1 1，3lncossin)1(3 xxxy23xy ,coslnsin)2

18、(24xxxxxy xxxylnsin43 xxxlncos4 xxx1sin4 xxcos2 xcos )sin(2xx 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).sin x xxxlnsin43 xxxlncos4 xx sin3 xxcos2 .sin2xx ,tan)3(xy )(tan xy xxcossinxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 ,cot xy xx2sec)(tan 即即xx2csc)(cot 同理可得同理可得)(sec xyxx2cos)(cos xx2cossin 同理可得同理可得,sec)4(xy

19、,csc xy )cos1( xxxtansec xxtansec )(sec x即即xxxcotcsc)(csc 定理定理 2（反函數(shù)求導(dǎo)法則）（反函數(shù)求導(dǎo)法則）可可在在若函數(shù)若函數(shù)xxfy)( ,0)( xf導(dǎo)導(dǎo)且且yyx在在則則其其反反函函數(shù)數(shù))( )(xf . )(1)(,xfy 且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)倒數(shù).證證,0)( xf由由某某鄰鄰域域連連續(xù)續(xù)在在則則xxfy)( 且且嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)，某某鄰鄰域域在在必必存存在在反反函函數(shù)數(shù)yyx)( .連連續(xù)續(xù)且且嚴嚴格格單單調(diào)調(diào), 0 yy以以增增量量給給)11:( f,

20、00 xy, 00 xyyxyy 0lim)( xyx 1lim0.)(1xf 證畢證畢例例2 2求求反反三三角角函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),arcsin)1(xy );1,2( xy ,arccos)2(xy );1,0( xy ,arctan)3(xy );,2( xy ).,0( xy ,)4(xy cotarc解解xyarcsin)1( ,sin的的反反函函數(shù)數(shù)是是yx )(arcsin x)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x 即即)(arcsin x211x 同理可得同理可得)(arccos x211x 211)(arctanxx 211)(xx cotarc定理定理 3

21、（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）)(ufy 如如果果函函數(shù)數(shù)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)點點可可導(dǎo)導(dǎo)，在在可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點xxuu)(, :,)(且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點 xxfy )()()(xufxfx dxdududydxdy 或或者者即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則的關(guān)鍵是正確地分析運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則的關(guān)鍵是正確地分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系函數(shù)的復(fù)合關(guān)系 .:1cos2xy ,cosuy 21xv ,21vu

22、證證,)(可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim0ufuyu ,)( ufuy故故(*)(uuufy 則則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx xuxuufxux 000limlimlim)( ).()(xuf )0( u)0lim(0 u, 0)()(,0 ufuufyu時時當(dāng)當(dāng).(*) 也也成成立立)0( u . 0,0, 0,uu 為此令為此令或或于于是是，不不論論0 u.(*), 0式式皆皆成成立立 u時時）（當(dāng)當(dāng)0 x)00,)( uxxu可可導(dǎo)導(dǎo)由由 證畢證畢推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為)(xfy 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)例例3 3.sinl

23、n的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,sin xu 令令dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot )(xf x.)()()(xvuf ,lnuy 則則例例4 4.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求冪函數(shù)求冪函數(shù)Rxy 解解, )0(ln xexx )()(ln xex xeln xeln x xx .1 x)0( x時時，或或的的定定義義域域是是若若冪冪函函數(shù)數(shù)0)( RRRxy .)(1仍仍然然成成立立求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式 xx)()(1Rxx x)ln( x x例例5 5的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求雙曲函數(shù)求雙曲函數(shù)sh, )(21)1xxeex ),(21)2xxeex ch,)3xxx ths

24、hchchcth.)4xxx sh解解 )(21)( xxeexsh)(21xxee ,x ch)( xshx ch同理可得同理可得)( xshx ch)( xx1 thch2)( xx1 2cthsh式式：公公導(dǎo)導(dǎo)求求本本基基, )(0)(. 1是常數(shù)是常數(shù)CC ,)(.21Rxx xx21)( ,)0( x21)1(xx .)0( x,ln)(. 3aaaxx ,)(xxee ,ln1)log(.4axxa .)0(1)(ln xxx,cos)(sin. 5xx ,sin)(cos. 6xx ,sec)(tan. 72xx ,csc)(cot. 82xx ,tansecxx )(sec.

25、9 x,cotcsc)(csc.10 xxx )(arcsin.11 x,112x )(arccos.12 x,112x ,11)(arctan.132xx ,11)(.142xx cotarc注意注意: :初等函數(shù)的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)等函數(shù) .例例6 6的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)求下列函數(shù),)13()1(102 xxy解解 xxxy102)13( 102)13(xx132 xxxxx)13(2 92)13(10 xx;)32( x, )0)()(ln)2( xuxuy xxuy)(ln , 0)( xu, )(lnxxu . 0)( xu,)(ln(xxu ,)()(xuxu

26、,)()(xuxu 0)( xu0)( xu).0)()()( xuxuxu xxln,特特別別).0(1 xx,1sinln)3(xy xxy1sinln x1sinlnx1sin xx1sin.x1sin1 xx11sin. xx1.1cot12xx ),1ln()4(2xxy xxxy)1ln(2 )1ln(2xx21xx xxx21211xx 1212x xx )1(2 )11(1122xxxx .112x ,12arctan21)5(2xxy xxxy212arctan21 212arctan21xx212xx xxx2122212121 xx222)1()2(2)1(2xxxx .

27、112x , )(sincos)6(32xxy xxxy)(sincos32 )(sincos32xx)(cos32xx )(cos32xx)cos(3xx )cos(3xxxx 3xxx)(3 )(coscos32xx )sin(3xx )13(2 x)cos(23xx )()(xfyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一一般般地地，函函數(shù)數(shù)（一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）.的的函函數(shù)數(shù)仍仍然然是是 x,)(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果xxfy 定義定義即即 y dxdydxd )(xf)(xf y 22dxyd 記作記作xxfxxfx )()(lim0,存存在在.)(的的為為函函數(shù)數(shù)稱稱xfy 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(x

28、f 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù))()(xfxf )(xfy 33dxyd .)(的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)xfy 三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))( xf 一一般般地地，階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，的的函函數(shù)數(shù)1)( nxf,)(的的稱稱為為函函數(shù)數(shù)xfy 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)n記作記作nndxyd 11nndxyddxd)()(xfn )()1(xfn.)()(lim)1()1(0 xxfxxfnnx 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).從高階導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，從高階導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，求求高高階階導(dǎo)導(dǎo).階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的方方法法數(shù)數(shù)，就就是是反反復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)用用求求一一例例

29、1 1nnnnnxaxaxaxaaxP 112210)(次次多多項項式式求求 n.的的各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),2)(121 nnnxnaxaaxP,)1(!2)(22 nnnxannaxPnnnannnxP12)2)(1()()( .0)()()2()1( xPxPnnnn,!nan 解解例例2 2.)()(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的為為常常數(shù)數(shù)求求naexfax 解解 axexf)(,axae axaexf)(,2axea axnneaxf1)()(.axnea 注意注意: :階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時時，求求 n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)后后，或或求求出出431 不不要要急急于于合合并并，分分析析結(jié)結(jié)果果的的規(guī)規(guī)律律性性，.導(dǎo)導(dǎo)數(shù)

30、數(shù)的的一一般般表表達達式式階階寫寫出出 n（用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明）例例3 3.sin)(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的求求nxxf 解解xxxfcos)(sin)( )2sin( x )2sin()( xxf)2cos( x)22sin( x)22sin( x.)2sin()()( nxxfn)2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得更更一一般般地地，有有)2sin()(sin)( nkxkkxnn)2cos()(cos)( nkxkkxnn例例4 4.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解xxy66cossin 3232)(cos)(sin

31、xx )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 )(66)cos(sinnxx .)24cos(483 nxn)2cos()(cos)( nkxkkxnn例例5 5.,3sin2sinsin)(nyxxxy求求設(shè)設(shè) )cos()cos(21sinsin )sin()sin(21sincos 解解xxxy3sin2sinsin )4cos2(cos212sinxxx x4sin41 )2sin6(sin414sin41xxx xx4cos2sin21 xxx

32、y3sin2sinsin )2sin6sin4(sin41xxx )2sin()(sin)( nkxkkxnn)24sin(441)( nxynn故故)26sin(6 nxn.)22sin(2 nxn例例6 6.)1ln()(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的求求nxxf 解解,11)( xxf,)1(1)(2 xxf,)1(!2)(3 xxf,)1(! 3)(4)4( xxf)()(xfn1)1( nnx)1( )!1( n. )1! 0, 1( n)(11nx ,)1()1(1 nnx!n1)(!)1(1 nnnxnx例例7 7.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解112 xy)1111(21 xx)(11n

33、x 65)5()1(!5)1(21xy 65)1(!5)1(x 66)1(1)1(160 xx1)1(!)1( nnxn例例8 8.,1)(nnyxxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xxyn1 xnx1)1( ininiinxCx )1()1(1101)1( xnininiinxC 110)1()1(次次1 n多多項項式式)(11nx 1)1(!)1( nnxn)()(11)1(nnnxy .)1(!1 nxn則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)()(nxvvxuu ;)()1()()()(nnnvuvu ;)()2()()(nnCuCu ?)()( nuv問題問題vuvuuv )()()( vu

34、vuuvvuvuvuvu vuvuvu 22)(ba 2011022bababa 11001)(bababa vuvu )0()0(vuvuvu )0()0(2)0()0(,vvuu 注意：注意：)2()( vuvuvuuvvuvuvuvuvuvu 223021120333babababa vuvuvuvu 333)(ba vuvuvuvu )0()0(33)()(0kknnkknvuC 萊布尼茲公式萊布尼茲公式)()()3(nuv vunnvnuvunnn)2()1()0()(! 2)1()()0()()(!)1()1(nkknvuvukknnn nkknknnnnbabaCbaCba011

35、10 nba)(（證明略）（證明略）例例9 9.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解,2xeu 設(shè)設(shè) )()(! 2)120(20)()(20)()18()19()20()20(vuvuvuy022! 21920222022182192220 xxxexexe. )9520(22220 xxex得得由由萊萊布布尼尼茲茲公公式式 ,2220)20(xeu ,2xv 則則,2xv ,2 v. 0)4( vv,2219)19(xeu ,2218)18(xeu 例例1010. )(),(. 0, 0,)(23xfxfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解,0時時當(dāng)當(dāng) x,)(3xxf ,3)(2xxf ,0時時

36、當(dāng)當(dāng) x,)(2xxf ,2)(xxf ,0時時當(dāng)當(dāng) x數(shù)數(shù)：用用定定義義分分別別考考慮慮左左右右導(dǎo)導(dǎo)xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim30, 0 xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim20. 0 . 0)0( f . 0,2, 0,3)(2xxxxxf故故. 0)0( f.0302 xx而而,0時時當(dāng)當(dāng) x,6)(xxf ,0時時當(dāng)當(dāng) x. 2)( xfxfxffx)0()(lim)0(0 ,0時時當(dāng)當(dāng) xxxx03lim20 , 0 xfxffx)0()(lim)0(0 xxx02lim0 . 2 .)0(不不存存在在f . 0, 2,

37、0,6)(xxxxf故故問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).012 yx;12 xy02 yxexy? y定義定義: :,Dx 確確定定唯唯一一通通過過方方程程0),( yxF,值值一一個個 y,)(xyy 記記作作是是則則稱稱)(xyy .0),(所所確確定定的的由由方方程程 yxF隱隱函函數(shù)數(shù)顯顯函函數(shù)數(shù)存存在在函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系例例1 1.,)(00 xyxyyxyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)

38、方方程程兩兩邊邊對對 xyxy 解得解得,yxexyey , 0 x由原方程知由原方程知000 yxyxxexyey. 1 的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyxe ye y 0 , 0 y例例2 2.)(,lnarctan22xyyxxy 求求設(shè)設(shè)解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對對x)3(535習(xí)習(xí)題題練練習(xí)習(xí)冊冊 P21 xy2x22yx 222yx yyx 22yxy yxy yyx .yxyxy 22yxyxy 22yxyyx 即即例例3 3.)(,0 xyxyey 求求設(shè)設(shè)解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xy0 yxyyey,xeyyy

39、 ,求求導(dǎo)導(dǎo)再再對對上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于xyeyeyy 2)(y 0 yxy02)()(2 yyeyxeyy即即xeyeyyyy 2)(2.)1()22(322 yxyyy觀察函數(shù)觀察函數(shù),)4()3(1)1(23 xxxxy方法方法: : 先取對數(shù)先取對數(shù), 然后再求導(dǎo)然后再求導(dǎo) -對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :式式，多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘相相除除的的形形.sinxxy 問題問題: : 如何求上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何求上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ? .)()(的的情情形形或或冪冪指指函函數(shù)數(shù)xvxuy 解解 先取對數(shù)，先取對數(shù)，4ln3ln21ln311lnln xxxxy求求導(dǎo)導(dǎo)，上上式式

40、兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyy111 x)1(31x 4132 xx)4()3(1)1(23 xxxxy4132)1(3111 xxxxy 例例4 4.,y 求求設(shè)設(shè))4()3(1)1(23 xxxxy函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)1, 4,3 x,4 , 1,3 x為為函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)的的定定義義域域縮縮小小.1 例例5 5.)0)()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求冪冪指指函函數(shù)數(shù) xuxuyxv)(ln)(lnxuxvy 解解 兩邊先取對數(shù)，兩邊先取對數(shù)，求求導(dǎo)導(dǎo)，上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 x的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyy1y )(ln)(xuxv )()(1)(xu

41、xuxv )()()()(ln)(xuxuxvxuxvyy )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv 即即uvuvuuuvvv 1ln)(亦即亦即),(求導(dǎo)求導(dǎo)對對看常數(shù)看常數(shù)把把vu),(求導(dǎo)求導(dǎo)對對看常數(shù)看常數(shù)把把uv例例6 6解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)兩邊取對數(shù)，兩邊取對數(shù)，xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)，上上式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于xyy 1的函數(shù)）的函數(shù)）是是（注意：（注意：xyxx lncos xx1sin )sinln(cosxxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx 求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求導(dǎo)導(dǎo)：也也可可直直接接根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xx

42、ysin xxesinln ,lnsinxxe )0( xxxelnsin )sinln(coslnsinxxxxexx . )sinln(cossinxxxxxx )(sin xxyx)(lnsin xxex)lnsin( xxx，參參數(shù)數(shù)方方程程的的一一般般形形式式是是 )()(tytx , t,0)()()( ttytx 都都可可導(dǎo)導(dǎo)，且且與與設(shè)設(shè),)()(1xttx 存存在在反反函函數(shù)數(shù)又又則則：的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)是是 xy，)(1xy 由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有dxdtdtdy xxt )()(1 )(t .)(t dxdy例例7 7解解ttx

43、ydxdy ttcos1sin taatacossin ,12 tdxdy.方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即,)()(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx ,)()(ttdxdy 則則)(22dxdydxddxyd dxdt )()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 )()(ttdxd )()(ttdtd )(1t 例例8 8解解.sincos33表表示示的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由方方程程

44、 taytax)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos(sec32 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ttxydxdy dxdt tdtdtan )tan(tdxd 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?.從從中中解解出出所所求求變變化化率率求法：求法：,)()(都都是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)及及設(shè)設(shè)tyytxx ,)(xfyyx 之之間間存存在在某某種種關(guān)關(guān)系系與與而而變變量量,)(dtdxxfdtdy 則則.化化率率稱稱為為這這樣

45、樣兩兩個個相相互互依依賴賴的的變變相相關(guān)關(guān)變變化化率率:,)(求求導(dǎo)導(dǎo)得得再再兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于先先建建立立關(guān)關(guān)系系txfy dtdxxfdtdy)( 例例9 9解解?,500./140,500多多少少員員視視線線的的仰仰角角增增加加率率是是觀觀察察米米時時當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直上上一一氣氣球球從從離離開開觀觀察察員員觀觀察察員員視視其其高高度度為為秒秒后后設(shè)設(shè)氣氣球球上上升升,ht500tanh 得得求導(dǎo)求導(dǎo)上式兩邊對上式兩邊對,tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時米時當(dāng)當(dāng)h)/(14

46、. 0秒秒弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500h）則則線線的的仰仰角角為為, 例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時時上上升升幾幾米米米米時時問問水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長長為為水水庫庫秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫庫中中米米河河水水以以則則水水庫庫內(nèi)內(nèi)水水量量為為水水深深為為設(shè)設(shè)時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 得得求求導(dǎo)導(dǎo)上上式式兩兩邊邊對對,tdtdhhdtdV 38000,/288003小小時時米米 dtdV小小時時米米 /104.0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率060,20

47、米時米時當(dāng)當(dāng) hhh360tan m4000實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.2xS xx, xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,2xS 正正方方形形面面積積22)(xxxS .)(22xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Sx .,很很小小時時可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx xx 定義定義yxxfy 的的改改變變量量在在若若函函數(shù)數(shù))(可可表表成成：)()(xfxxfy )( xo xA ,無無關(guān)關(guān)的的函函數(shù)數(shù)與與是是其其中中xxA 取取定定當(dāng)當(dāng) x，是是常常

48、數(shù)數(shù)后后 A,)(可可微微在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf,)(處處的的微微分分在在點點為為稱稱xxfxA :記記作作.)(xAxdfxAdy 或或xA ，的的是是稱稱y 線線性性主主部部ydy 是是即即線線性性主主部部.的的.dyy .)(,)()(xxfdyxxfxxfy 且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在微微可可在在函函數(shù)數(shù)定理定理（可微與可導(dǎo)的關(guān)系）（可微與可導(dǎo)的關(guān)系）證證,)(可可微微在在點點 xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A .)(,)(,)(xxfdyAxfxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在在即即,)(xxxfy 從從而而,)( xfxy即即,)(可導(dǎo)可導(dǎo)

49、在點在點 xxf),(lim0 xfxyx ),0(0 x xxf)(.)(,)(xxfdyxxf 且且可微可微在點在點函數(shù)函數(shù).可微可微可導(dǎo)可導(dǎo) ),( xo ()證畢證畢結(jié)論結(jié)論: :.)(,)()(xxfdyxfxfy 且且可可導(dǎo)導(dǎo)可可微微函函數(shù)數(shù).等等于于自自變變量量的的微微分分的的增增量量也也就就是是說說：自自變變量量.該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)之之商商等等于于與與自自變變量量的的微微分分即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分dxdy,由由微微分分定定義義dxxdx 即即.”“ 微微商商導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫dxxfdy)( ).(xfdxdy xxx 1)(微分的幾何意義)(xfy Tdyy)( xo ）xyo ( (如圖如圖) ).,對對應(yīng)應(yīng)的的增增量量就就是是切切線線縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)線線的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量時時是是曲曲當(dāng)當(dāng)dyy .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段線線段段切切的的附附近近點點在在很很小小時時當(dāng)當(dāng) 以直代曲的思想是微積分的核心思想以直代曲的思想是微積分的核心思想微分三角形微分三角形dxxfdy)(0 x )(dxQPxx 0M0 xdxPQ dx .PQ dx tanNdxxfdy)( 求